Polinomlarda İşlemler

Polinomların Eşitliği

Aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan polinomlar eşittir. Aynı şekilde, birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.

SORU:

\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \)

olduğuna göre, \( A + B \) kaçtır?

Çözümü Göster

Toplama/Çıkarma İşlemi

İki polinom arasındaki toplama/çıkarma işleminde, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır/çıkarılır ve o terimin kat sayısı olarak yazılır.

Yukarıdaki \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarını örnek olarak alırsak polinomların toplamını ve farkını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

İki polinomun toplamı/farkı olan bir polinomun derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.

Bu formülün bir istisnası olarak, iki polinomun dereceleri eşitse ve en yüksek dereceli terimler birbirini götürürse işlem sonucu daha düşük dereceli bir polinom çıkabilir.

Çarpma İşlemi

İki polinomun çarpımında birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile çarpılır ve elde edilen terimler içindeki benzer terimler toplanır.

SORU:

\( P(x) = x^4 - 2x^3 + 2x + 1 \)

\( Q(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2 \)

olduğuna göre, \( 3P(1) + 2Q(-1) \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = 3x^3 - 2x + 1 \)

\( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \)

olduğuna göre, \( (P \cdot Q)(-2) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Her iki polinom da sıfır polinomundan farklı olmak koşuluyla, iki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Bunun sebebi, işlem sonucunun en yüksek dereceli teriminin her iki polinomun en yüksek dereceli terimlerinin çarpımı olması ve üslü ifadelerin çarpımının derecesinin üslerinin toplamına eşit olmasıdır.

SORU:

\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom ve \( a \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( der[P(x)] = 3a + 2 \)

\( der[Q(x)] = a + 3 \)

\( der[P(x) \cdot Q(x)] = 17 \) ise, \( a \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) = (x^2 + 3x - 1)^3 \cdot (x^3 - x)^k \cdot (x^4 - x)^8 \)

polinomunun derecesi 44 olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Üs İşlemi

Bir polinomun \( n \). dereceden üssü o polinomun \( n \) kez kendisi ile çarpımına eşittir.

Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir. Bunun sebebi, işlem sonucunun en yüksek dereceli teriminin polinomun en yüksek dereceli teriminin kendisiyle \( n \) kez çarpımı olmasıdır.

SORU:

\( P(x) \) üçüncü dereceden, \( Q(x) \) ikinci dereceden birer polinom olmak üzere,

\( P^2(x^2) \cdot Q^4(3x) \) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözümü Göster

Bileşke İşlemi

Polinomların bileşkesini fonksiyonlara benzer şekilde alabiliriz.

İki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Bunun sebebi, bileşke işleminde ikinci polinomu birinci polinomdaki her \( x \) değişkeninin yerine koyuyor olmamız ve bir üslü ifadenin bir diğer üssünün derecesinin üslerin çarpımı olmasıdır.


« Önceki
Polinom Tipleri
Sonraki »
Polinomlarda Bölme İşlemi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır