Polinom Tanımı

Polinomlar katsayılardan ve bir ya da birden fazla değişkenden oluşan ve aşağıdaki koşulları sağlayan cebirsel ifadelerdir.

  • Değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir (\( x^n, n \in \mathbb{N}) \) ve trigonometrik/logaritmik vb fonksiyonların içinde yer alamaz.
  • Polinomlar bir değişkenin paydada bulunduğu bir bölme işlemi içeremez.
  • Polinomlar sonlu sayıda terimden oluşur.

Aşağıdaki ifadeler yukarıdaki koşulları sağlamadıkları için birer polinom değildir.

İfade Açıklama
\( 4x^2 + 2\textcolor{red}{x^{-1}} + 3 \) Değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
\( x^3y^2 - 2x\textcolor{red}{\sqrt{y}} + 3x - 4 \) Değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir (\( \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} \)).
\( \textcolor{red}{\frac{x^3}{x^2}} + 3 \) Polinomlar bir değişkenin paydada bulunduğu bir bölme işlemi içeremez (değişken sadeleşiyor olsa da).
\( -x^2 + \textcolor{red}{2^x} - 7 \) Değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir (üstel ifade şeklinde değil).
\( x - 3\textcolor{red}{\sin{x}} \) Değişkenler trigonometrik/logaritmik vb fonksiyonların içinde yer alamaz.
\( x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \textcolor{red}{\ldots} \) Polinomlar sonlu sayıda terimden oluşur.

Aşağıdaki ifadeler yukarıdaki koşulları sağladıkları için birer polinomdur.

İfade Açıklama
\( 5x^3 - 3x + 2 \) Polinomun tüm koşullarını sağlar.
\( \frac{1}{3}x^2 - \sqrt{3}x - 1 \) Katsayılar rasyonel ya da köklü ifade içerebilir.
\( x^3y^2 - 3x^2 + 5y - 6 \) Polinomlar birden fazla değişken içerebilir.
\( \log(5) \cdot x^2 - \sin(\frac{\pi}{3}) \cdot x + 5 \) Değişken içermedikleri sürece katsayılar trigonometrik veya logaritmik fonksiyon içerebilir.
\( e^2 + \pi \) Hiçbir değişken içermeyen ve sadece sabit terimden oluşan ifadeler de birer polinomdur.

Polinomlar genellikle \( P(x) \), \( Q(x) \), \( R(x) \) şeklinde büyük harflerle gösterilir.

Reel Katsayılı, Bir Değişkenli Polinomlar

Yukarıdaki tanıma göre polinomlar birden fazla değişken içerebilirler ve katsayıları karmaşık sayı olabilir. Biz bu bölümde reel katsayılı ve bir değişkenli polinomları inceleyeceğiz.

SORU:

\( P(x) = 3x^{2a + 1} + x^{8 - 3a} + \frac{a}{2}x + 1 \)

\( P(x) \) bir polinom olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster


SORU:

\( (x + 1) \cdot P(x) = x^4 - ax^3 - x + a + 4 \)

\( P(x) \) bir polinom olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Polinomun Bileşenleri

Bir polinomun toplama ve çıkarma işlemleriyle birbirine bağlı kısımlarına polinomun terimleri denir.

Polinomun terimleri
Polinomun terimleri

Her terim bir değişkenden, değişkenin doğal sayı üssünden (derecesinden) ve/veya önündeki sabit bir katsayıdan oluşur. Bir değişkenin derecesi o terimin derecesini belirler.

Bir polinomun 4. dereceden terimi
Bir polinomun 4. dereceden terimi

Bir terimin önündeki \( (+) \) ya da \( (-) \) işareti o terimin katsayısının bir parçasıdır, dolayısıyla önünde \( (-) \) işareti olan bir terimin katsayısı negatiftir.

Polinomun en yüksek dereceli teriminin derecesi polinomun derecesi, bu terimin katsayısı polinomun başkatsayısıdır.

Polinomun katsayıları
Polinomun katsayıları

Bir polinomun değişken içermeyen terimine polinomun sabit terimi denir. Sabit terimi derecesi sıfır olan terimin katsayısı olarak da düşünebiliriz.

Bir polinomda belirli bir dereceden terim bulunmuyorsa o terimin katsayısı sıfır kabul edilir.

Polinomlar standart yazılışlarında en yüksek dereceli terimden en düşük dereceli terime doğru sıralanırlar.

Polinomların Sınıflandırması

Polinomlar bulundurdukları terim sayısına göre aşağıdaki şekilde sınıflandırılırlar.

Aşağıdaki özellikleri polinomları temel matematik konularının öğretimi açısından oldukça faydalı kılmaktadır.

  • Polinomların birbirleriyle toplamı, farkı ve çarpımı yine birer polinomdur.
  • Polinomlar tüm reel sayılar kümesinde tanımlıdır.
  • Polinomlar tüm tanım aralığında süreklidir.
  • Polinomlar tüm tanım aralığında türevlenebilirdir.
  • Polinom grafiklerinin genel davranışları derece ve başkatsayılarına göre tahmin edilebilir.
SORU:

\( P(x + 3) + Q(x - 4) = 4x^2 - 3x + 1 \)

\( Q(-2) = 6 \)

olduğuna göre, \( P(5) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(3x - 2) = x^3 - 6x + 3 \)

olduğuna göre, \( P(4) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 4 \)

olduğuna göre, \( P(\sqrt[4]{6} + 1) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x^4 - x^3 + 3) = 2x^3- 2x^4 + 2 \)

olduğuna göre, \( P(x) \) nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,

\( P(x - 2) = x^2 + ax + b \)

\( P(x - 1) = x^2 - x - 4 \)

olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(3x - 2) = x^3 - ax^2 + 2x + 3 \) polinomu veriliyor.

\( P(4) = -P(-5) \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x - 1) = 2x^2 + 3x - 4 \)

olduğuna göre, \( P(2x + 1) \) polinomu nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Polinomlar
Sonraki »
Polinomun Özellikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır