Kalan Teoremi

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \)'dir.

\( P(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 4 = 4 \)

\( P(2) = 4 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 4 \)'tür.

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(7 - 5) = P(2) \)'dir.

\( P(x - 5) = (x - 7) \cdot Q(x) + c \)

\( x - 7 = 0 \Longrightarrow x = 7 \)

\( P(7 - 5) = (7 - 7) \cdot Q(7) + c = c \)

\( P(2) = c \)

\( P(2) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda \( x \) yerine parantez içini 2 yapan değeri koymamız gerekir.

\( 4x - 2 = 2 \Longrightarrow x = 1 \)

\( P(4(1) - 2) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 6 \)

\( P(2) = 2 - 3 - 4 + 6 \)

\( = 1 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 1 \) olur.

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiği için \( P(2) = 0 \) olur.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(2) \)'yi elde etmek için \( x = -1 \) yazalım.

\( P(-1 + 3) = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - a \)

\( P(2) = -1 - a = 0 \)

\( a = -1 \)

Buna göre \( P(x + 3) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.

\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x + 1 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan, \( x = 5 \) yazdığımızda elde edeceğimiz \( P(-5 + 3) = P(-2) \) değeridir.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(-2) \)'yi elde etmek için \( x = -5 \) yazalım.

\( P(-5 + 3) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) + 1 \)

\( P(-2) = 36 \)

Buna göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 36 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 7x + 12) \cdot Q(x) + 3x + 2 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x) = (x - 4) \cdot (x - 3) \cdot Q(x) + 3x + 2 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 4 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 4 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(4) \) değerini hesaplayabiliriz.

\( P(4) = (4 - 4) \cdot (4 - 3) \cdot Q(4) + 3(4) + 2 \)

\( = 0 + 12 + 2 = 14 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 14 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (x - 2)^3 \cdot Q(x) + 3x^2 + 2x + 6 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölen \( x - 2 \)'nin bir kuvveti olduğu için bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(2) \) değerini hesaplayabiliriz.

\( P(2) = (2 - 2)^3 \cdot Q(2) + 3(2)^2 + 2(2) + 6 \)

\( = 0 + 12 + 4 + 6 = 22 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 22 \) olur.

Verilen bölme işlemini denklem olarak yazalım.

\( P(x - 4) = (x^2 - 8x + 12) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x - 4) = (x - 2) \cdot (x - 6) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-4 + 2) = P(-2) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(-2) \) değerini hesaplayabiliriz.

\( P(2 - 4) = (2 - 2) \cdot (2 - 6) \cdot Q(2) + 4(2) - 1 \)

\( P(-2) = 8 - 1 = 7 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 7 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (3x^2 - 10x - 8) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x) = (3x + 2) \cdot (x - 4) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{2}{3} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-\frac{2}{3}) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( 3x + 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = -\frac{2}{3} \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(-\frac{2}{3}) \) değerini hesaplayabiliriz.

\( P(-\frac{2}{3}) = (3(-\frac{2}{3}) + 2) \cdot (-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + 3(-\frac{2}{3}) + 5 \)

\( P(-\frac{2}{3}) = (-2 + 2) \cdot (-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + (-2) + 5 \)

\( = 0 + 3 = 3 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-\frac{2}{3}) = 3 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (x - 3)^3 \cdot Q(x) + x^2 - 3x - 1 \)

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 3 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 3 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak bulmak istediğimiz \( P(3) \) değerini hesaplayabiliriz.

\( P(3) = (3 - 3)^3 \cdot Q(3) + 3^2 - 3(3) - 1 \)

\( = 0 + 9 - 9 - 1 = -1 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -1 \) olur.

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan 7 ise \( P(3) = 7 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan -5 ise \( P(-3) = -5 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

Soruda istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminin böleninin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(x) \)'in bildiğimiz \( P(3) \) ve \( P(-3) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(3) = (3 - 3) \cdot (3 + 3) \cdot Q(3) + a(3) + b \)

\( P(3) = 3a + b = 7 \)

\( P(-3) = (-3 - 3) \cdot (-3 + 3) \cdot Q(-3) + a(-3) + b \)

\( P(-3) = -3a + b = -5 \)

Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 2 \) ve \( b = 1 \) değerlerini buluruz.

\( K(x) = ax + b = 2x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan \( 2x + 1 \) polinomudur.

Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15 ise \( P(4) = 15 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3 ise \( P(-2) = -3 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

Soruda istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^2 - 2x - 8) \cdot Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminin böleninin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 4) \cdot (x + 2) \cdot Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(x) \)'in bildiğimiz \( P(4) \) ve \( P(-2) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(4) = (4 - 4) \cdot (4 + 2) \cdot Q(4) + a(4) + b \)

\( P(4) = 4a + b = 15 \)

\( P(-2) = (-2 - 4) \cdot (-2 + 2) \cdot Q(-2) + a(-2) + b \)

\( P(-2) = -2a + b = -3 \)

Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 3 \) ve \( b = 3 \) değerlerini buluruz.

\( K(x) = ax + b = 3x + 3 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.

Kalanı verilen iki bölme işlemini birer denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)

İki işlemde de bölen polinomlarının çarpanlarına ayrılabildiğini görüyoruz.

\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)

Kalanı istenen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

\( P(x) = (x^2 + 2x - 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)

Bu işlemde de bölen polinomunun çarpanlarına ayrılabildiğini görüyoruz.

\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)

Üçüncü bölme işlemindeki bölen polinomunun çarpanlarından \( (x - 1) \)'in kalanı verilen birinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı, \( (x - 3) \)'ün de ikinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla soruda istenen \( ax + b \) polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfır yapacak iki \( x \) değeri için polinom değerlerini bu iki bölme işlemini kullanarak bulabiliriz.

\( P(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(1) = (1 - 1) \cdot (1 + 1) \cdot Q_1(1) + 1 + 3 \)

\( P(1) = 4 \)

\( P(x) = (x - 3) \cdot (x + 3) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)

\( P(-3) = (-3 - 3) \cdot (-3 + 3) \cdot Q_2(-3) + 3(-3) + 1 \)

\( P(-3) = -8 \)

Elde ettiğimiz bu iki polinom değerini üçüncü bölme işleminde yerine koyalım.

\( P(x) = (x + 3) \cdot (x - 1) \cdot Q_3(x) + ax + b \)

\( P(1) = (1 + 3) \cdot (1 - 1) \cdot Q_3(1) + a(1) + b \)

\( = a + b = 4 \)

\( P(-3) = (-3 + 3) \cdot (-3 - 1) \cdot Q_3(-3) + a(-3) + b \)

\( = -3a + b = -8 \)

Bu iki bilinmeyenli iki denklemi çözdüğümüzde \( a = 3 \) ve \( b = 1 \) değerlerini buluruz.

\( K(x) = ax + b = 3x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.

Soruda verilen bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) - 6x^2 - 3x + 2 \)

Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^3 + 1 = 0 \)

\( x^3 = -1 \)

\( P(x) \) polinomunda \( x^3 = -1 \) yazarak kalan polinomunu bulalım.

\( K(x) = 2(x^3)^3x^2 + 3x^3x + ax^3 - bx^2 + 2c + a \)

\( = 2(-1)^3x^2 + 3(-1)x + a(-1) - bx^2 + 2c + a \)

\( = -2x^2 - 3x - a - bx^2 + 2c + a \)

\( = (-2 - b)x^2 - 3x + 2c \)

Bulduğumuz kalan polinomunu soruda verilen polinoma eşitleyelim.

\( (-2 - b) x^2 - 3x + 2c = -6x^2 - 3x + 2 \)

Polinom eşitliğini kullanarak \( b \) ve \( c \) değerlerini bulalım.

\( -2 - b = -6 \Longrightarrow b = 4 \)

\( 2c = 2 \Longrightarrow c = 1 \)

\( b + c = 4 + 1 = 5 \) bulunur.

Polinom bölmesi yapmak yerine bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^2 + x - 1 = 0 \)

\( x^2 = 1 - x \)

\( P(x) \) polinomunda \( x^2 = 1 - x \) yazarak kalan polinomunu bulalım.

\( K(x) = 2(1 - x)^2 - x(1 - x) + 2(1 - x) + 3x - 7 \)

\( 2 - 4x + 2x^2 - x + x^2 + 2 - 2x + 3x - 7 \)

\( = 3x^2 - 4x - 3 \)

Elde ettiğimiz ifade hala \( x^2 \)'li terim içerdiği için tekrar \( x^2 = 1 - x \) yazalım.

\( = 3(1 - x) - 4x - 3 \)

\( = -7x \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden kalan \( -7x \) polinomudur.

Verilen birinci bölme işlemini denklem şeklinde yazalım.

\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

Bölen polinomunu küp toplamı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x + 1) \cdot (x^2 – x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^2 - x + 1 = 0 \)

\( x^2 = x - 1 \)

Yukarıdaki bölme işleminde \( x^2 = x - 1 \) koyarak kalan polinomunu bulalım.

Kalan \( = (x + 1) \cdot (x^2 – x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

\( = (x + 1) \cdot ((x - 1) – x + 1) \cdot Q(x) + (x - 1) + 2x + 4 \)

\( = 3x + 3 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.