Çarpanlara ayırma bir cebirsel ifadenin ya da sayının kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.
Bir ifadenin her teriminde ortak bazı çarpanlar bulunuyorsa ifadeyi bu çarpanların parantezine alabiliriz. Ortak çarpanlar birer sayı (2, 5 gibi), değişken (\( x, y \) gibi) ya da ikisinin çarpımı (\( 2x^2y \) gibi) şeklinde ifadeler olabilir. Bu işlem için terimlerin katsayılarını ve değişkenlerini indirgenebilecek en temel çarpanları bazında düşünmemiz gerekir.
Çarpanlarına ayırma işleminde öncelikle bu yönteme başvurulmalıdır, bu şekilde ortak çarpanları sadeleşmiş ifadeye diğer yöntemlerin uygulanması daha kolay olacaktır.
\( 30x^2y + 12xy^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Terim 1: \( 30x^2y = \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot 5 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot x \cdot \textcolor{red}{y} \)
Terim 2: \( 12xy^2 = \textcolor{red}{2} \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot y \cdot \textcolor{red}{y} \)
Ortak çarpanlar: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y = 6xy \)
\( (6xy)(5x) + (6xy)(2y) = 6xy(5x + 2y) \)
Bu yönteme diğer bazı örnekler aşağıdaki gibidir.
| İfade | Çarpanlar |
|---|---|
| \( 24x - 32z \) | \( 8(3x - 4z) \) |
| \( 24x^2y^4z - 36x^3y^3z^2 \) | \( 12x^2y^3z(2y - 3xz) \) |
| \( \dfrac{x}{ya} + \dfrac{x}{yb} - \dfrac{x}{yc} \) | \( \dfrac{x}{y} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right) \) |
| \( -3 - a \) | \( -1(3 + a) \) |
Bazı ifadelerde tüm terimlerin ortak çarpanı yoktur, ancak terimleri gruplara ayırıp ayrı ayrı çarpanlarına ayırdığımızda ortak çarpanlar oluşur.
\( x^3 + x^2 + 2x + 2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Terimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( = (x^3 + x^2) + (2x + 2) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = x^2(x + 1) + 2(x + 1) \)
Tüm ifadeyi ortak \( x + 1 \) parantezine alalım.
\( = (x + 1)(x^2 + 2) \)
\( ab + a - 3b - 3 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
\( ac + ad + bc + bd \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
\( a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
\( 2x^2 - 2y^2 - x - y \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
Bazı durumlarda ifadeye bir terim ekleyerek ve çıkararak ifadeyi diğer yöntemleri kullanarak çarpanlarına ayırmaya uygun bir biçime getirebiliriz.
\( x^4 + x^2 + 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
İfadeye \( x^2 \) ekleyelim ve çıkaralım.
\( = x^4 + x^2 + 1 + (x^2 - x^2) \)
\( = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 \)
İlk üç terimi parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (x^2 + 1)^2 - x^2 \)
Kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) \)
\( a^4 + 4 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
İfadenin bütünü ya da bir kısmı standart özdeşliklerin açılımlarından birine uyuyorsa ya da benzetilebiliyorsa ifade o özdeşliğin kapalı formuna çevrilebilir.
\( x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \)
\( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \)
\( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3 \)
\( x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3 \)
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
Özdeşliklerle ilgili daha fazla bilgi için özdeşlikler ve özdeşliklerin farklı kombinasyonları bölümlerini inceleyebilirsiniz.
\( a^2 - b^2 - 4a - 6b - 5 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırmakta kullanabileceğimiz yöntemi önümüzdeki bölümde detaylandıracağız.
Üç terimli ifadeler genellikle \( ax^2 + bx + c \) şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli polinomlar şeklinde karşımıza çıksa da, bu yöntemi aşağıda örnekleri verilen başka üç terimli ifadelerde de kullanabiliriz.
| Üç Terimli İfade | Çarpanlar |
|---|---|
| \( x^6 + 2x^3 - 15 \) | \( (x^3 + 5)(x^3 - 3) \) |
| \( 2x^2 - 3xy - 2y^2 \) | \( (2x + y)(x - 2y) \) |
| \( \tan^2{x} - \tan{x} - 6 \) | \( (\tan{x} + 2)(\tan{x} - 3) \) |
Bir \( a \) değerinin bir polinomu sıfır yaptığı biliniyorsa \( x - a \) ifadesi bu polinomun bir çarpanıdır. Böyle bir durumda başka bir yöntemle polinomu çarpanlarına ayıramıyorsak polinom bölmesi yöntemiyle polinomu \( (x - a) \)'ya bölerek polinomun diğer çarpanını bulabiliriz. Elde ettiğimiz bölüm polinomunun başka çarpanları varsa diğer yöntemleri kullanarak bu çarpanları da bulmayı deneyebiliriz.
\( P(x) = x^3 - 2x^2 + 1 \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.
\( P(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 0 \)
\( x = 1 \) polinomu sıfır yaptığı için \( x - 1 \) ifadenin bir çarpanıdır.
Polinom bölmesi ile diğer çarpanı \( x^2 - x - 1 \) olarak buluruz.
\( P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 1) \)
Polinom bölmesi yönteminin detayları için polinomlarda bölme işlemi sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( P(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.
Çözümü Göster
Çarpanlarına ayırmak istediğimiz ifade tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom ise Rasyonel Kök Teoremi'ni kullanarak polinomun köklerinden rasyonel olanlar için polinomun çarpanlarını bulabiliriz.
Bu yöntemin detayları için Rasyonel Kök Teoremi sayfasını inceleyebilirsiniz.