Polinom Tanımı

Katsayıların, değişkenlerin ve bu değişkenlerin doğal sayı kuvvetlerinin çarpımından oluşan tek terimli cebirsel ifadelere monom denir.

ÖRNEK:

\( 3x^2, \quad 5x^3y \)

\( -2xy^2z^5, \quad 4 \)

Yukarıdaki tanıma göre bir monom ifadede değişkenler;

Sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir (\( x, x^2, x^3, \ldots \)).
Köklü ya da mutlak değerli ifadelerin içinde yer alamaz.
Kesirli bir ifadenin paydasında bulunamaz.
Trigonometrik ya da logaritmik fonksiyonların içinde yer alamaz.

SORU 1:

Aşağıdaki ifadelerin neden birer monom olmadığını belirtin.

\( 3x^2 - y, \quad \frac{x}{y^2}, \quad 2^x \)

\( 5x^2\sqrt{y^3}, \quad 4\abs{y} \)

\( 3\sin{x}, \quad 2x^2\log(y) \)

Çözümü Göster

Yukarıdaki kısıtlamalar ifadenin katsayısı için geçerli değildir, buna göre aşağıdaki ifadeler birer monomdur.

ÖRNEK:

\( -\frac{1}{3}x^2y, \quad \sqrt{3}x, \quad \abs{-3}xy^3 \)

\( \sin{\frac{\pi}{3}} \cdot xy^2z^3, \quad -\log{5} \cdot x^2y \)

Sonlu sayıda monomun toplamından oluşan çok terimli ifadelere polinom denir. Polinomlar genellikle \( P(x) \), \( Q(x) \), \( R(x) \) şeklinde büyük harflerle gösterilir.

ÖRNEK:

\( P(x) = 3xy^2 - x^2y + 2xy \)

\( Q(x) = 5x^6y^2z - 3xz^3 + yz + 6 \)

Reel Katsayılı, Bir Değişkenli Polinomlar

Yukarıda yaptığımız tanıma göre polinomlar birden fazla değişken içerebilir ve katsayıları reel ya da karmaşık sayı olabilir. Biz bu bölümde reel katsayılı ve bir değişkenli polinomları inceleyeceğiz.

\( n \in \mathbb{N} \) ve \( a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( P(x) = a_nx^n \) \( + a_{n - 1}x^{n - 1} \) \( + a_{n - 2}x^{n - 2} + \ldots \) \( + a_2x^2 \) \( + a_1x + a_0 \)

formundaki polinomlara reel katsayılı ve bir değişkenli polinom denir.

ÖRNEK:

\( P(x) = 3x^2 - 5 \)

\( Q(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - 3x + 7 \)

\( R(x) = x^{99} - x \)

Polinomun Bileşenleri

Bir polinomun toplama ve çıkarma işlemleriyle ayrılmış kısımlarına polinomun terimleri denir.

Bir değişkenin doğal sayı üssü o değişkenin derecesidir. Her polinom terimi bir değişkenden, değişkenin derecesinden ve önündeki reel katsayıdan oluşur.

Bir terimin önündeki \( + \) ya da \( - \) işareti o terimin katsayısının bir parçasıdır, dolayısıyla önündeki işaret \( - \) olan bir terimin katsayısı negatiftir.

Bir polinomun değişken içermeyen terimine polinomun sabit terimi denir. Sabit terim derecesi sıfır olan terimin katsayısı olarak da düşünülebilir.

\( P(x) = 2x^2 + 3x - \textcolor{red}{4} \) \( = 2x^2 + 3x^1 - \textcolor{red}{4x^0} \)

Bir polinomda belirli bir dereceden terim bulunmuyorsa o terimin katsayısı sıfır kabul edilir.

\( P(x) = 5x^3 - 3x \) \( = 5x^3 + \textcolor{red}{0}x^2 - 3x + \textcolor{red}{0}x^0 \)

Tek değişkenli polinomlarda değişkenin derecesi aynı zamanda o terimin derecesini belirler. Bir terimin derecesi çift sayı ise o terime çift dereceli terim, tek sayı ise tek dereceli terim denir. Sabit terim derecesi sıfır olduğu için çift dereceli bir terimdir.

Polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısına polinomun başkatsayısı denir.

Polinomların terimleri standart yazılışta en yüksek dereceden en düşük dereceye doğru sıralanır.

Polinomun Derecesi

Bir polinomun en yüksek dereceli teriminin derecesi o polinomun derecesi olur ve \( der[P(x)] \) ile gösterilir.

Bir polinomun (en yüksek dereceli teriminin) derecesi çift sayı ise o polinoma çift dereceli polinom, tek sayı ise tek dereceli polinom denir.

Aşağıda bazı örnek polinomlar ve dereceleri verilmiştir.

Örnek Polinom	Derece	Polinomun Adı
\( P(x) = \textcolor{red}{3} \)	\( 0 \)	Sabit polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{2x} + 1 \)	\( 1 \)	Birinci dereceden (doğrusal) polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{x^2} - 5x + 6 \)	\( 2 \)	İkinci dereceden polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{-2x^3} - x^2 + 4x - 3 \)	\( 3 \)	Üçüncü dereceden polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{x^n} - 2x^{n - 1} + x - 1 \)	\( n \)	\( n \). dereceden polinom

SORU 2:

\( P(x) = (m - 4)x^6 + 3x^{n - 2} + 2x^4 + 5 \)

polinomunun derecesi 5 ise, \( m + n \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Örnek Bir Polinom

Aşağıdaki \( P(x) \) polinomu üzerinden polinomların bileşenlerini gösterelim.

\( P(x) = 2x^5 - 3x^4 + 5x^3 - x^2 - 4x + 8 \)

Özellik	Değer
Polinomun derecesi	\( 5 \)
Polinomun başkatsayısı	\( 2 \)
Terim sayısı	\( 6 \)
Polinomun terimleri	\( 2x^5, -3x^4, 5x^3, -x^2, -4x, 8 \)
Polinomun katsayıları	\( 2, -3, 5, -1, -4, 8 \)
Polinomun sabit terimi	\( 8 \)

Polinomların Sınıflandırması

Polinomlar terim sayılarına göre aşağıdaki şekilde sınıflandırılır.

Monom (tek terimli): \( x^2 \)

Binom (iki terimli): \( x^3 + 5 \)

Trinom (üç terimli): \( x^5 - 3x + 5 \)

Polinom (çok terimli) \( x^7 - 4x^5 + 2x^3 - 5x - 8 \)

Polinom Fonksiyonu

Tanım ve değer kümesi arasındaki eşleme kuralı bir polinom olarak tanımlanmış fonksiyonlara polinom fonksiyonu denir.

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 - 7x + 5 \)

Aşağıdaki özellikleri polinomları temel matematik konularının öğretimi açısından oldukça faydalı kılmaktadır.

Birbiriyle toplamları, farkları ve çarpımları yine birer polinomdur.
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılar kümesinde tanımlıdır.
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılar kümesinde süreklidir.
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılar kümesinde türevlenebilirdir.
Limit bulma, türev ve integral alma gibi işlemler üzerlerinde kolaylıkla yapılabilir.
Grafikleri ve davranışları derece ve başkatsayılarına göre tahmin edilebilirdir.

Polinom fonksiyonlarını daha detaylı şekilde polinom fonksiyonları bölümünde inceleyeceğiz.

SORU 3:

Aşağıdaki ifadelerden hangileri reel katsayılı polinomdur?

I. \( 3x^4 - 7x + \dfrac{3}{2x} \)

II. \( 2x^3 - x^2 + x - \sqrt{x + 1} \)

III. \( \sqrt{-2}x^2 - 3x + 1 \)

IV. \( 4i \cdot x^2 + 2x - 3 \)