Bir polinomun en yüksek dereceli teriminin derecesi aynı zamanda polinomun derecesi olur ve \( der[P(x)] \) ile gösterilir.
Bir terimin derecesi çift sayı ise o terime çift dereceli terim, tek sayı ise tek dereceli terim denir. Derecesi sıfır olduğu için sabit terim çift dereceli bir terimdir.
Bir polinomun (en yüksek dereceli teriminin) derecesi çift sayı ise o polinoma çift dereceli polinom, tek sayı ise tek dereceli polinom denir.
Aşağıda bazı örnek polinomlar ve dereceleri verilmiştir.
polinomunun derecesi 5 ise, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Polinomun derecesi 5 ise, derecesi 6 olan terimin katsayısı 0 olmalıdır ve polinomda derecesi 5 olan bir terim olmalıdır.
Buna göre,
\( m - 4 = 0 \Longrightarrow m = 4 \)
\( n - 2 = 5 \Longrightarrow n = 7 \)
\( m + n = 4 + 7 = 11 \) bulunur.
SORU:
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( der[P^2(2x^2 + 2)] = 16 \)
olduğuna göre, \( [P(3x) - x^5]^2 \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü Göster
Öncelikle elimizdeki ifadede dıştan içe doğru giderek \( P(x) \)'in derecesini buluruz.
\( P^2() \)'li ifadenin derecesi 16 ise \( P() \)'li ifadenin derecesi 8 olur.
\( der[P(2x^2 + 2)] = 8 \)
\( P(x^2) \)'li ifadenin derecesi 8 ise \( P(x) \)'li ifadenin derecesi 4 olur.
\( der[P(x)] = 4 \)
\( P(x) \)'in derecesi 4 ise \( P(3x) \)'in derecesi de \( 4 \)'tür.
\( P(3x) - x^5 \) polinomunun derecesi en yüksek üslü terimin, yani \( x^5 \)'in derecesine eşittir, yani 5'tir.
\( P(3x) - x^5 \) polinomun karesi alındığında derecesi iki katına çıkar.
\( der[P(3x) - x^5]^2 = 2 \cdot 5 = 10 \)
Bir Polinomun Sabit Terimini Bulma
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve bu şekilde ifadede değişken içeren tüm terimlerin yok olması ve sadece sabit terimin kalması sağlanır.
ÖRNEK:
\( P(x) = 6x^3 - 21x^2 + 3x + 30 \) ise,
\( x = 0 \) değeri verelim.
\( P(0) = 6(0)^3 - 21(0)^2 + 3(0) + 30 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = 30 \)'dur.
Polinomun sabit terimi her zaman polinomun \( P(0) \) değerine karşılık gelmeyebilir. Bu yüzden sabit terimi bulmak için \( P(0) \)'u bulmamız değil, tüm değişkenlere 0 değeri vermemiz gerekir.
Buna göre, \( P(2x + 3) \) polinomunun sabit terimi \( P(3) = 4 \)'tür.
Bir Polinomun Katsayılar Toplamını Bulma
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve bu şekilde ifadede değişkenlerin yok olması ve sadece terimlerin katsayılarının kalması sağlanır.
ÖRNEK:
\( P(x) = 6x^3 - 21x^2 + 3x + 30 \) ise,
\( x = 1 \) değeri verelim.
\( P(1) = 6(1)^3 - 21(1)^2 + 3(1) + 30 = 18 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) = 18 \)'dir.
Polinomun katsayılar toplamı her zaman polinomun \( P(1) \) değerine karşılık gelmeyebilir. Bu yüzden katsayılar toplamını bulmak için \( P(1) \)'i bulmamız değil, tüm değişkenlere 1 değeri vermemiz gerekir.
İfadeleri sadeleştirdiğimizde aşağıdaki değerleri elde ederiz. \( P(-1) \) ifadesinde çift dereceli terimlerin işaretinin pozitif kaldığına, tek dereceli terimlerin işaretinin ise negatife döndüğüne dikkat edelim.
\( P(1) \) ve \( P(-1) \) toplamını aldığımızda çift dereceli terimlerden ikişer tane kaldığını, tek dereceli terimlerin ise birbirlerini götürdüğünü görürüz.
\( P(1) \) ve \( P(-1) \) farkını aldığımızda da çift dereceli terimlerin birbirlerini götürdüğünü, tek dereceli terimlerin ise ikişer tane kaldığını görürüz.
polinomu veriliyor. Buna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı tanım gereği \( P(1) \) olur. \( P(1) \) değerini bulmak için \( x \) yerine yazmamız gereken değeri bulalım.
\( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamına eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(2 \cdot 0 + 1 = P(1) \) değerine eşittir.
Verilen polinomda \( P(1) \) değerini hesaplayalım.
\( P(1) = 1^5 - 3 \cdot 1^3 - a \cdot 1 + 3 \)
\( P(1) = 1 - a \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(3 \cdot 1 - 1 = P(2) \) değerine eşittir.
Verilen polinomda \( P(2) \) değerini hesaplayalım.
\( P(2) = 2^5 - 3 \cdot 2^3 - a \cdot 2 + 3 \)
\( P(2) = 11 - 2a \)
İki değerin birbirine eşit olduğu bilgisi verildiği için ifadeleri eşitleyelim.
\( 1 - a = 11 - 2a \)
\( a = 10 \)
SORU:
\( P(x^2) = ax^7 - bx^4 + cx^3 - dx^2 + b + d - 3 \) olduğuna göre,
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Polinomlarda tanım gereği \( x \)'li terimlerin üssü doğal sayı olabilir.
Elimizdeki polinom \( P(x^2) \) formunda olduğu için bu polinomu \( P(x) \) cinsinden yazabilmemiz için polinomda üssü tek sayı olan terim bulunmaması gerekir.
Buna göre verilen \( P(x^2) \) polinomunda \( a \) ve \( c \) katsayıları sıfır olmalıdır.