Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma bir cebirsel ifadenin ya da sayının kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir ifadenin her teriminde ortak bazı çarpanlar bulunuyorsa ifadeyi bu çarpanların parantezine alabiliriz. Ortak çarpanlar birer sayı (2, 5 gibi), değişken (\( x, y \) gibi) ya da ikisinin çarpımı (\( 2x^2y \) gibi) şeklinde ifadeler olabilir. Bu işlem için terimlerin katsayılarını ve değişkenlerini indirgenebilecek en temel çarpanları bazında düşünmemiz gerekir.

Çarpanlarına ayırma işleminde öncelikle bu yönteme başvurulmalıdır, bu şekilde ortak çarpanları sadeleşmiş ifadeye diğer yöntemlerin uygulanması daha kolay olacaktır.

Bu yönteme diğer bazı örnekler aşağıdaki gibidir.

İfade Çarpanlar
\( 24x - 32z \) \( 8(3x - 4z) \)
\( 24x^2y^4z - 36x^3y^3z^2 \) \( 12x^2y^3z(2y - 3xz) \)
\( \dfrac{x}{ya} + \dfrac{x}{yb} - \dfrac{x}{yc} \) \( \dfrac{x}{y} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right) \)
\( -3 - a \) \( -1(3 + a) \)

Gruplara Ayırma

Bazı ifadelerde tüm terimlerin ortak çarpanı yoktur, ancak terimleri gruplara ayırıp ayrı ayrı çarpanlarına ayırdığımızda ortak çarpanlar oluşur.

SORU:

\( ab + a - 3b - 3 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( ac + ad + bc + bd \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster


SORU:

\( 2x^2 - 2y^2 - x - y \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster

Terim Ekleme/Çıkarma

Bazı durumlarda ifadeye bir terim ekleyerek ve çıkararak ifadeyi diğer yöntemleri kullanarak çarpanlarına ayırmaya uygun bir biçime getirebiliriz.

SORU:

\( a^4 + 4 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster

Özdeşlikler

İfadenin bütünü ya da bir kısmı standart özdeşliklerin açılımlarından birine uyuyorsa ya da benzetilebiliyorsa ifade o özdeşliğin kapalı formuna çevrilebilir.

Parantez Karesi/Kübü Özdeşlikleri

Kare/Küp Farkı/Toplamı Özdeşlikleri

Özdeşliklerle ilgili daha fazla bilgi için özdeşlikler ve özdeşliklerin farklı kombinasyonları bölümlerini inceleyebilirsiniz.

SORU:

\( a^2 - b^2 - 4a - 6b - 5 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster

Üç Terimli İfadeler

Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırmakta kullanabileceğimiz yöntemi önümüzdeki bölümde detaylandıracağız.

Üç terimli ifadeler genellikle \( ax^2 + bx + c \) şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli polinomlar şeklinde karşımıza çıksa da, bu yöntemi aşağıda örnekleri verilen başka üç terimli ifadelerde de kullanabiliriz.

Üç Terimli İfade Çarpanlar
\( x^6 + 2x^3 - 15 \) \( (x^3 + 5)(x^3 - 3) \)
\( 2x^2 - 3xy - 2y^2 \) \( (2x + y)(x - 2y) \)
\( \tan^2{x} - \tan{x} - 6 \) \( (\tan{x} + 2)(\tan{x} - 3) \)

Polinom Bölmesi

Bir \( a \) değerinin bir polinomu sıfır yaptığı biliniyorsa \( x - a \) ifadesi bu polinomun bir çarpanıdır. Böyle bir durumda başka bir yöntemle polinomu çarpanlarına ayıramıyorsak polinom bölmesi yöntemiyle polinomu \( (x - a) \)'ya bölerek polinomun diğer çarpanını bulabiliriz. Elde ettiğimiz bölüm polinomunun başka çarpanları varsa diğer yöntemleri kullanarak bu çarpanları da bulmayı deneyebiliriz.

Polinom bölmesi yönteminin detayları için polinomlarda bölme işlemi sayfasını inceleyebilirsiniz.

SORU:

\( P(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster

Rasyonel Kök Teoremi

Çarpanlarına ayırmak istediğimiz ifade tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom ise Rasyonel Kök Teoremi'ni kullanarak polinomun köklerinden rasyonel olanlar için polinomun çarpanlarını bulabiliriz.

Bu yöntemin detayları için Rasyonel Kök Teoremi sayfasını inceleyebilirsiniz.


« Önceki
Özdeşliklerin Geometrik İspatı
Sonraki »
Üç Terimli İfadeleri Çarpanlarına Ayırma


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır