Parabolün Yansıması
Konu tekrarı için: Noktanın Yansıması
Bir parabolün bir noktaya göre yansıması, parabolün üzerindeki tüm noktaların simetri noktasına göre yansımalarının oluşturduğu paraboldür.
Bir parabolün bir doğruya göre yansıması, parabolün üzerindeki tüm noktaların simetri doğrusuna göre yansımalarının oluşturduğu paraboldür.
Bir parabolün farklı yansımaları için uygulanması gereken dönüşümler aşağıda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir parabolün \( x \) eksenine göre yansımasında denklemde \( y \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y \longmapsto -y \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -y = x^2 - 4x + 3 \)
Bir parabolün (eğer kesiyorsa) \( x \) eksenini kestiği noktaların bu eksene göre yansıması noktaların kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( x \) eksenini aynı noktalarda keser.
\( y \) Eksenine Göre
Bir parabolün \( y \) eksenine göre yansımasında denklemde \( x \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -x \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( y = ax^2 - bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( y = (-x)^2 - 4(-x) + 3 \)
\( y = x^2 + 4x + 3 \)
Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın bu eksene göre yansıması noktanın kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( y \) eksenini aynı noktada keser.
Orijine Göre
Bir parabolün orijine göre yansımasında denklemde \( x \) ve \( y \) işaret değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -x, \quad y \longmapsto -y \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -y = ax^2 - bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -y = (-x)^2 - 4(-x) + 3 \)
\( -y = x^2 + 4x + 3 \)
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( y = x \) doğrusuna göre yansımasında denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto y, \quad y \longmapsto x \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( x = ay^2 + by + c \)
\( y = x^2 - 2x - 3 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( x = y^2 - 2y - 3 \)
Bir parabolün (eğer kesiyorsa) \( y = x \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre yansıması noktaların kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( y = x \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün \( y = -x \) doğrusuna göre yansımasında denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir ve her ikisinin de işareti değişir.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto -y, \quad y \longmapsto -x \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -x = ay^2 - by + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( -x = (-y)^2 - 4(-y) + 3 \)
\( -x = y^2 + 4y + 3 \)
Bir parabolün (eğer kesiyorsa) \( y = -x \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre yansıması noktaların kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( y = -x \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
Bir Noktaya Göre
Bir parabolün \( S(m, n) \) noktasına göre yansımasında denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \), \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
Simetri noktası: \( S(m, n) \)
\( x \longmapsto 2m - x, \quad y \longmapsto 2n - y \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( 2n - y = a(2m - x)^2 + b(2m - x) + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri noktası: \( S(1, 2) \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( 2(2) - y = (2(1) - x)^2 - 4(2(1) - x) + 3 \)
\( 4 - y = 4 - 4x + x^2 - 8 + 4x + 3 \)
\( y = -x^2 + 5 \)
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün yatay \( y = n \) doğrusuna göre yansımasında denklemde \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y \longmapsto 2n - y \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( 2n - y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri doğrusu: \( y = 2 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( 2(2) - y = x^2 - 4x + 3 \)
\( 4 - y = x^2 - 4x + 3 \)
\( y = -x^2 + 4x + 1 \)
Bir parabolün (eğer kesiyorsa) \( y = n \) doğrusunu kestiği noktaların bu doğruya göre yansıması noktaların kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( y = n \) doğrusunu aynı noktalarda keser.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir parabolün düşey \( x = m \) doğrusuna göre yansımasında denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \) yazılır.
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( x \longmapsto 2m - x \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( y = a(2m - x)^2 + b(2m - x) + c \)
\( y = x^2 - 4x + 3 \)
Simetri doğrusu: \( x = 4 \)
Parabolün yansımasının denklemi:
\( y = (2(4) - x)^2 - 4(2(4) - x) + 3 \)
\( y = 64 - 16x + x^2 - 32 + 4x + 3 \)
\( y = x^2 - 12x + 35 \)
Bir parabolün \( x = m \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre yansıması noktanın kendisi olduğu için, parabolün kendisi ve yansıması \( x = m \) doğrusunu aynı noktada keser.
\( f(x) = 2x^2 - 3x + 12 \) parabolünün \( x = 5 \) doğrusuna göre simetriği \( g(x) \), \( x = -3 \) doğrusuna göre simetriği \( h(x) \) parabolüdür.
Buna göre \( g(2) + h(0) \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( y = ax^2 + bx + c \) parabolünün \( x = m \) doğrusuna göre simetriğinin denklemini bulmak için aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( x \longmapsto 2m - x \)
\( y = a(2m - x)^2 + b(2m - x) + c \)
Parabolün \( x = 5 \) doğrusuna göre simetriği \( y = g(x) \) parabolüdür.
\( g(x) = 2(2(5) - x)^2 - 3(2(5) - x) + 12 \)
\( g(2) \) değerini bulmak için denklemde \( x = 2 \) yazalım.
\( g(2) = 2(8)^2 - 3(8) + 12 = 116 \)
Parabolün \( x = -3 \) doğrusuna göre simetriği \( y = h(x) \) parabolüdür.
\( h(x) = 2(2(-3) - x)^2 - 3(2(-3) - x) + 12 \)
\( h(0) \) değerini bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazalım.
\( h(0) = 2(-6)^2 - 3(-6) + 12 = 102 \)
\( g(2) + h(0) = 116 + 102 = 218 \) bulunur.