Bir polinom bölme işleminde bölüm ve kalan polinomlarını bulmak için önceki bölümde bahsettiğimiz bölme yöntemlerini kullanabiliriz. Sadece kalan polinomununa ihtiyacımız olan durumlarda ise polinom bölmesi yöntemini yine kullanabilecek olsak da, Kalan Teoremi ile çoğu zaman sonuca daha hızlı ulaşabiliriz.
Kalan Teoremi'ne göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = a \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(a) \) değeridir.
\( P(x) \) polinomunun birinci dereceden bir \( ax + b \) polinomuna bölümünden kalan ise bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{b}{a} \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(-\frac{b}{a}) \) değeridir.
SORU:
\( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 4 \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \)'dir.
\( P(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 4 = 4 \)
\( P(2) = 4 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 4 \)'tür.
SORU:
\( P(4x - 2) = 2x^3 - 3x^2 - 4x + 6 \) polinomu veriliyor.
Buna göre \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(7 - 5) = P(2) \)'dir.
\( P(x - 5) = (x - 7) \cdot Q(x) + c \)
\( x - 7 = 0 \Longrightarrow x = 7 \)
\( P(7 - 5) = (7 - 7) \cdot Q(7) + c = c \)
\( P(2) = c \)
\( P(2) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda \( x \) yerine parantez içini 2 yapan değeri koymamız gerekir.
\( 4x - 2 = 2 \Longrightarrow x = 1 \)
\( P(4(1) - 2) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 6 \)
\( P(2) = 2 - 3 - 4 + 6 \)
\( = 1 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 1 \) olur.
SORU:
\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x - a \) polinomu veriliyor.
\( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiğine göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiği için \( P(2) = 0 \) olur.
\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(2) \)'yi elde etmek için \( x = -1 \) yazalım.
\( P(-1 + 3) = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - a \)
\( P(2) = -1 - a = 0 \)
\( a = -1 \)
Buna göre \( P(x + 3) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.
\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x + 1 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan, \( x = 5 \) yazdığımızda elde edeceğimiz \( P(-5 + 3) = P(-2) \) değeridir.
\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(-2) \)'yi elde etmek için \( x = -5 \) yazalım.
\( P(-5 + 3) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) + 1 \)
\( P(-2) = 36 \)
Buna göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 36 \) olur.
Bölen polinomunun daha yüksek dereceden olduğu ve birden fazla çarpana ayrılabildiği bölme işlemlerinde de Kalan Teoremi'ni kullanabiliriz.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 7x + 12 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 2 \) ise \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (x^2 - 7x + 12) \cdot Q(x) + 3x + 2 \)
İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.
\( P(x) = (x - 4) \cdot (x - 3) \cdot Q(x) + 3x + 2 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.
Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 4 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 4 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(4) \) değerini hesaplayabiliriz.
\( P(4) = (4 - 4) \cdot (4 - 3) \cdot Q(4) + 3(4) + 2 \)
\( = 0 + 12 + 2 = 14 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 14 \) olur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( (x - 2)^3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x^2 + 2x + 6 \) ise \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (x - 2)^3 \cdot Q(x) + 3x^2 + 2x + 6 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.
Soruda verilen bölme işleminde bölen \( x - 2 \)'nin bir kuvveti olduğu için bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(2) \) değerini hesaplayabiliriz.
\( P(2) = (2 - 2)^3 \cdot Q(2) + 3(2)^2 + 2(2) + 6 \)
\( = 0 + 12 + 4 + 6 = 22 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 22 \) olur.
SORU:
\( P(x - 4) \) polinomunun \( x^2 - 8x + 12 \) ile bölümünden kalan \( 4x - 1 \) olmak üzere,
\( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bölme işlemini denklem olarak yazalım.
\( P(x - 4) = (x^2 - 8x + 12) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)
İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.
\( P(x - 4) = (x - 2) \cdot (x - 6) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-4 + 2) = P(-2) \) olur.
Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(-2) \) değerini hesaplayabiliriz.
\( P(2 - 4) = (2 - 2) \cdot (2 - 6) \cdot Q(2) + 4(2) - 1 \)
\( P(-2) = 8 - 1 = 7 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 7 \) olur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( 3x^2 - 10x - 8 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 5 \) ise \( 3x + 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (3x^2 - 10x - 8) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)
İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.
\( P(x) = (3x + 2) \cdot (x - 4) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{2}{3} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-\frac{2}{3}) \) olur.
Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( 3x + 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = -\frac{2}{3} \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(-\frac{2}{3}) \) değerini hesaplayabiliriz.
\( P(-\frac{2}{3}) = (3(-\frac{2}{3}) + 2) \cdot (-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + 3(-\frac{2}{3}) + 5 \)
\( P(-\frac{2}{3}) = (-2 + 2) \cdot (-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + (-2) + 5 \)
\( = 0 + 3 = 3 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-\frac{2}{3}) = 3 \) olur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( (x - 3)^3 \) ile bölümünden kalan \( x^2 - 3x - 1 \) ise \( x - 3 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (x - 3)^3 \cdot Q(x) + x^2 - 3x - 1 \)
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.
Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 3 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 3 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(3) \) değerini hesaplayabiliriz.
\( P(3) = (3 - 3)^3 \cdot Q(3) + 3^2 - 3(3) - 1 \)
\( = 0 + 9 - 9 - 1 = -1 \) bulunur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -1 \) olur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 7 \), \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( -5 \)'tir.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan 7 ise \( P(3) = 7 \) olur.
Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan -5 ise \( P(-3) = -5 \) olur.
\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.
Soruda istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q(x) + ax + b \)
Bu bölme işleminin böleninin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.
\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q(x) + ax + b \)
Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(x) \)'in bildiğimiz \( P(3) \) ve \( P(-3) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.
\( P(3) = (3 - 3) \cdot (3 + 3) \cdot Q(3) + a(3) + b \)
\( P(3) = 3a + b = 7 \)
\( P(-3) = (-3 - 3) \cdot (-3 + 3) \cdot Q(-3) + a(-3) + b \)
\( P(-3) = -3a + b = -5 \)
Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 2 \) ve \( b = 1 \) değerlerini buluruz.
\( K(x) = ax + b = 2x + 1 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan \( 2x + 1 \) polinomudur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15, \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3'tür.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15 ise \( P(4) = 15 \) olur.
Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3 ise \( P(-2) = -3 \) olur.
\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.
Soruda istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (x^2 - 2x - 8) \cdot Q(x) + ax + b \)
Bu bölme işleminin böleninin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.
\( P(x) = (x - 4) \cdot (x + 2) \cdot Q(x) + ax + b \)
Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(x) \)'in bildiğimiz \( P(4) \) ve \( P(-2) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.
\( P(4) = (4 - 4) \cdot (4 + 2) \cdot Q(4) + a(4) + b \)
\( P(4) = 4a + b = 15 \)
\( P(-2) = (-2 - 4) \cdot (-2 + 2) \cdot Q(-2) + a(-2) + b \)
\( P(-2) = -2a + b = -3 \)
Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 3 \) ve \( b = 3 \) değerlerini buluruz.
\( K(x) = ax + b = 3x + 3 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 1 \) ile bölümünden kalan \( x + 3 \), \( x^2 - 9 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Kalanı verilen iki bölme işlemini birer denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (x^2 - 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)
\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)
İki işlemde de bölen polinomlarının çarpanlarına ayrılabildiğini görüyoruz.
\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)
\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)
Kalanı istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.
\( P(x) = (x^2 + 2x - 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)
Bu işlemde de bölen polinomunun çarpanlarına ayrılabildiğini görüyoruz.
\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)
Üçüncü bölme işlemindeki bölen polinomunun çarpanlarından \( (x - 1) \)'in kalanı verilen birinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı, \( (x - 3) \)'ün de ikinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla soruda istenen \( ax + b \) polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfır yapacak iki \( x \) değeri için polinom değerlerini bu iki bölme işlemini kullanarak bulabiliriz.
\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)
\( P(1) = (1 - 1) \cdot (1 + 1) \cdot Q_1(1) + 1 + 3 \)
\( P(1) = 4 \)
\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)
\( P(-3) = (-3 - 3) \cdot (-3 + 3) \cdot Q_2(-3) + 3(-3) + 1 \)
\( P(-3) = -8 \)
Elde ettiğimiz bu iki polinom değerini üçüncü bölme işleminde yerine koyalım.
\( P(x) = (x + 3) \cdot (x - 1) \cdot Q_3(x) + ax + b \)
\( P(1) = (1 + 3) \cdot (1 - 1) \cdot Q_3(1) + a(1) + b \)
\( = a + b = 4 \)
\( P(-3) = (-3 + 3) \cdot (-3 - 1) \cdot Q_3(-3) + a(-3) + b \)
\( = -3a + b = -8 \)
Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 3 \) ve \( b = 1 \) değerlerini buluruz.
\( K(x) = ax + b = 3x + 1 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.
Bir \( P(x) \) polinomunun \( k. \) dereceden \( B(x) \) polinomuna bölümünde kalan olan \( K(x) \) polinomunu bulmak için kullanabileceğimiz bir diğer yöntem aşağıdaki gibidir.
Bu yöntemin bir örnek üzerinde uygulamasını yapalım.
\( P(x) \) polinomundaki iki ya da daha yüksek dereceli terimlerde \( x^2 = x - 1 \) koyalım.
Kalan polinomu hala derecesi iki ya da daha yüksek dereceli terim içerdiği için aynı işlemi tekrarlayalım.
Kalan polinomu hala derecesi iki ya da daha yüksek dereceli terim içerdiği için aynı işlemi tekrarlayalım.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) polinomununa bölümünden kalan \( 7x \) polinomudur. Beklediğimiz gibi kalan polinomunun derecesinin bölen polinomunun derecesinden daha küçük olduğunu görebiliriz (\( 1 \lt 2 \)).
SORU:
\( P(x) = 2x^{11} + 3x^4 + ax^3 - bx^2 + 2c + a \) olmak üzere,
\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( -6x^2 - 3x + 2 \) polinomu olduğuna göre, \( b + c \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) - 6x^2 - 3x + 2 \)
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^3 + 1 = 0 \)
\( x^3 = -1 \)
\( P(x) \) polinomunda \( x^3 = -1 \) yazarak kalan polinomunu bulalım.
\( K(x) = 2(x^3)^3x^2 + 3x^3x + ax^3 - bx^2 + 2c + a \)
\( = 2(-1)^3x^2 + 3(-1)x + a(-1) - bx^2 + 2c + a \)
\( = -2x^2 - 3x - a - bx^2 + 2c + a \)
\( = (-2 - b)x^2 - 3x + 2c \)
Bulduğumuz kalan polinomunu soruda verilen polinoma eşitleyelim.
\( (-2 - b) x^2 - 3x + 2c = -6x^2 - 3x + 2 \)
Polinom eşitliğini kullanarak \( b \) ve \( c \) değerlerini bulalım.
\( -2 - b = -6 \Longrightarrow b = 4 \)
\( 2c = 2 \Longrightarrow c = 1 \)
\( b + c = 4 + 1 = 5 \) bulunur.
SORU:
\( P(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 7 \) olmak üzere,
\( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Polinom bölmesi yapmak yerine bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^2 + x - 1 = 0 \)
\( x^2 = 1 - x \)
\( P(x) \) polinomunda \( x^2 = 1 - x \) yazarak kalan polinomunu bulalım.
\( K(x) = 2(1 - x)^2 - x(1 - x) + 2(1 - x) + 3x - 7 \)
\( 2 - 4x + 2x^2 - x + x^2 + 2 - 2x + 3x - 7 \)
\( = 3x^2 - 4x - 3 \)
Elde ettiğimiz ifade hala \( x^2 \)'li terim içerdiği için tekrar \( x^2 = 1 - x \) yazalım.
\( = 3(1 - x) - 4x - 3 \)
\( = -7x \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden kalan \( -7x \) polinomudur.
SORU:
\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( x^2 + 2x + 4 \) polinomudur.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster
Verilen birinci bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.
\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
Bölen polinomunu küp toplamı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım.
\( P(x) = (x + 1) \cdot (x^2 – x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^2 - x + 1 = 0 \)
\( x^2 = x - 1 \)
Yukarıdaki bölme işleminde \( x^2 = x - 1 \) koyarak kalan polinomunu bulalım.
Kalan \( = (x + 1) \cdot (x^2 – x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
\( = (x + 1) \cdot ((x - 1) – x + 1) \cdot Q(x) + (x - 1) + 2x + 4 \)
\( = 3x + 3 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.