Polinomlarda Bölme İşlemi
Polinomlar arasında toplama, çıkarma ve çarpma işlemi yapabildiğimiz gibi bölme işlemi de yapabiliriz.´Sayılar arasındaki bölme işleminde olduğu gibi, polinom bölme işleminde de bir bölünen ve bölen, işlemin sonucu olan bir bölüm ve bölme işlemi kalansız olmuyorsa bir kalan vardır. Polinom bölme işleminde bu dört terim de birer polinomdur.
Polinom bölme işleminin terimleri arasındaki ilişkiyi sayılar arasındaki bölme işlemine benzer şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz. Buna göre, bölünen polinom bölen ve bölüm polinomlarının çarpımı ile kalan polinomunun toplamına eşittir.
\( B(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)
\( 2x^2 + 5x - 6 = (x - 3) \cdot (2x + 11) + 27 \)
Yukarıdaki eşitlikte tüm terimleri \( B(x) \) polinomuna bölersek aşağıdaki eşitliği elde ederiz. Buna göre \( P(x) \) polinomunu \( B(x) \) polinomuna böldüğümüzde bölüm \( Q(x) \) olur ve tam bölünemeyen (kalan) kısım \( K(x) \) olur.
\( \dfrac{P(x)}{B(x)} = Q(x) + \dfrac{K(x)}{B(x)} \)
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{x - 3} = 2x + 11 + \dfrac{27}{x - 3} \)
Bu dört polinomun dereceleri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
\( der[Q(x)] = der[P(x)] - der[B(x)] \)
\( der[K(x)] \lt der[B(x)] \)
Buna göre, 5. dereceden bir polinomu 3. dereceden bir polinoma böldüğümüzde sonuç 2. dereceden bir polinom olur. İşlem kalanlı bir bölme ise kalan polinomunun derecesi 3. dereceden küçük olmak zorundadır, çünkü kalanın üçüncü derece ya da daha büyük olması kalan polinomunun bölen polinomuna bir kez daha bölünebilmesi anlamına gelecektir.
Kalan polinomunun derecesi bölüm polinomunun derecesinden de küçükse işlemde \( B(x) \) ile \( Q(x) \)'in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez.
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{x - 3} = 2x + 11 + \dfrac{27}{x - 3} \)
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{2x + 11} = x - 3 + \dfrac{27}{2x + 11} \)
\( K(x) = 0 \) ise \( P(x) \) polinomu \( B(x) \) polinomuna tam bölünüyor demektir, bu da \( B(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının \( P(x) \) polinomunun birer çarpanı olduğu anlamına gelir.
\( K(x) = 0 \) ise,
\( P(x) = B(x)\cdot Q(x) \)
Bir \( P(x) \) polinomu \( x^2 - 3 \) ile bölündüğünde bölüm \(x^3 + 1 \), kalan \( 3x + 2 \) ise, \( P(x) \) polinomu nedir?
Çözümü Göster
Polinom Bölme Yöntemleri
Polinomların bölümünde aşağıdaki yöntemler kullanılır.
Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme
Polinomları çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki bölen polinomunun çarpanlarının tümünün paydaki bölünen polinomu içinde bulunduğunu görüyorsak bu çarpanları sadeleştirerek kalansız bir şekilde işlem sonucuna ulaşabiliriz.
Polinom Bölmesi
Eğer bölünen ve bölen polinomlarını tüm çarpanlarına ayıramıyorsak ya da ayırdığımızda bölen polinomunun tüm çarpanları sadeleşmiyorsa polinom bölmesi dediğimiz yöntemi kullanarak bölme işlemini gerçekleştirebiliriz. Bu işlem sayılarla bölme işlemine benzemekte olup, örnek bir bölme işlemi üzerinden anlatacağımız aşağıdaki adımlardan oluşmaktadır.
\( P(x) = 2x^4 + x^3 - x^2 + 12x - 5 \)
\( B(x) = x^2 + 2x \)
- Önce bölme çizgilerini çizerek bölünen ve bölen polinomlarını yerlerine yazarız. Bu noktada her polinom için terimlerin en yüksek dereceden en düşük dereceye doğru sıralandığından emin olmalıyız.
- Bölünen polinomunun ilk terimini (\( 2x^4 \)) bölen polinomunun ilk terimine (\( x^2 \)) böler ve sonucu bölüm kısmına yazarız (\( 2x^2 \)).
- Bulduğumuz bu sonucu (\( 2x^2 \)) bölen polinomu (\( x^2 + 2x \)) ile çarparak sonucu bölünen polinomunun altına, her terim aynı dereceli terimin altına gelecek şekilde yazarız (\( 2x^4 + 4x^3 \)). Belirli bir derecede terim bölünen polinomunda yoksa o terimi bölünen polinomundaki farklı derecede bir terimle karıştırmamaya dikkat etmeliyiz.
- Çarpma işleminin sonucu olan polinomu bölünen polinomundan benzer terimlerin katsayılarının farkını alarak çıkarırız (\( -3x^3 -x^2 + 12x - 5 \)).
- İşleme 2. adımdan itibaren, bölünen polinomu yerine bir önceki adımda elde ettiğimiz kalan polinomu ile devam ederiz.
- Çıkarma işlemi sonucunda elde ettiğimiz kalan polinomunun derecesi bölen polinomunun derecesinden küçük olduğunda bölme işlemi tamamlanmıştır. Bölüm kısmındaki polinom işlemin bölümü, kalan kısmındaki polinom da kalanıdır. Eğer kalan polinomu sıfır ise iki polinom kalansız bölünmüştür.
Bu işlemin sonucunda bölüm ve kalanı aşağıdaki gibi elde ederiz.
\( Q(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)
\( K(x) = 2x - 5 \)
Bu işlemin sonucunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)
\( \underbrace{2x^4 + x^3 - x^2 + 12x - 5}_{P(x)} = \underbrace{(x^2 + 2x)}_{B(x)} \cdot \) \( \underbrace{(2x^2 - 3x + 5)}_{Q(x)} + \underbrace{2x - 5}_{K(x)} \)
Polinomların derecelerinin yukarıda paylaştığımız kurallarla tutarlı olduğunu kontrol edebiliriz.
- Bölüm polinomunun derecesi bölünen ve bölen polinomlarının dereceleri farkına eşittir.
- Kalan polinomunun derecesi bölen polinomunun derecesinden küçüktür.