Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim Bulma

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(4x - 7) \) polinomunda \( x \) yerine yazmamız gereken değeri bulalım.

\( 4x - 7 = 1 \Longrightarrow x = 2 \)

\( P(4x - 7) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.

\( P(4(2) - 7) = 2^3 - 6(2)^2 + 3(2) - 1 \)

\( P(1) = -11 \) bulunur.

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 ise \( P(1) = 10 \) demektir.

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( x = 0 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(0) \) değeridir.

Verilen eşitlikte \( P(1) \) değerini kullanarak \( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.

\( P(3 - 2) - P(3 - 3)= 6(3)^2 - 4 \)

\( P(1) - P(0) = 54 - 4 \)

\( 10 - P(0) = 50 \)

\( P(0) = -40 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = -40 \) olarak bulunur.

Polinomun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulmak için \( P(1) \) ve \( P(-1) \) değerlerini bulalım.

\( P(1) = (1^3 - 3(1) + 1)^2 - 2 = -1 \)

\( P(-1) = ((-1)^3 - 3(-1) + 1)^2 - 2 = 7 \)

Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

\( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \)

Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

\( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \)

Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(2(0) + 1) = P(1) \) değerine eşittir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = 1^5 - 3(1)^3 - a(1) + 3 \)

\( = 1 - a \)

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(3(1) - 1) = P(2) \) değerine eşittir.

\( P(2) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.

\( P(2) = 2^5 - 3(2)^3 - a(2) + 3 \)

\( = 11 - 2a \)

Bu iki değerin birbirine eşit olduğu bilgisi veriliyor.

\( 1 - a = 11 - 2a \)

\( a = 10 \) bulunur.

Polinomlarda tanım gereği değişkenleri üssü sadece doğal sayı olabilir.

Verilen polinom \( P(x^2) \) formunda olduğu için \( P(x) \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için \( P(x^2) \) tanımında derecesi tek sayı olan terim bulunmaması gerekir.

Buna göre \( P(x^2) \) tanımındaki \( a \) ve \( c \) katsayıları sıfır olmalıdır.

\( P(x^2) = - bx^4 - dx^2 + b + d - 3 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1^2) = -b(1)^4 - d(1)^2 + b + d - 3 \)

\( = -b - d + b + d - 3 = -3 \) bulunur.

\( P(x) \) polinomunda katsayılar toplamı için \( x = 1 \), sabit terim için \( x = 0 \) yazılır.

\( P(0) = s = (0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + \ldots + (0 - n)^2 \)

\( = (-1)^2 + (-2)^2 + \ldots + (-n)^2 \)

\( P(1) = k = (1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)

\( = (0)^2 + (-1)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( s - k = 25 = (-n)^2 - 0^2 = n^2 \)

\( n = 5 \) ya da \( n = -5 \) olabilir.

Polinom tanımında \( n \) sayısı \( (1, 2, 3, \ldots) \) şeklindeki bir dizinin son terimi olduğu için değeri pozitiftir.

Buna göre \( n = 5 \) olur.

Tanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.

\( 2 - a \ge 0 \Longrightarrow a \le 2 \)

\( a - 2 \ge 0 \Longrightarrow a \ge 2 \)

Bu iki eşitsizlik sadece \( a = 2 \) olduğunda sağlanır.

\( P(x) = 2002x^{2 - 2} - 1001x^{2 - 2} - 1000 \)

\( = 2002 - 1001 - 1000 = 1 \)

Buna göre \( P(x) \) sabit polinomdur ve üç öncül de doğrudur.

\( P(4x + 3) \) polinomunun sabit terimini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.

\( P(4(0) + 3) = P(3) = P(P(2)) \)

\( P(2x + 5) \) polinomunun katsayılar toplamını bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(2(1) + 5) = P(7) = P(P(3)) \)

Sorulan ifadeyi bulalım ve yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( P(P(P(2))) = P(P(3)) = P(7) \)

\( P(7) = 4 \) olarak verildiği için \( P(P(P(2))) = 4 \) olarak bulunur.

\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( x = 0 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(0) \) değeridir.

\( P(0) = 0^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = 2 \)

\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 2 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) = 1^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + 2 = 8 \)

\( b + c + d = 5 \)

Katsayılar doğal sayı olduğu için, problemi 5 adet özdeş 1 sayısının birbirinden farklı 3 \( b \), \( c \) ve \( d \) kutusuna farklı dağıtım sayısı şeklinde kurgulayabiliriz.

Katsayılardan bazıları sıfır olabilir, dolayısıyla özdeş \( n \) nesnenin \( k \) farklı kutuya her kutuda herhangi bir sayıda nesne olacak şekilde dağıtımı için ayraç yöntemi kullanılır.

Farklı dağıtım sayısı \( = C(n + k - 1, k - 1) \)

\( = C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2) \)

\( = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = 21 \) bulunur.

Sabit polinomlarda sadece sabit terim bulunur.

Buna göre \( P(x) \) tanımında \( x \) değişkeninin katsayısı \( a + P(4) = 0 \) olmalıdır.

\( a + P(4) = 0 \)

\( P(4) = -a \)

\( P(x) = 9 + 2a \)

\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.

\( P(4) = 9 + 2a = -a \)

\( a = -3 \)

Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = 9 + 2(-3) = 3 \)

\( P(0) = 3 \) bulunur.

Bir polinomun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı formülü:

\( = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} \)

\( P(1) = (1 + 1 + 1^2)^5 = 3^5 = 243 \)

\( P(-1) = (1 + (-1) + (-1)^2)^5 = 1 \)

Buna göre çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı \( \frac{243 + 1}{2} = 122 \) olarak bulunur.

\( P(x) = (9 - 3x)^5 \) polinomunun açılımındaki katsayıların mutlak değerlerinin toplamı, \( Q(x) = (9 + 3x)^5 \) polinomunun açılımındaki katsayıların toplamına eşittir.

\( Q(x) \) polinomunda \( x = 1 \) yazarak katsayılar toplamını bulalım.

\( Q(1) = (9 + 3(1))^5 = 12^5 \) bulunur.

Bir \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( x = 0 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(0) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( Q(x) \) polinomunun sabit teriminin iki katı ise aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

\( P(0) = 2Q(0) \)

\( R(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( R(1) \) değeridir.

Soruda verilen eşitlikte \( x = 0 \) yazalım.

\( P(0) = Q(0) \cdot R(1) \)

Bu eşitlikte \( P(0) = 2Q(0) \) yazalım.

\( 2Q(x) = Q(0) \cdot R(1) \)

\( R(1) = 2 \) bulunur.

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) = 2(1)^5 + a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e \)

Verilen grafiği incelediğimizde \( P(1) = 11 \) olduğu görülür.

\( 2 + a + b + c + d + e = 11 \)

\( a + b + c + d + e = 9 \) olarak bulunur.