Parabolün Simetriği
Konu tekrarı için: Simetri Tipleri | Noktanın Simetriği
Bir parabolün eksenlere, bir doğruya ya da bir noktaya göre simetriğini bulmak için o parabolün denklemindeki değişkenlere belirli dönüşümler uygulanır.
Bir parabolün bir noktaya göre simetriği parabolün üzerindeki her bir noktanın simetri noktasına göre simetriği olan noktalardan oluşur. Benzer şekilde, bir parabolün bir doğruya göre simetriği parabolün üzerindeki her bir noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Bir parabolün farklı simetrileri için uygulanması gereken dönüşümler aşağıda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir parabolün \( x \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( y \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y \longmapsto -y \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -y = x^2 - 4x + 3 \)
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaların bu eksene göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( x \) eksenini aynı noktalarda keser.
\( y \) Eksenine Göre
Bir parabolün \( y \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -x \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( y = ax^2 - bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( y = (-x)^2 - 4(-x) + 3 \)
\( y = x^2 + 4x + 3 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktaların bu eksene göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( y \) eksenini aynı noktalarda keser.
Orijine Göre
Bir parabolün orijine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -x, \quad y \longmapsto -y \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -y = ax^2 - bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -y = (-x)^2 - 4(-x) + 3 \)
\( -y = x^2 + 4x + 3 \)
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto y, \quad y \longmapsto x \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( x = ay^2 + by + c \)
\( y = x^2 - 2x - 3 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( x = y^2 - 2y - 3 \)
Parabolün \( y = x \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( y = x \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret ve yer değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -y, \quad y \longmapsto -x \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -x = ay^2 - by + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( -x = (-y)^2 - 4(-y) + 3 \)
\( -x = y^2 + 4y + 3 \)
Parabolün \( y = -x \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( y = -x \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
Bir Noktaya Göre
Bir parabolün \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği alınırken denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \), \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
Simetri noktası: \( S(m, n) \)
\( x \longmapsto 2m - x, \quad y \longmapsto 2n - y \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( 2n - y = a(2m - x)^2 + b(2m - x) + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri noktası: \( S(1, 2) \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( 2(2) - y = (2(1) - x)^2 - 4(2(1) - x) + 3 \)
\( 4 - y = 4 - 4x + x^2 - 8 + 4x + 3 \)
\( y = -x^2 + 5 \)
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken parabolün üzerindeki her noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y \longmapsto 2n - y \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( 2n - y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri doğrusu: \( y = 2 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( 2(2) - y = x^2 - 4x + 3 \)
\( 4 - y = x^2 - 4x + 3 \)
\( y = -x^2 + 4x + 1 \)
Parabolün \( y = n \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( y = n \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken parabolün üzerindeki her noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto 2m - x \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( y = a(2m - x)^2 + b(2m - x) + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri doğrusu: \( x = 4 \)
Simetrik parabolün denklemi:
\( y = (2(4) - x)^2 - 4(2(4) - x) + 3 \)
\( y = 64 - 16x + x^2 - 32 + 4x + 3 \)
\( y = x^2 - 12x + 35 \)
Parabolün \( x = m \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre simetriği aynı noktalar olacağı için, parabolün kendisi ve simetriği \( x = m \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
\( f(x) = 2x^2 - 3x + 12 \)
parabolünün \( x = 5 \) doğrusuna göre simetriği \( y = g(x) \), \( x = -3 \) doğrusuna göre simetriği \( h(x) \) parabolüdür.
Buna göre \( g(2) + h(0) \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster