Rasyonel Kök Teoremi (ya da Rasyonel Sıfır Teoremi) bir polinom denkleminin kökleri içinden rasyonel olanları bulmamıza yardımcı olan bir yöntemdir. Bu yöntemi kullanabilmemizin ön koşulu denklemin tek değişkenli ve tüm katsayılarının birer tam sayı olmasıdır.
\( P(x) \) tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom olmak üzere,
\( P(x) = 0 \) polinom denkleminin en sade şekliyle yazılmış \( x = \frac{p}{q} \) rasyonel sayı köklerinin her biri aşağıdaki iki koşulu sağlar:
(1) \( p \) denklemin sabit teriminin pozitif ya da negatif bir tam bölenidir.
(2) \( q \) denklemin başkatsayısının pozitif ya da negatif bir tam bölenidir.
Rasyonel Kök Teoremi'nin uygulama adımları aşağıdaki gibidir:
Bu yöntemi aşağıdaki polinom denklemine uygulayalım:
\( P(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x - 4 = 0 \)
Polinomun sabit terimi olan \( -4 \)'ün pozitif ve negatif tam bölenleri:
\( p: \{ \pm1, \pm2, \pm4 \} \)
Polinomun başkatsayısı olan \( 2 \)'nin pozitif ve negatif tam bölenleri:
\( q: \{ \pm1, \pm2 \} \)
Tüm olası \( \dfrac{p}{q} \) değerleri:
\( \dfrac{p}{q}: \{ \pm\frac{1}{1}, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{2}{1}, \pm\frac{2}{2}, \pm\frac{4}{1}, \pm\frac{4}{2} \} \)
Bu sayıların en sade hallerini alarak tekrar eden sayıları listeden çıkaralım:
\( \dfrac{p}{q}: \{ \pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{2} \} \)
Elde ettiğimiz bu 8 değer denklemin olası rasyonel kök değerleridir.
Bulduğumuz bu değerlerin tümü denklemin bir kökü olmayabilir, ancak denklemin tüm rasyonel köklerinin bu listede olduğundan emin olabiliriz. Bu değerlerden hangilerinin denklemin bir kökü olduğunu aşağıdaki şekilde bulabiliriz:
Bu yöntemi aynı polinom denklemine uygulamaya devam edelim:
Yukarıda bulduğumuz 8 olası kök değerini polinomda yerine koyarak sıfır değeri elde edip etmediğimizi kontrol edelim.
\( P(1) = 2(1)^3 + 7(1)^2 - 5(1) - 4 = 0 \)
\( P(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 - 5(-1) - 4 = 6 \ne 0 \)
\( P(2) = 2(2)^3 + 7(2)^2 - 5(2) - 4 = 30 \ne 0 \)
\( P(-2) = 2(-2)^3 + 7(-2)^2 - 5(-2) - 4 = 18 \ne 0 \)
\( P(4) = 2(4)^3 + 7(4)^2 - 5(4) - 4 = 216 \ne 0 \)
\( P(-4) = 2(-4)^3 + 7(-4)^2 - 5(-4) - 4 = 0 \)
\( P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + 7(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) - 4 = -\frac{9}{2} \ne 0 \)
\( P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + 7(-\frac{1}{2})^2 - 5(-\frac{1}{2}) - 4 = 0 \)
Bu değerlerden \( 1 \), \( -4 \) ve \( -\frac{1}{2} \)'nin denklemi sıfır yaptığını görüyoruz. 3. dereceden bir denklemin en fazla 3 kökü olabileceği için denklemin tüm köklerini bulduğumuzu söyleyebiliriz.
Buna göre polinom denklemini aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( P(x) = (x - 1)(x + 4)(2x + 1) = 0 \)
Bir polinom denkleminin rasyonel (\( 1, \frac{1}{2} \)), irrasyonel (\( \sqrt{2} \)) ya da karmaşık (\( 1 \pm 2i \)) kökleri olabilir. Rasyonel Kök Teoremi bize bir denklemin sadece rasyonel köklerini verir, ancak bir denklemin rasyonel köklerini çarpanlarına ayırdıktan sonra elimizde daha düşük dereceli bir denklem kalacağı için, bu yöntem çoğu zaman diğer irrasyonel ve karmaşık kökleri bulmamızı kolaylaştırır.
Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesine eşitse denklemin tüm köklerini bulduğumuzu ve polinomu tüm çarpanlarına ayırdığımızı söyleyebiliriz. Bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesinden düşükse polinomu elde ettiğimiz çarpanlara polinom bölmesi ile bölerek diğer kökleri/çarpanları içeren daha düşük dereceli bir polinom bulabiliriz. Bu polinom ikinci dereceden ise ikinci derece denklemlerin köklerini bulma formülü ile bu denklemin köklerini bulabiliriz.
Rasyonel Kök Teoremi uygulaması pratik bir yöntem olsa da, öncelikle verilen polinomu standart çarpanlara ayırma yöntemleri ile çarpanlarına ayırmayı denemeliyiz. Örneğin polinomun sabit terimi yoksa tüm terimler \( x \) parantezine alınarak \( x = 0 \) bir kök olarak ilk adımda belirlenebilir.
Bir polinom denkleminin tüm rasyonel köklerini bulan Rasyonel Kök Teoremi'nin \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \) gibi kök değerleri üretmiyor olmasını bu sayıların irrasyonel olduğunun bir kanıtı olarak gösterebiliriz.