Önceki bölümde gördüğümüz üzere, \( n \). dereceden bir polinomun reel ya da karmaşık sayı \( n \) sıfırı vardır. Bu bölümde bir polinomun sıfırlarıyla katsayıları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
Bir polinom \( (x - \alpha)^m \) şeklinde çok katlı çarpanlar içeriyorsa bu çarpanları sıfır yapan değerler aşağıda paylaşacağımız formüllere çarpanların katları adedince dahil edilir. Örneğin bir polinom \( (x - 2)^3 \) çarpanını içeriyorsa \( x = 2 \) değeri bu formüllere üçer kez dahil olur.
Birinci dereceden bir polinomun sıfırı \( x \) değişkeni \( P(x) = 0 \) denkleminde yalnız bırakılarak bulunur.
Üçüncü dereceden bir polinomun sıfırları ile katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
SORU 2:
\( x^3 + 4x^2 + 3x - 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Kökleri \( m - 1 \), \( n - 1 \) ve \( t - 1 \) olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = 3, \quad d = -2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{1} = -4 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + mt + nt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{1} = 3 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( (m - 1) + (n - 1) + (t - 1) = m + n + t - 3 \)
\( = -4 - 3 = -7 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\((m - 1)(n - 1) + (m - 1)(t - 1) + (n - 1)(t - 1) \)
\( = (mn - m - n + 1) + (mt - m - t + 1) + (nt - n - t + 1) \)
\( = (mn + mt + nt) - 2(m + n + t) + 3 \)
\( = 3 - 2(-4) + 3 = 14 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( (m - 1) \cdot (n - 1) \cdot (t - 1) \)
\( (m - 1) \cdot (nt - n - t + 1 ) \)
\( = mnt - mn - mt + m - nt + n + t - 1 \)
\( = mnt - (mn + mt + nt) + (m + n + t) - 1 \)
\( = 2 - 3 + (-4) - 1 = -6 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -7 \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( 14 \) ve kökler çarpımı \( -6 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-7)x^2 + 14x - (-6) = 0 \)
\( x^3 + 7x^2 + 14x + 6 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 3:
\( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( m^2n^2 \), \( m^2n^3 \) ve \( m^3n^2 \) ve katsayıları tam sayı olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{2} \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{2} = -1 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m^2n^2 + m^2n^3 + m^3n^2 = m^2n^2(1 + n + m) \)
\( = (-1)^2(1 -\dfrac{3}{2}) = -\dfrac{1}{2} \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( (m^2n^2)(m^2n^3) + (m^2n^2)(m^3n^2) + (m^2n^3)(m^3n^2) \)
\( = m^4n^5 + m^5n^4 + m^5n^5 \)
\( = m^4n^4(n + m + mn) \)
\( = (-1)^4(-\dfrac{3}{2} - 1) = -\dfrac{5}{2} \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m^2n^2 \cdot m^2n^3 \cdot m^3n^2 = m^7n^7 \)
\( = (mn)^7 = (-1)^7 = -1 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -\frac{1}{2} \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( -\frac{5}{2} \) ve kökler çarpımı \( -1 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-\dfrac{1}{2})x^2 + (-\dfrac{5}{2})x - (-1) = 0 \)
\( x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{5}{2}x + 1 = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 2 ile çarpalım.
\( 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 \)
SORU 4:
\( x^3 - 3x^2 + 20x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Kökleri \( m^2 \), \( n^2 \) ve \( t^2 \) olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 20, \quad d = 2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + nt + mt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{20}{1} = 20 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{2}{1} = -2 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m^2 + n^2 + t^2 = (m + n + t)^2 - 2(mn + nt + mt) \)
\( = 3^2 - 2(20) = -31 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( m^2n^2 + m^2t^2 + n^2t^2 = (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 \)
\( (mn + mt + nt)^2 \) açılımını kullanalım.
\( (mn + mt + nt)^2 = (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 + 2(m^2nt + mn^2t + mnt^2) \)
\( (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 = (mn + mt + nt)^2 - 2mnt(m + n + t) \)
\( = 20^2 - 2(-2)(3) = 412 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m^2n^2t^2 = (mnt)^2 \)
\( = (-2)^2 = 4 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -31 \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( 412 \) ve kökler çarpımı \( 4 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-31)x^2 + 412x - 4 = 0 \)
\( x^3 + 31x^2 + 412x - 4 = 0 \) bulunur.
SORU 5:
\( x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
\( \dfrac{m}{nt} + \dfrac{n}{mt} + \dfrac{t}{mn} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{m}{nt} + \dfrac{n}{mt} + \dfrac{t}{mn} = \dfrac{m^2 + n^2 + t^2}{mnt}\)
\( (m + n + t)^2 \) açılımını kullanalım.
\( m^2 + n^2 + t^2 = (m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt) \)
\( = \dfrac{(m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt)}{mnt} \)
3. dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkileri kullanalım.
\( x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0 \)
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, b = -6, c = -1, d = 30 \)
Kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} = 6 \)
Köklerin ikili çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + mt + nt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{30}{1} = -30 \)
İfadeleri değeri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt)}{mnt} \) \( = \dfrac{6^2 - 2(-1)}{-30} \)
\( = \dfrac{38}{-30} = -\dfrac{19}{15} \) bulunur.
SORU 6:
\( x^3 - 6x^2 + 10x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Buna göre \( (2m - 1)(2n - 1)(2t - 1) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 10, \quad d = -5 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} = 6 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + nt + mt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{1} = 10 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \)
Değeri istenen ifadenin açılımını yazalım.
\( (2m - 1)(2n - 1)(2t - 1) \) \( = (2m - 1)(4nt - 2n - 2t + 1 ) \)
\( = 8mnt - 4mn - 4mt + 2m - 4nt + 2n + 2t - 1 \)
\( = 8mnt - 4(mn + nt + mt) + 2(m + n + t) - 1 \)
\( = 8(5) - 4(10) + 2(6) - 1 \)
\( = 11 \) bulunur.
SORU 7:
Bir dikdörtgenler prizmasının genişliği, derinliği ve yüksekliği \( Q(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 2 \) polinomunun köklerine eşittir.
Bu prizmanın ayrıtları 2'şer birim uzatıldığında elde edilen prizmanın hacmi kaç birim küptür?
Çözümü Göster
Polinomun köklerine \( k, m, n \) diyelim.
Polinomun ayrıtları uzatıldığında elde edilen prizmanın hacmini bulalım.
\( V = (k + 2)(m + 2)(n + 2) \)
\( = kmn + 2km + 2kn + 2mn + 4k + 4m + 4n + 8 \)
\( = kmn + 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) + 8 \)
3. dereceden bir polinomdaki kök ve katsayı ilişkilerini kullanalım.
\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere,
Kökler toplamını bulalım.
\( k + m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{2} = \dfrac{9}{2} \)
Köklerin ikili çarpımlarının toplamını bulalım.
\( km + kn + mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{2} = 5 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( kmn = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-2}{2} = 1 \)
Bulduğumuz değerleri hacim formülünde yerlerine yazalım.
\( V = 1 + 2(5) + 4(\dfrac{9}{2}) + 8 \)
\( = 37 \) bulunur.
SORU 8:
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
İki farklı reel kökü olan \( P(x) = x^2 - mx + 3 \) polinomunun kökleri aynı zamanda \( Q(x) = x^3 - nx^2 + 29x - 12 \) polinomunun da kökleridir.
Buna göre \( m + n \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( P(x) \) polinomunun kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)
\( P(x) \) polinomunun kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 3 \)
\( Q(x) \) polinomunun kökler çarpımını bulalım. \( Q(x) \) polinomunun iki kökünün \( P(x) \) ile ortak olduğu biliniyor.
\( x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\dfrac{d}{a} = 12 \)
İlk iki kökün çarpımını yukarıda 3 olarak bulmuştuk.
\( 3 \cdot x_3 = 12 \)
\( x_3 = 4 \)
\( x_3 = 4 \) değeri \( Q(x) \) polinomunun bir kökü olduğuna göre polinomu sıfır yapar.
\( Q(4) = 4^3 - n(4)^2 + 29(4) - 12 = 0 \)
\( 64 - 16n + 116 - 12 = 0 \)
\( n = \dfrac{21}{2} \)
\( Q(x) \) polinomunun kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} = n \)
İlk iki kökün toplamını yukarıda \( m \) olarak bulmuştuk.
\( m + 4 = \dfrac{21}{2} \)
\( m = \dfrac{13}{2} \)
\( m + n = \dfrac{13}{2} + \dfrac{21}{2} = 17 \) olarak bulunur.
SORU 9:
\( P(x) \) 3. dereceden bir polinomdur.
\( P(-3) = P(-1) = P(2) = 0 \) veriliyor.
\( P(0) = 12 \) olduğuna göre, \( x^2 \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Polinomu sıfır yapan değerler \( P(x) = 0 \) denkleminin birer köküdür.
Verilen bilgiler doğrultusunda polinom tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = a(x + 3)(x + 1)(x - 2) \)
\( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = a(0 + 3)(0 + 1)(0 - 2) \)
\( -6a = 12 \)
\( a = -2 \)
\( P(x) = -2(x + 3)(x + 1)(x - 2) \)
Polinomun çarpanlarını genişletelim.
\( = -2(x^2 + 4x + 3)(x - 2) \)
\( = -2(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6) \)
\( = -2x^3 - 4x^2 + 10x + 12 \)
\( x^2 \)'li terimin katsayısı \( -4 \) olarak bulunur.
Alternatif olarak \( x^2 \)'li terimin katsayısını polinomun kökler toplamı formülünden de bulabiliriz.
Polinomun başkatsayısına \( a \), \( x^2 \)'li terimin katsayısı \( b \) diyelim.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \)
\( -3 + (-1) + 2 = -\dfrac{b}{-2} \)
\( b = -4 \) olarak bulunur.
SORU 10:
\( P(x) = x^5 - 11x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx - 27 \) polinomunun tüm kökleri pozitif tam sayı olduğuna göre, \( B \) kaçtır?
Çözümü Göster
Tek dereceli bir polinomda kökler çarpımı, sabit terimin başkatsayıya oranının negatifine eşittir.
Kökler çarpımı \( = -\dfrac{-27}{1} = 27 \)
5. dereceden reel katsayılı bir polinomun reel ya da karmaşık 5 kökü vardır.
Tüm kökler pozitif tam sayı olduğuna göre, polinomun kökleri çarpımları 27 olacak şekilde aşağıdaki şekillerde olabilir.
\( \{27, 1, 1, 1, 1\} \)
\( \{9, 3, 1, 1, 1\} \)
\( \{3, 3, 3, 1, 1\} \)
Bir polinomun kökler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
Kökler toplamı \( = -\dfrac{-11}{1} = 11 \)
Yukarıdaki 3 olasılıktan sadece üçüncüsünde kökler toplamı 11'dir.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = (x - 1)^2(x - 3)^3 \)
Polinomun açılımını yazalım.
\( = (x^2 - 2x + 1)(x^3 - 3x^2 + 9x - 27) \)
\( = x^5 - 11x^4 + 46x^3 - 90x^2 + 81x - 27 \)
Buna göre \( B = -90 \) olarak bulunur.
\( n \). dereceden bir polinomun sıfırları ile katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \)
Sıfırların toplamı: \( -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \)
\( n \) çift sayı ise:
Sıfırların çarpımı: \( \dfrac{a_0}{a_n} \)
\( n \) tek sayı ise:
Sıfırların çarpımı: \( -\dfrac{a_0}{a_n} \)
ÖRNEK:
\( P(x) = 2x^4 - 18x^3 + 42x^2 - 2x - 60 \)
Sıfırların toplamı \( = -\dfrac{-18}{2} = 9 \)
Sıfırların çarpımı \( = \dfrac{-60}{2} = -30 \)
Bu değerleri polinomun çarpanlarına ayrılmış hali ile teyit edebiliriz.
\( P(x) = 2(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) \)
İSPATI GÖSTER
2. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^2 + bx + c \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 \)
Bu ifadede \( x \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2) = b \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( ax_1x_2 = c \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)
3. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2, x_3 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(\ldots)x - ax_1x_2x_3 \)
Bu ifadede \( x^2 \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2 + x_3) = b \)
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -ax_1x_2x_3 = c \)
\( x_1x_2x_3 = -\dfrac{c}{a} \)
4. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^4 - a(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + a(\ldots)x^2 - a(\ldots)x + ax_1x_2x_3x_4 \)
Bu ifadede \( x^3 \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = b \)
\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( ax_1x_2x_3x_4 = c \)
\( x_1x_2x_3x_4 = \dfrac{c}{a} \)
Daha yüksek dereceli polinomlar
Bu örüntüyü daha yüksek dereceli polinomlara uyguladığımızda kökler toplamı ve çarpımı için aşağıdaki genel formülleri elde ederiz.
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \) olmak üzere,
Kökler toplamı: \( -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \)
Çift dereceli polinomlar için kökler çarpımı: \( \dfrac{a_0}{a_n} \)
Tek dereceli polinomlar için kökler çarpımı: \( -\dfrac{a_0}{a_n} \)
Gönder