Rasyonel Kök Teoremi

Rasyonel Kök Teoremi (ya da Rasyonel Sıfır Teoremi) bir polinom denkleminin kökleri içinden rasyonel olanları bulmamıza yardımcı olan bir yöntemdir. Bu yöntemi kullanabilmemizin ön koşulu denklemin tek değişkenli ve tüm katsayılarının birer tam sayı olmasıdır.

Rasyonel Kök Teoremi'nin uygulama adımları aşağıdaki gibidir:

  • Verilen denklemin sabit teriminin pozitif ve negatif tam bölenleri bulunur. Bu değerler \( p \)'nin olası değerleridir.
  • Verilen denklemin başkatsayısının pozitif ve negatif tam bölenleri bulunur. Bu değerler \( q \)'nun olası değerleridir.
  • Bu iki listedeki sayıları kullanarak oluşturulabilecek tüm \( \frac{p}{q} \) sayıları listelenir.
  • Bu sayılar pay ve paydaları en sade hallerinde olacak şekilde yazılır ve tekrar eden sayılar listeden çıkarılır. Listede kalan sayılar polinom denkleminin olası rasyonel kök değerleridir.

Bu yöntemi aşağıdaki polinom denklemine uygulayalım:

Bulduğumuz bu değerlerin tümü denklemin bir kökü olmayabilir, ancak denklemin tüm rasyonel köklerinin bu listede olduğundan emin olabiliriz. Bu değerlerden hangilerinin denklemin bir kökü olduğunu aşağıdaki şekilde bulabiliriz:

  • Bu değerler sırayla \( x \) yerine konarak polinomun değerinin sıfır olup olmadığı kontrol edilir.
  • Bir \( \frac{p}{q} \) değeri polinomu sıfır yapıyorsa denklemin bir köküdür ve \( (x - \frac{p}{q}) \) polinomun bir çarpanıdır.
  • Polinomu sıfır yapmayan değerler denklemin bir kökü değildir, dolayısıyla polinomun bir çarpanı değildir.

Bu yöntemi aynı polinom denklemine uygulamaya devam edelim:

Bir polinom denkleminin rasyonel (\( 1, \frac{1}{2} \)), irrasyonel (\( \sqrt{2} \)) ya da karmaşık (\( 1 \pm 2i \)) kökleri olabilir. Rasyonel Kök Teoremi bize bir denklemin sadece rasyonel köklerini verir, ancak bir denklemin rasyonel köklerini çarpanlarına ayırdıktan sonra elimizde daha düşük dereceli bir denklem kalacağı için, bu yöntem çoğu zaman diğer irrasyonel ve karmaşık kökleri bulmamızı kolaylaştırır.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesine eşitse denklemin tüm köklerini bulduğumuzu ve polinomu tüm çarpanlarına ayırdığımızı söyleyebiliriz. Bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesinden düşükse polinomu elde ettiğimiz çarpanlara polinom bölmesi ile bölerek diğer kökleri/çarpanları içeren daha düşük dereceli bir polinom bulabiliriz. Bu polinom ikinci dereceden ise ikinci derece denklemlerin köklerini bulma formülü ile bu denklemin köklerini bulabiliriz.

Rasyonel Kök Teoremi uygulaması pratik bir yöntem olsa da, öncelikle verilen polinomu standart çarpanlara ayırma yöntemleri ile çarpanlarına ayırmayı denemeliyiz. Örneğin polinomun sabit terimi yoksa tüm terimler \( x \) parantezine alınarak \( x = 0 \) bir kök olarak ilk adımda belirlenebilir.

Bir polinom denkleminin tüm rasyonel köklerini bulan Rasyonel Kök Teoremi'nin \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \) gibi kök değerleri üretmiyor olmasını bu sayıların irrasyonel olduğunun bir kanıtı olarak gösterebiliriz.


« Önceki
Polinomların Çarpanları ve Kökleri
Sonraki »
Çok Değişkenli Polinomlar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır