Bir denklemin eşitliği değişkenlerin alabileceği tüm değerler için sağlanıyorsa o denkleme özdeşlik denir. Bir denklemde eşitlik sadece değişkenlerin belirli değerlerinde sağlanırken, özdeşlikte her değerde sağlanır.
En sık karşılaşacağımız özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
Dereceleri tek sayı olan iki terimin toplamında, birinci çarpanda iki terim kuvvetleri 1 alınarak toplanır, ikinci çarpanda terimlerin kuvvetinin bir eksiği ile başlayarak ilk terimin azalan kuvvetleri ve ikinci terimin artan kuvvetlerinin çarpımıyla oluşan terimler sırasıyla toplanır/çıkarılır.
Dereceleri tek sayı olan iki terimin farkında, birinci çarpanda terimlerin farkı alınır, ikinci çarpanda terimler toplanır.
Dereceleri çift sayı olan iki terimin toplamı için bir özdeşlik yoktur.
Dereceleri çift sayı olan iki terimin farkı çarpanlarına iki şekilde ayrılabilir. Birincisinde birinci çarpanda iki terimin farkı alınır, ikinci çarpanda terimler toplanır. Bu özdeşlikte \( y = -y \) yazarak ikinci özdeşliği elde edebiliriz.
Üç terimli bir ifadenin toplamının karesinin açılımı aşağıdaki gibidir.
Terimlerin işaretleri ve katsayıları farklı ise her terimi işareti ve katsayısı ile birlikte bir değişken olarak kabul ederek yukarıdaki açılımı yazabiliriz.
Yukarıda listelediğimiz özdeşlikleri birbirleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
SORU 1:
\( x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3} \) olduğuna göre, \( x - \dfrac{1}{x} \) ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Önce verilen ifadenin parantez karesini alalım.
\( \quad (x + \dfrac{1}{x})^2 = (2\sqrt{3})^2 \)
\( \quad x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 12 \)
\( \quad x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 12 \)
İki taraftan 4 çıkarırsak, ifade toplam karesinden fark karesine döner.
\( \quad x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 12 - 4 = 8 \)
\( \quad x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 8 \)
\( \quad (x - \dfrac{1}{x})^2 = 8 \)
İki tarafın karekökünü alırsak istenen ifadenin değerini bulmuş oluruz.
\( \quad x - \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{2} \)
SORU 2:
\( a - \dfrac{1}{a} = 3 \) olduğuna göre,
\( a^3 - \dfrac{1}{a^3} \) ifadesinin eşitini bulun.
Çözümü Göster
Verilen ifadede her iki tarafın karesini alalım.
\( (a - \dfrac{1}{a})^2 = 3^2 \)
\( a^2 - 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 9 \)
\( a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 \)
\( a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 11 \)
Değeri istenen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( a^3 - \dfrac{1}{a^3} = (a - \dfrac{1}{a})(a^2 + a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} ) \)
\( = (a - \dfrac{1}{a})(a^2 + 1 + \dfrac{1}{a^2} ) \)
Terimlerin değerlerini yerine koyduğumuzda sonucu aşağıdaki gibi buluruz.
\( = (3)(11 + 1) = 36 \)
SORU 3:
\( 2x - y = 4 \)
\( 4x^2 - y^2 = 32 \)
olduğuna göre, \( x - y \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci ifadeyi iki kare farkı şeklinde yazalım.
\( \quad 4x^2 - y^2= (2x)^2 - y^2 = 32 \)
\( \quad (2x - y)(2x + y) = 32 \)
\( \quad 4 \cdot (2x + y) = 32 \)
\( \quad 2x + y = 8 \)
Elimizde \( 2x + y \) ve \( 2x - y \) ifadelerinin değerleri olduğuna göre, iki bilinmeyenli iki denklemi çözerek \( x \) ve \( y \) değerlerini bulabiliriz.
\( \quad 2x + y = 8 \)
\( \quad 2x - y = 4 \)
Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde, \( x = 3 \) ve \( y = 2 \) buluruz.
\( \quad x - y = 1 \)
SORU 4:
\( a \), \( b \), \( c \) pozitif tam sayılar olmak üzere,
\( a^2 - (b + c)^2 = 13 \) olduğuna göre, \( a(b + c) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi iki kare farkı şeklinde yazalım.
\( \quad (a - (b + c))(a + (b + c)) = 13 \)
\( a \), \( b \), \( c \) tam sayılar olduğuna göre, bu sayıların toplamından ve farkından oluşan iki çarpan da birer tam sayı olur. İki tam sayının çarpımı bir asal sayı olan 13 olduğu için, bu iki sayıdan biri 13, diğeri 1 olmalıdır. Bilinmeyenler pozitif tam sayı olduğu için, toplam içeren çarpan daha büyük ve 13'e eşit olmalıdır.
\( \quad a + (b + c) = 13 \)
\( \quad a - (b + c) = 1 \)
İki ifadeyi taraf tarafa toplayarak \( a \) değerini bulalım.
\( \quad 2a = 14 \Longrightarrow a = 7 \)
\( a \)'nın değerini kullanarak \( b + c \) ifadesini de bulabiliriz.
\( \quad b + c = 6 \)
Sorulan ifadeyi aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \quad a(b + c) = 42 \)
SORU 5:
\( x = \sqrt[3]{10} - 1 \) olduğuna göre,
\( x^3 + 3x^2 + 3x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Sorulan ifadeye \( A \) diyelim.
\( \quad x^3 + 3x^2 + 3x = A \)
İfadeyi parantez küpüne benzetmek için iki tarafı 1 ile toplayalım.
\( \quad x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = A + 1 \)
\( \quad (x + 1)^3 = A + 1 \)
\( x \)'in değerini ifadede yerine koyalım.
\( \quad (\sqrt[3]{10} - 1 + 1)^3 = A + 1 \)
\( \quad \sqrt[3]{10}^3 = 10 = A + 1 \)
\( \quad A = x^3 + 3x^2 + 3x = 9 \)
SORU 6:
\( x^2 - y^2 = 12 \)
\( \dfrac{3^{x - y}}{3^{y - x}} = 81 \) olduğuna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{3^{x - y}}{3^{y - x}} = 81 \)
\( 3^{x - y - (y - x)} = 3^{2x - 2y} = 81 = 3^4 \)
\( 2x - 2y = 4 \Longrightarrow x - y = 2 \)
Bize verilen ilk ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 12 \)
\( 2(x + y) = 12 \)
\( x + y = 6 \)
SORU 7:
\( \dfrac{121^2 - 79^2}{57^2 - 43^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İki kare farkı şeklindeki ifadeleri çarpanları cinsinden yazalım.
\( \quad \dfrac{(121 - 79)(121 + 79)}{(57 - 43)(57 + 43)} \)
\( \quad = \dfrac{42 \cdot 200}{14 \cdot 100} \)
\( \quad = 2 \cdot 3 = 6 \)
SORU 8:
\( \dfrac{2^{16} - 1}{(2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Payı ve paydayı \( (2^2 - 1) \) ile çarpalım.
\( \quad \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^2 - 1)} \)
Paydada en sondaki iki çarpanı iki kare farkı şeklinde yazabiliriz.
\( \quad = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)} \)
Paydada en sondaki iki çarpana aynı işlemi iki kez daha uygulayabiliriz.
\( \quad = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^8 - 1)} \)
\( \quad = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^{16} - 1)} \)
Pay ve paydadaki çarpanı sadeleştirebiliriz.
\( \quad = 2^2 - 1 = 3\)
SORU 9:
\( a \) pozitif reel sayı olmak üzere,
\( (2 + \dfrac{1}{a}) \cdot (4 + \dfrac{1}{a^2}) = \dfrac{609a}{1 - 2a} \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim.
\( \dfrac{1 + 2a}{a} \cdot \dfrac{1 + 4a^2}{a^2} = \dfrac{609a}{1 - 2a} \)
609'un yerini sabit tutarak içler dışlar çarpımı yapalım.
\( \dfrac{1 - 2a}{a} \cdot \dfrac{1 + 2a}{a} \cdot \dfrac{1 + 4a^2}{a^2} = 609 \)
İlk iki çarpanın payları için kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{1^2 - (2a)^2}{a^2} \cdot \dfrac{1 + 4a^2}{a^2} = 609 \)
\( \dfrac{1 - 4a^2}{a^2} \cdot \dfrac{1 + 4a^2}{a^2} = 609 \)
Yine kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{1^2 - (4a^2)^2}{a^4} = \dfrac{1 - 16a^4}{a^4} = 609 \)
\( \dfrac{1}{a^4} - 16 = 609 \)
\( \dfrac{1}{a^4} = 625 \)
\( a^4 = \dfrac{1}{625} \)
\( a = \dfrac{1}{5} \) bulunur.
SORU 10:
\( x^6 + 3x^3y^3 + y^6 = 649 \)
\( (x - y)^3 = 64 \)
\( x \cdot y = -3 \) olduğuna göre, \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bilgileri kullanarak daha sade ifadelere ulaşmaya çalışalım.
\( (x - y)^3 = 64 \Longrightarrow x - y = 4 \)
Parantez küpü ifadesinin açılımını yazalım.
\( x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 64 \)
\( x^3 - 3(xy)(x - y) - y^3 = 64 \)
\( xy \) ve \( x - y \) ifadelerinin değerlerini yerine koyalım.
\( x^3 - y^3 - 3 \cdot (-3) \cdot 4 = 64 \)
\( x^3 - y^3 + 36 = 64 \)
\( x^3 - y^3 = 28 \)
İlk denklemdeki \( x^6 + 3x^3y^3 + y^6 = 649 \) ifadesinde ortadaki terimi ikiye ayıralım.
\( x^6 + 2x^3y^3 + y^6 + x^3y^3 = 649 \)
İlk 3 terimi parantez karesi şeklinde yazalım.
\( (x^3 + y^3)^2 + x^3y^3 = 649 \)
\( x \cdot y = -3 \Longrightarrow x^3y^3 = -27 \)
\( (x^3 + y^3)^2 - 27 = 649 \)
\( (x^3 + y^3)^2 = 676 \)
Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.
\( \abs{x^3 + y^3} = 26 \)
\( x^3 + y^3 = 26 \) ya da \( x^3 + y^3 = -26 \)
1. durum:
\( x^3 + y^3 = 26 \)
Bu denklemi yukarıda bulduğumuz \( x^3 - y^3 = 28 \) denklemi ile ortak çözelim.
\( y^3 = -1 \)
\( y = -1 \)
2. durum:
\( x^3 + y^3 = -26 \)
Bu denklemi yukarıda bulduğumuz \( x^3 - y^3 = 28 \) denklemi ile ortak çözelim.
\( y^3 = -27 \)
\( y = -3 \)
Bu durumda \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı \( -1 + (-3) = -4 \) olarak bulunur.
SORU 11:
\( 4a^2 + 2a + 1 = 0 \) ise \( (a^6 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Küp farkı özdeşliğini yazalım.
\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
Bu özdeşlikte \( x = 2a \) ve \( y = 1 \) koyalım.
\( (2a)^3 - 1^3 = (2a - 1)((2a)^2 + 2a + 1^2) \)
\( 8a^3 - 1 = (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1) \)
\( 4a^2 + 2a + 1 = 0 \) olduğu biliniyor.
\( 8a^3 - 1 = (2a - 1)(0) = 0 \)
\( 8a^3 = 1 \)
\( a^3 = \dfrac{1}{8} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (a^6 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} = ((a^3)^2 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13}\)
\( a^3 = \frac{1}{8} \) yazalım.
\( = ((\dfrac{1}{8})^2 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} = (\dfrac{1}{64} - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} \)
\( = 0^\sqrt{13} = 0 \) bulunur.
SORU 12:
\( x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \) ve \( y = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x^2 - 4xy + y^2}{x^2 + 8xy + y^2} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Köklü ifadelerle daha az işlem yapmak için değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{x^2 - 4xy + y^2}{x^2 + 8xy + y^2} = \dfrac{x^2 - 2xy + y^2 - 2xy}{x^2 + 2xy + y^2 + 6xy} \)
\( = \dfrac{(x - y)^2 - 2xy}{(x + y)^2 + 6xy} \)
İhtiyacımız olan terimleri elde edelim.
\( xy = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = 1 \)
Paydalar eşlenik olduğundan toplama çıkarma işleminden önce paydaları eşitleyelim.
\( x = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} \)
\( y = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} \)
\( x - y = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} - \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \dfrac{-4\sqrt{10}}{3} \)
\( x + y = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} + \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \dfrac{14}{3} \)
Bulduğumuz ifadeleri yerlerine koyalım.
\( \dfrac{(x - y)^2 - 2xy}{(x + y)^2 + 6xy} = \dfrac{(\dfrac{-4\sqrt{10}}{3})^2 - 2}{(\dfrac{14}{3})^2 + 6} \)
\( = \dfrac{\dfrac{160}{9} - 2}{\dfrac{196}{9} + 6} = \dfrac{\dfrac{142}{9}}{\dfrac{250}{9}} \)
\( = \dfrac{142}{250} = \dfrac{71}{125} \) bulunur.
SORU 13:
\( 4a + \dfrac{8}{3a} = 2 \) olduğuna göre, \( a^3 + \dfrac{8}{27a^3} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Soruda istenen ifadeyi inceleyelim.
\( a^3 + \dfrac{8}{27a^3} = a^3 + (\dfrac{2}{3a})^3 \)
Verilen eşitliği 4 ile sadeleştirerek benzer ifade elde edelim.
\( a + \dfrac{2}{3a} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)
İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
\( x^2 + y^2 \) ifadesini parantez karesi özdeşliğini kullanarak yeniden yazalım.
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \)
Buna göre iki küp toplamı özdeşliğini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) \)
Bu özdeşlikte \( x = a \) ve \( y = \frac{2}{3a} \) yazarsak soruda istenen ifadeyi elde ederiz.
\( a^3 + (\dfrac{2}{3a})^3 = (a + \dfrac{2}{3a})((a + \dfrac{2}{3a})^2 - 3a\dfrac{2}{3a}) \)
\( a^3 + \dfrac{8}{27a^3} = (\dfrac{1}{2})((\dfrac{1}{2})^2 - 2) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (-\dfrac{7}{4}) = -\dfrac{7}{8} \) bulunur.
SORU 14:
\( x^4 - x^2y^2 + y^4 = 541 \) ve \( xy = 10 \) olduğuna göre, \( x^2 + xy + y^2 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denklemleri özdeşliklere benzetmeye çalışalım.
\( x^4 - x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 3x^2y^2 \)
\( = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 = 541 \)
\( (x^2 + y^2)^2 - 300 = 541 \)
\( (x^2 + y^2)^2 = 841 \)
İki tarafın karekökünü alalım.
\( \abs{x^2 + y^2} = 29 \)
İki karenin toplamı her zaman pozitif olacağı için mutlak değerli ifade dışarı işaret değiştirmeden çıkar.
\( x^2 + y^2 = 29 \)
Bulduğumuz değerleri soruda istenen ifadede yerlerine koyalım.
\( x^2 + y^2 + xy = 29 + 10 \)
\( = 39 \) olarak bulunur.
SORU 15:
\( x = 4 + \sqrt[3]{5} \) olduğuna göre, \( x^3 - 12x^2 + 48x - 68 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( x^3 - 12x^2 + 48x - 68 = x^3 - 3 \cdot 4 \cdot x^2 + 3 \cdot 4^2 \cdot x - 4^3 - 4 \)
İfadenin son terim dışındaki kısmı parantez küp özdeşliğidir.
\( = (x - 4)^3 - 4 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( = (4 + \sqrt[3]{5} - 4)^3 - 4 \)
\( = (\sqrt[3]{5})^3 - 4 \)
\( = 5 - 4 = 1 \) bulunur.
SORU 16:
\( x^4 + 16x^{-4} = 433 \) ve \( x \gt 0 \) olduğuna göre,
\( x^2 - 5x + 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemi düzenleyerek bir özdeşlik elde etmeye çalışalım.
\( x^4 + \dfrac{4^2}{x^4} = 433 \)
Eşitliğin iki tarafına 8 ekleyelim.
\( x^4 + \dfrac{4^2}{x^4} + 8 = 441 \)
İfadeyi parantez karesinin açılımına benzetelim.
\( x^4 + 2 \cdot x^2 \cdot \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{4^2}{x^4} = 441 \)
\( (x^2 + \dfrac{4}{x^2})^2 = 441 \)
Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.
\( \abs{x^2 + \dfrac{4}{x^2}} = 21 \)
Bir sayının karesi her zaman pozitif olduğu için mutlak değerli ifade her zaman pozitif olur.
\( x^2 + \dfrac{4}{x^2} = 21 \)
Elde ettiğimiz eşitliğin iki tarafına 4 ekleyelim.
\( x^2 + \dfrac{2^2}{x^2} + 4 = 25 \)
İfadeyi parantez karesinin açılımına benzetelim.
\( x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{x} + \dfrac{2^2}{x^2} = 25 \)
\( (x + \dfrac{2}{x})^2 = 25 \)
Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.
\( \abs{x + \dfrac{2}{x}} = 5 \)
\( x \) sıfırdan büyük olduğu için mutlak değer içindeki ifade de pozitif olur.
\( x + \dfrac{2}{x} = 5 \)
\( \dfrac{x^2 + 2}{x} = 5 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( x^2 + 2 = 5x \)
\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)
Soruda istenen ifadeyi elde etmek için eşitliğin iki tarafına 2 ekleyelim.
\( x^2 - 5x + 4 = 2 \) olarak bulunur.
SORU 17:
\( x - \dfrac{1}{x} = 4 \) ve \( x \gt 0 \) olduğuna göre,
\( x^4 - \dfrac{1}{x^4} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^4 - \dfrac{1}{x^4} \) ifadesini çarpanlarına ayırarak en sade haline getirelim.
\( (x^2 - \dfrac{1}{x^2})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)
\( = (x - \dfrac{1}{x})(x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} \) ifadesini elde etmek için soruda verilen ifadenin karesini alalım.
\( (x - \dfrac{1}{x})^2 = 4^2 \)
\( x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 16 \)
\( x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 18 \)
\( x + \dfrac{1}{x} \) ifadesini elde etmek için parantez karesi özdeşliğini kullanalım.
\( (x + \dfrac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} \)
\( = 18 + 2 = 20 \)
Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.
\( \abs{x + \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{5} \)
\( x \) pozitif bir reel sayı olduğuna göre, \( x + \dfrac{1}{x} \) toplamı da pozitiftir.
\( x + \dfrac{1}{x} = 2 \sqrt{5} \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( (x - \dfrac{1}{x})(x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)
\( = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 18 = 144\sqrt{5} \) bulunur.
SORU 18:
\( \dfrac{y^3}{x^3} + 1 = -\dfrac{x^3}{y^3} \)
olduğuna göre, \( x^9 - y^9 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{y^3}{x^3} + 1 + \dfrac{x^3}{y^3} = 0 \)
Paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{y^3 \cdot y^3 + x^3 \cdot y^3 + x^3 \cdot x^3}{x^3 \cdot y^3} = 0 \)
\( y^6 + x^3y^3 + x^6 = 0 \)
Soruda istenen ifadeyi küp farkı özdeşliği şeklinde yazabiliriz.
\( x^9 - y^9 = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6) \)
\( = (x^3 - y^3) \cdot 0 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 19:
\( a = 23 \)
\( b = -19 \)
\( c = -4 \)
olduğuna göre, \( a^3 + b^3 + c^3 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadeyi yazalım.
\( 23^3 + (-19)^3 + (-4)^3 = 23^3 - 19^3 - 4^3 \)
Parantez küpü özdeşliğini kullanalım.
\( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
\( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) \)
Bu özdeşliği 19 ve 4'ün toplamı için yazalım.
\( (19 + 4)^3 = 19^3 + 4^3 + 3 \cdot 19 \cdot 4 \cdot (19 + 4) \)
\( 23^3 = 19^3 + 4^3 + 5244 \)
\( 23^3 - 19^3 - 4^3 = 5244 \)
Sonuç 5244 olarak bulunur.
SORU 20:
Küplerinin farkının, farklarının küpüne oranı \( \frac{25}{19} \) olan iki pozitif sayının çarpımı 216'dır. Buna göre bu iki sayının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılara \( a \) ve \( b \) diyelim ve verilen ifadeyi denklem haline getirelim.
\( \dfrac{a^3 - b^3}{(a - b)^3} = \dfrac{25}{19} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 19(a^3 - b^3) = 25(a - b)^3 \)
İki küp farkı açılımını yazalım.
\( 19(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 25(a - b)^3 \)
\( a \) ve \( b \) birbirine eşit olmadığı için \( a - b \) ifadeleri sadeleşir.
\( 19(a^2 + ab + b^2) = 25(a - b)^2 \)
\( 19(a^2 + ab + b^2) = 25(a^2 - 2ab + b^2) \)
\( 19a^2 + 19ab + 19b^2 = 25a^2 - 50ab + 25b^2 \)
\( 6a^2 + 6b^2 = 69ab \)
\( a^2 + b^2 = \dfrac{23ab}{2} \)
Eşitliğin her iki tarafına \( 2ab \) ekleyerek denklemin sol tarafında tam kare özdeşliği elde edelim.
\( a^2 + 2ab + b^2 = \dfrac{27ab}{2} \)
\( (a + b)^2 = \dfrac{27ab}{2} \)
Soruda \( ab = 216 \) olarak veriliyor.
\( (a + b)^2 = \dfrac{27 \cdot 216}{2} \)
\( (a + b)^2 = 2916 \)
\( a + b = 54 \) bulunur.