Dereceleri aynı olan terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan polinomlar eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
SORU 1:
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \)
olduğuna göre, \( A \cdot B \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafındaki ifadeleri birbirine benzetmek için eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} + \dfrac{B(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} \)
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{Ax + A + Bx - 2B}{(x - 2)(x + 1)} \)
Paydalar eşit olduğuna göre paylar da eşit olmalıdır.
\( 3x + 6 = Ax + A + Bx - 2B \)
\( 3x + 6 = (A + B)x + A - 2B \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 3 = A + B \)
\( 6 = A - 2B \)
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( -3 = B \Longrightarrow B = -1 \)
\( 3 = A + B \Longrightarrow A = 4 \)
\( A \cdot B = 4 \cdot (-1) = -4 \) bulunur.
SORU 2:
\( P(x) = K(2x - 1) + L(x + 2)^2 - 2Mx \)
\( P(x) \) bir sabit polinom ve \( P(x) = -3 \) olduğuna göre, \( K + L + M \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster
Polinom tanımındaki terimlerin açılımını yazalım.
\( P(x) = 2Kx - K + L(x^2 + 4x + 4) - 2Mx \)
\( = 2Kx - K + Lx^2 + 4Lx + 4L - 2Mx \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L \)
\( P(x) = -3 \) olarak veriliyor.
\( Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L = -3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( L = 0 \)
\( -K + 4L = -3 \)
\( -K + 4(0) = -3 \)
\( K = 3 \)
\( 2K + 4L - 2M = 0 \)
\( 2(3) + 4(0) - 2M = 0 \)
\( M = 3 \)
\( K + L + M = 3 + 0 + 3 = 6 \) bulunur.
SORU 3:
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( P(x - 2) = x^2 + ax + b \)
\( P(x - 1) = x^2 - x - 4 \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Polinomları birbirine eşitleyebilmek için ikinci eşitlikte \( x \) yerine \( x - 1 \) yazalım.
\( P((x - 1) - 1) = (x - 1)^2 - (x - 1) - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 2x + 1 - x + 1 - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 3x - 2 \)
Bu polinom verilen birinci polinoma eşit olduğu için iki polinomu birbirine eşitleyebiliriz.
\( x^2 + ax + b = x^2 - 3x - 2 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = -3 , \quad b = -2 \)
Buna göre \( a + b = (-3) + (-2) = -5 \) bulunur.
İki polinom arasındaki toplama/çıkarma işleminde, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır/çıkarılır ve o terimin katsayısı olarak yazılır.
Yukarıdaki \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarını örnek olarak alırsak polinomların toplamını ve farkını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
İki polinomun çarpımında birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile çarpılır ve elde edilen terimler içindeki benzer terimler aralarında toplanır.
\( m \) terimli bir polinom ile \( n \) terimli bir polinomun çarpımı sonucunda \( m \cdot n \) terimli bir polinom oluşur, ancak benzer terimlerin aralarında toplanması/çıkarılması sonucunda toplam terim sayısı daha düşük olabilir.
Bir polinomun \( n \). dereceden üssü o polinomun \( n \) kez kendisiyle çarpımına eşittir.
Polinomlar arasında bileşke işlemi fonksiyonlardakine benzer şekilde yapılır. Buna göre iki polinom arasındaki bileşke işleminde birinci polinomdaki her \( x \) değişkeni yerine ikinci polinom yazılır.
SORU 4:
\( ( -x^2 + 7 + x)(2x + 3x^2+ 3) \) çarpımının açılımını terimler \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralanacak şekilde yazın.
Çözümü Göster
Önce çarpanların içindeki terimleri \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralayalım.
\( (-x^2 + x + 7)(3x^2 + 2x + 3) \)
Birinci çarpandaki terimleri sırayla ikinci çarpanla çarpalım.
\( = -x^2(3x^2 + 2x + 3) + x(3x^2 + 2x + 3) + 7(3x^2 + 2x + 3) \)
\( = (-3x^4 - 2x^3 -3x^2) + (3x^3 + 2x^2 + 3x) + (21x^2 + 14x + 21) \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = -3x^4 + (-2 + 3)x^3 + (-3 + 2 + 21)x^2 + (3 + 14)x + 21 \)
\( = -3x^4 + x^3 + 20x^2 + 17x + 21 \) bulunur.
SORU 5:
\( P(x) = 3x^3 - 2x + 1 \)
\( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \)
olduğuna göre, \( (P \cdot Q)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( (P \cdot Q)(-2) = P(-2) \cdot Q(-2) \)
\( P(-2) = 3(-2)^3 - 2(-2) + 1 = -19 \)
\( Q(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 1 = 13 \)
\( P(-2) \cdot Q(-2) = -19 \cdot 13 \)
\( = -247 \) bulunur.
SORU 6:
\( P(3x - 1) - P(x - 2) = 6x + 3 \) olduğuna göre, \( P(2) - P(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeye göre \( P(x) \) polinomu birinci dereceden bir polinomdur.
\( P(x) = ax + b \)
\( x \) yerine \( 3x - 1 \) yazarak \( P(3x - 1) \) polinomunu, \( x - 2 \) yazarak \( P(x - 2) \) polinomunu bulalım.
\( a(3x - 1) + b - (a(x - 2) + b) = 6x + 3 \)
\( 2ax + a = 6x + 3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 3 \)
\( P(x) = 3x + b \)
Sorudaki ifadenin değerini bulmak için \( b \) değerine ihtiyacımız yoktur.
\( P(2) - P(1) = 3(2) + b - (3(1) + b) = 3 \) bulunur.
SORU 7:
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( 2(x^2 - 4)P(x) = ax^5 + x^3 + 2x^2 - b \) veriliyor.
Buna göre, \( P(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını sıfırlamak için \( x^2 = 4 \) yazalım.
\( 2(x^2 - 4)P(x) = a(x^2)^2 \cdot x + x^2 \cdot x + 2x^2 - b \)
\( 2(4 - 4)P(x) = a(4)^2 \cdot x + 4 \cdot x + 2(4) - b \)
\( 0 = 16ax + 4x + 8 - b \)
\( 0 = (16a + 4)x + 8 - b \)
Bir polinom sıfır polinomu ise tüm katsayıları sıfırdır.
\( 16a + 4 = 0 \Longrightarrow a = -\dfrac{1}{4} \)
\( 8 - b = 0 \Longrightarrow b = 8 \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.
\( 2(x^2 - 4)P(x) = -\dfrac{1}{4}x^5 + x^3 + 2x^2 - 8 \)
\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( 2(4^2 - 4)P(4) = -\dfrac{1}{4}4^5 + 4^3 + 2(4)^2 - 8 \)
\( 24P(4) = -256 + 64 + 32 - 8 \)
\( P(4) = -7 \) bulunur.
SORU 8:
\( A, B, C, D \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1) + 2x}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2x + 2} \)
olduğuna göre, \( A + B + D + C \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin solunda paydaki iki çarpanı küp farkı şeklinde yazalım.
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \)
\( \dfrac{x^3 - 1 + 2x}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2x + 2} \)
\( \dfrac{x^3 + 2x - 1}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2(x + 1)} \)
Eşitliğin iki tarafını \( x + 1 \) ile çarpalım.
\( x^3 + 2x - 1 = (Ax^2 + Bx + C)(x + 1) + \dfrac{D}{2} \)
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + Ax^2 + Bx^2 + Bx + Cx + C + \dfrac{D}{2} \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + (A + B)x^2 + (B + C)x + C + \dfrac{D}{2} \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( x^3 = Ax^3 \Longrightarrow A = 1 \)
Eşitliğin solunda \( x^2 \)'li terim yoktur.
\( 0x^2 = (A + B)x^2 \)
\( 0 = A + B \Longrightarrow B = -1 \)
\( 2x = (B + C)x \)
\( 2 = B + C \Longrightarrow C = 3 \)
\( -1 = C + \dfrac{D}{2} \)
\( -1 = 3 + \dfrac{D}{2} \)
\( D = -8 \)
\( A + B + D + C = 1 + (-1) + 3 + (-8) = -5 \) bulunur.
SORU 9:
\( A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - 9x^4 + 32x^3 - 56x^2 + 48x - 9 \) polinomu,
\( P(x) = (x - 1)(x - A)^4 + B \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( B \) değerini bulmak için her iki denklemde \( x = 1 \) yazalım.
\( P(1) = 1^5 - 9(1)^4 + 32(1)^3 - 56(1)^2 + 48(1) - 9 \)
\( = 1 - 9 + 32 - 56 + 48 - 9 = 7 \)
\( P(1) = (1 - 1)(1 - A)^4 + B = B \)
Her iki ifadeden gelen \( P(1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( B = 7 \)
İkinci denklemde \( B \) değerini yerine yazalım.
\( P(x) = (x - 1)(x - A)^4 + 7 \)
Her iki denklemde herhangi bir değer olarak \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 9(2)^4 + 32(2)^3 - 56(2)^2 + 48(2) - 9 \)
\( = 32 - 144 + 256 - 224 + 96 - 9 \)
\( = 7 \)
\( P(2) = (2 - 1)(2 - A)^4 + 7 = (2 - A)^4 + 7 \)
Her iki ifadeden gelen \( P(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( (2 - A)^4 + 7 = 7 \)
\( (2 - A)^4 = 0 \)
\( A = 2 \)
\( A + B = 2 + 7 = 9 \) bulunur.
SORU 10:
\( k, A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - kx^3 + 19x + 12 \) polinomu,
\( P(x) = (x - 2)^2 \cdot Q(x) + Ax + B \) eşitliğini de sağlamaktadır.
\( P(1) = 27 \) olduğuna göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Göster
Polinom tanımında \( x = 1 \) yazarak \( k \) değerini bulalım.
\( P(1) = 1^5 - k(1)^3 + 19(1) + 12 \)
\( = 32 - k = 27 \)
\( k = 5 \)
\( k \) değerini polinom tanımında yerine yazalım.
\( P(x) = x^5 - 5x^3 + 19x + 12 \)
\( P(2) \) değerini bulmak için her iki ifadede \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 5(2)^3 + 19(2) + 12 = 42 \)
\( P(2) = (2 - 2)^2 \cdot Q(2) + 2A + B = 2A + B \)
Her iki ifadeden gelen \( P(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( 2A + B = 42 \)
İkinci eşitlikte \( x - 2 \) çarpanı iki katlı olduğu için ifadenin türevinde de \( x = 2 \) yazarak \( Q(x) \) çarpanını yokedebiliriz.
Soruda verilen eşitliklerin türevlerini alalım.
\( P'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 19 \)
\( P'(x) = 2(x - 2) \cdot Q(x) + (x - 2)^2 \cdot Q'(x) + A \)
Her iki ifadede \( P'(2) \) değerini bulalım.
\( P'(2) = 5(2)^4 - 15(2)^2 + 19 = 39 \)
\( P'(2) = 2(2 - 2) \cdot Q(2) + (2 - 2)^2 \cdot Q'(2) + A = A \)
Her iki ifadeden gelen \( P'(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A = 39 \)
\( 2A + B = 52 \) denkleminde \( A = 39 \) yazalım.
\( 2(39) + B = 42 \)
\( B = -36 \)
\( A + B = 39 + (-36) = 3 \) bulunur.
SORU 11:
\( A, B \in \mathbb{Z} \) ve
\( A, B \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = Ax^6 + Bx^3 - 2x + 9 \) polinomu,
\( P(x) = 66(x - 1)(x + 1)Q(x) + 4x - 1 \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre \( A \cdot B \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci eşitlikte \( Q(x) \) polinomunu yokedecek şekilde verilen ifadelerde \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) koyalım.
\( P(1) = A(1)^6 + B(1)^3 - 2(1) + 9 = A + B + 7 \)
\( P(1) = 66(1 - 1)(1 + 1)Q(1) + 4(1) - 1 = 3 \)
İki ifadenin \( P(1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A + B + 7 = 3 \)
\( A + B = -4 \)
\( P(-1) = A(-1)^6 + B(-1)^3 - 2(-1) + 9 = A - B + 11 \)
\( P(-1) = 66(1 - (-1))(1 + (-1))Q(-1) + 4(-1) - 1 = -5 \)
İki ifadenin \( P(-1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A - B + 11 = -5 \)
\( A - B = -16 \)
Bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( (A + B) + (A - B) = -4 + (-16) \)
\( 2A = -20 \Longrightarrow A = -10 \)
Denklemlerden birinde \( A = -10 \) koyalım.
\( -10 + B = -4 \)
\( B = 6 \)
\( A \cdot B = -10 \cdot 6 = -60 \) bulunur.
SORU 12:
\( P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x + B \) polinomu,
\( P(x) = (x - A)^3 + 7 \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci eşitliğin açılımını yazalım.
\( P(x) = (x - A)^3 + 7 \)
\( P(x) = x^3 - 3Ax^2 + 3A^2x - A^3 + 7 \)
Verilen iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.
\( x^3 - 3Ax^2 + 3A^2x - A^3 + 7 = x^3 - 9x^2 + 27x + B \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( -3Ax^2 = -9x^2 \Longrightarrow A = 3 \)
\( -A^3 + 7 = B \)
\( -3^3 + 7 = B \Longrightarrow B = -20 \)
\( A + B = 3 + (-20) = -17 \) bulunur.
SORU 13:
\( (3x^3 + ax^2 + x - 2)(2x^3 + 3x^2 - x - 1) \) çarpımının açılımında \( x^4 \)'lü terimin katsayısı 2 olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Açılımdaki \( x^4 \)'lü terim her bir çarpandan gelen aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir.
\( x^3 \cdot x^1, \quad x^2 \cdot x^2, \quad x^0 \cdot x^3 \)
\( 3x^3 \cdot (-x) + ax^2 \cdot 3x^2 + x \cdot 2x^3 \) \( = (-3 + 3a + 2)x^4 \)
Bu terimin katsayısı 2 olarak veriliyor.
\( -3 + 3a + 2 = 2 \)
\( a = 1 \) bulunur.
SORU 14:
\( P(x) = 343x^4 + 232x^3 + 12x^2 + 3x + 2 \) ve
\( Q(x) = 656x^4 + 545x^3 + 15x^2 + 6x + 10 \) polinomları veriliyor.
\( P(x) \cdot Q(x) \) çarpımının açılımındaki \( x^2 \)'li terimin katsayısını bulunuz.
Çözümü Göster
Açılımdaki \( x^2 \)'li terim \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarından gelen aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir.
\( x^2 \cdot x^0, \quad x^1 \cdot x^1, \quad x^0 \cdot x^2 \)
\( 12x^2 \cdot 10 + 3x \cdot 6x + 2 \cdot 15x^2 \)
\( = 120x^2 + 18x^2 + 30x^2 \)
\( = 168x^2 \)
\( x^2 \)'li terimin katsayısı 168'dir.