Polinomun Özellikleri

Polinomun derecesi 5 ise, derecesi 6 olan terimin katsayısı 0 olmalıdır ve polinomda derecesi 5 olan bir terim olmalıdır.

Buna göre,

\( m - 4 = 0 \Longrightarrow m = 4 \)

\( n - 2 = 5 \Longrightarrow n = 7 \)

\( m + n = 4 + 7 = 11 \) bulunur.

Öncelikle elimizdeki ifadede dıştan içe doğru giderek \( P(x) \)'in derecesini buluruz.

\( P^2() \)'li ifadenin derecesi 16 ise \( P() \)'li ifadenin derecesi 8 olur.

\( der[P(2x^2 + 2)] = 8 \)

\( P(x^2) \)'li ifadenin derecesi 8 ise \( P(x) \)'li ifadenin derecesi 4 olur.

\( der[P(x)] = 4 \)

\( P(x) \)'in derecesi 4 ise \( P(3x) \)'in derecesi de \( 4 \)'tür.

\( P(3x) - x^5 \) polinomunun derecesi en yüksek üslü terimin, yani \( x^5 \)'in derecesine eşittir, yani 5'tir.

\( P(3x) - x^5 \) polinomun karesi alındığında derecesi iki katına çıkar.

\( der[P(3x) - x^5]^2 = 2 \cdot 5 = 10 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı tanım gereği \( P(1) \) olur. \( P(1) \) değerini bulmak için \( x \) yerine yazmamız gereken değeri bulalım.

\( 4x - 7 = 1 \Longrightarrow x = 2 \)

\( P(4(2) - 7) = 2^3 - 6(2)^2 + 3(2) - 1 \)

\( P(1) = -11 \) bulunur.

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 ise, \( P(1) = 10 \) demektir.

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi tanım gereği \( P(0) \)'dır.

Verilen eşitlikte bulduğumuz \( P(1) \) değerini kullanarak \( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.

\( P(3 - 2) – P(3 - 3)= 6(3)^2 - 4 \)

\( P(1) – P(0) = 54 – 4 \)

\( 10 – P(0) = 50 \)

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = -40 \) olarak bulunur.

\( P(1) = (1^3 - 3(1) + 1)^2 – 2 = -1 \)

\( P(-1) = ((-1)^3 - 3(-1) + 1)^2 – 2 = 7 \)

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

\( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \)

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

\( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \)

Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(2 \cdot 0 + 1 = P(1) \) değerine eşittir.

Verilen polinomda \( P(1) \) değerini hesaplayalım.

\( P(1) = 1^5 - 3 \cdot 1^3 - a \cdot 1 + 3 \)

\( P(1) = 1 - a \)

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(3 \cdot 1 - 1 = P(2) \) değerine eşittir.

Verilen polinomda \( P(2) \) değerini hesaplayalım.

\( P(2) = 2^5 - 3 \cdot 2^3 - a \cdot 2 + 3 \)

\( P(2) = 11 - 2a \)

İki değerin birbirine eşit olduğu bilgisi verildiği için ifadeleri eşitleyelim.

\( 1 - a = 11 - 2a \)

\( a = 10 \)

Polinomlarda tanım gereği \( x \)'li terimlerin üssü doğal sayı olabilir.

Elimizdeki polinom \( P(x^2) \) formunda olduğu için bu polinomu \( P(x) \) cinsinden yazabilmemiz için polinomda üssü tek sayı olan terim bulunmaması gerekir.

Buna göre verilen \( P(x^2) \) polinomunda \( a \) ve \( c \) katsayıları sıfır olmalıdır.

\( P(x^2) = - bx^4 - dx^2 + b + d - 3 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \)'e eşittir.

Elde ettiğimiz polinomda \( P(1) \)'i bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1^2) = - b \cdot 1^4 - d \cdot 1^2 + b + d - 3 \)

\( P(1) = - b - d + b + d - 3 = -3 \)