Kalan Teoremi

Bir polinom bölme işleminde bölüm ve kalan polinomlarını bulmak için önceki bölümde bahsettiğimiz bölme yöntemlerini kullanabiliriz. Sadece kalan polinomununa ihtiyacımız olan durumlarda ise polinom bölmesi yöntemini yine kullanabilecek olsak da, Kalan Teoremi ile çoğu zaman sonuca daha hızlı ulaşabiliriz.

Kalan Teoremi'ne göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = a \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(a) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun birinci dereceden bir \( ax + b \) polinomuna bölümünden kalan ise bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{b}{a} \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(-\frac{b}{a}) \) değeridir.

SORU:

\( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 4 \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(4x - 2) = 2x^3 - 3x^2 - 4x + 6 \) polinomu veriliyor.

Buna göre \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x - a \) polinomu veriliyor.

\( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiğine göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster

Yüksek Dereceden Bölenler

Bölen polinomunun daha yüksek dereceden olduğu ve birden fazla çarpana ayrılabildiği bölme işlemlerinde de Kalan Teoremi'ni kullanabiliriz.

SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 7x + 12 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 2 \) ise \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( (x - 2)^3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x^2 + 2x + 6 \) ise \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x - 4) \) polinomunun \( x^2 - 8x + 12 \) ile bölümünden kalan \( 4x - 1 \) olmak üzere,

\( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( 3x^2 - 10x - 8 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 5 \) ise \( 3x + 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( (x - 3)^3 \) ile bölümünden kalan \( x^2 - 3x - 1 \) ise \( x - 3 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 7 \), \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( -5 \)'tir.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15, \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3'tür.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 1 \) ile bölümünden kalan \( x + 3 \), \( x^2 - 9 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) ile bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster

Yerine Koyma Yöntemi

Bir \( P(x) \) polinomunun \( k. \) dereceden \( B(x) \) polinomuna bölümünde kalan olan \( K(x) \) polinomunu bulmak için kullanabileceğimiz bir diğer yöntem aşağıdaki gibidir.

  • \( B(x) \) polinomunu sıfıra eşitlenir ve polinomun en yüksek \( k. \) dereceden terimi yalnız bırakılıp diğer tüm terimler eşitliğin diğer tarafına atılır.
  • Elde edilen \( k. \) dereceden bu ifade bölünen polinomunda derecesi \( k \) ya da daha yüksek olan terimlerde yerine konur.
  • Bu işlem sonucunda hala derecesi \( k \) ya da daha yüksek olan terimler varsa aynı işleme tüm terimlerin derecesi \( k \)'dan küçük kalana kadar devam edilir.
  • Bu işlem sonucunda kalan polinom \( K(x) \) kalan polinomudur.

Bu yöntemin bir örnek üzerinde uygulamasını yapalım.

\( P(x) \) polinomundaki iki ya da daha yüksek dereceli terimlerde \( x^2 = x - 1 \) koyalım.

Kalan polinomu hala derecesi iki ya da daha yüksek dereceli terim içerdiği için aynı işlemi tekrarlayalım.

Kalan polinomu hala derecesi iki ya da daha yüksek dereceli terim içerdiği için aynı işlemi tekrarlayalım.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) polinomununa bölümünden kalan \( 7x \) polinomudur. Beklediğimiz gibi kalan polinomunun derecesinin bölen polinomunun derecesinden daha küçük olduğunu görebiliriz (\( 1 \lt 2 \)).

SORU:

\( P(x) = 2x^{11} + 3x^4 + ax^3 - bx^2 + 2c + a \) olmak üzere,

\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( -6x^2 - 3x + 2 \) polinomu olduğuna göre, \( b + c \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 7 \) olmak üzere,

\( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( x^2 + 2x + 4 \) polinomudur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Polinomlarda Bölme İşlemi
Sonraki »
Polinomların Çarpanları ve Kökleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır