Polinomun Özellikleri

Polinomun Derecesi

Bir polinomun en yüksek dereceli teriminin derecesi aynı zamanda polinomun derecesi olur ve \( der[P(x)] \) ile gösterilir.

Bir terimin derecesi çift sayı ise o terime çift dereceli terim, tek sayı ise tek dereceli terim denir. Derecesi sıfır olduğu için sabit terim çift dereceli bir terimdir.

Bir polinomun (en yüksek dereceli teriminin) derecesi çift sayı ise o polinoma çift dereceli polinom, tek sayı ise tek dereceli polinom denir.

Aşağıda bazı örnek polinomlar ve dereceleri verilmiştir.

Örnek Polinom Derece Polinomun Adı
\( P(x) = \textcolor{red}{3} \) \( 0 \) Sabit polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{2x} + 1 \) \( 1 \) Birinci dereceden (doğrusal) polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{x^2} - 5x + 6 \) \( 2 \) İkinci dereceden polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{-2x^3} - x^2 + 4x - 3 \) \( 3 \) Üçüncü dereceden polinom
\( P(x) = \textcolor{red}{x^n} - 2x^{n - 1} + x - 1 \) \( n \) \( n \). dereceden polinom
SORU:

\( P(x) = (m - 4)x^6 + 3x^{n - 2} + 2x^4 + 5 \)

polinomunun derecesi 5 ise, \( m + n \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,

\( der[P^2(2x^2 + 2)] = 16 \)

olduğuna göre, \( [P(3x) - x^5]^2 \) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözümü Göster

Bir Polinomun Sabit Terimini Bulma

Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve bu şekilde ifadede değişken içeren tüm terimlerin yok olması ve sadece sabit terimin kalması sağlanır.

Polinomun sabit terimi her zaman polinomun \( P(0) \) değerine karşılık gelmeyebilir. Bu yüzden sabit terimi bulmak için \( P(0) \)'u bulmamız değil, tüm değişkenlere 0 değeri vermemiz gerekir.

Bir Polinomun Katsayılar Toplamını Bulma

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve bu şekilde ifadede değişkenlerin yok olması ve sadece terimlerin katsayılarının kalması sağlanır.

Polinomun katsayılar toplamı her zaman polinomun \( P(1) \) değerine karşılık gelmeyebilir. Bu yüzden katsayılar toplamını bulmak için \( P(1) \)'i bulmamız değil, tüm değişkenlere 1 değeri vermemiz gerekir.

Çift ve Tek Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamı

Bir \( P(x) \) polinomunun çift ve tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı formülleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.

Bir Örnek Üzerinden Polinom Özellikleri

Aşağıdaki \( P(x) \) polinomu üzerinden polinomların bileşenlerini ve özelliklerini pekiştirmeye çalışalım.

Özellik Değer
Polinomun derecesi \( der[P(x)] = 5 \)
Terim sayısı \( 6 \)
Polinomun terimleri \( 2x^5, -3x^4, 5x^3, -x^2, -4x, 8 \)
Polinomun sabit terimi \( P(0) = 2 \cdot 0^5 - \) \( 3 \cdot 0^4 + \) \( 5 \cdot 0^3 - 0^2 - \) \( 4 \cdot 0 + 8 = 8 \)
Polinomun katsayıları \( 2, -3, 5, -1, -4, 8 \)
Polinomun başkatsayısı \( 2 \)
Polinomun katsayılar toplamı \( P(1) = 2 \cdot 1^5 - \) \( 3 \cdot 1^4 + \) \( 5 \cdot 1^3 - 1^2 - \) \( 4 \cdot 1 + 8 = 7 \)
Çift dereceli terimlerin katsayıları \( -3, -1, 8 \)
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{7 + 1}{2} = 4 \)
Tek dereceli terimlerin katsayıları \( 2, 5, -4 \)
Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = \dfrac{7 - 1}{2} = 3 \)
SORU:

\( P(4x - 7) = x^3 - 6x^2 + 3x - 1 \)

polinomu veriliyor. Buna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x - 2) - P(x - 3) = 6x^2 - 4 \) eşitliği veriliyor.

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 ise, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = (x^3 - 3x + 1)^2 - 2 \) polinomunun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılarını bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = x^5 - 3x^3 - ax + 3 \)

\( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamına eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x^2) = ax^7 - bx^4 + cx^3 - dx^2 + b + d - 3 \) olduğuna göre,

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Polinom Tanımı
Sonraki »
Polinom Tipleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır