Parabolün Köklerinin Konumu
Bir parabol; köklerinin eksenlere, birbirine ve bir reel sayıya göre konumuna göre aşağıdaki şekillerde olabilir.
| Grafik | Köklerin Konumu |
|---|---|
|
Birbirinden farklı ve pozitif iki kök: \( 0 \lt x_1 \lt x_2 \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler toplamı ve çarpımı pozitif olur. \( \Delta \gt 0 \) \( -\dfrac{b}{a} \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \gt 0 \) |
|
Çift katlı pozitif kök: \( 0 \lt x_1 = x_2 \) Bu durumda delta sıfıra eşit, kökler toplamı ve çarpımı pozitif olur. \( \Delta = 0 \) \( -\dfrac{b}{a} \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \gt 0 \) |
|
Birbirinden farklı ve negatif iki kök: \( x_1 \lt x_2 \lt 0 \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler toplamı negatif, kökler çarpımı pozitif olur. \( \Delta \gt 0 \) \( -\dfrac{b}{a} \lt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \gt 0 \) |
|
Çift katlı negatif kök: \( x_1 = x_2 \lt 0 \) Bu durumda delta sıfıra eşit, kökler toplamı negatif, kökler çarpımı pozitif olur. \( \Delta = 0 \) \( -\dfrac{b}{a} \lt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \gt 0 \) |
|
Ters işaretli iki kök: \( x_1 \lt 0 \lt x_2 \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler çarpımı negatif olur. \( \Delta \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \lt 0 \) |
|
Ters işaretli iki kök (pozitif kök mutlak değerce büyük): \( x_1 \lt 0 \lt x_2 \) \( \abs{x_1} \lt \abs{x_2} \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler çarpımı negatif, tepe noktasının apsis değeri (\( r \)) pozitif olur. \( \Delta \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \lt 0 \) \( r = -\dfrac{b}{2a} \gt 0 \) |
|
Ters işaretli iki kök (pozitif kök mutlak değerce küçük): \( x_1 \lt 0 \lt x_2 \) \( \abs{x_1} \gt \abs{x_2} \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler çarpımı negatif, tepe noktasının apsis değeri (\( r \)) negatif olur. \( \Delta \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \lt 0 \) \( r = -\dfrac{b}{2a} \lt 0 \) |
|
Simetrik kökler: \( x_1 \lt 0 \lt x_2 \) \( \abs{x_1} = \abs{x_2} \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, kökler çarpımı negatif, tepe noktasının apsis değeri (\( r \)) sıfır olur. \( \Delta \gt 0 \) \( \dfrac{c}{a} \lt 0 \) \( r = -\dfrac{b}{2a} = 0 \Longrightarrow b = 0 \) |
|
Birbirinden farklı ve \( m \) sayısından büyük iki kök: \( m \lt x_1 \lt x_2 \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, tepe noktasının apsis değeri \( m \)'den büyük olur. Ayrıca parabolün kolları yukarı yönlü ise \( f(m) \gt 0 \), aşağı yönlü ise \( f(m) \lt 0 \) olur. \( \Delta \gt 0 \) \( a \cdot f(m) \gt 0 \) \( r = -\dfrac{b}{2a} \gt m \) |
|
Birbirinden farklı ve \( m \) sayısından küçük iki kök: \( x_1 \lt x_2 \lt m \) Bu durumda delta sıfırdan büyük, tepe noktasının apsis değeri \( m \)'den küçük olur. Ayrıca parabolün kolları yukarı yönlü ise \( f(m) \gt 0 \), aşağı yönlü ise \( f(m) \lt 0 \) olur. \( \Delta \gt 0 \) \( a \cdot f(m) \gt 0 \) \( r = -\dfrac{b}{2a} \lt m \) |
|
Biri \( m \) sayısından küçük, diğeri büyük iki kök: \( x_1 \lt m \lt x_2 \) Bu durumda delta sıfırdan büyük olur. Ayrıca parabolün kolları yukarı yönlü ise \( f(m) \lt 0 \), aşağı yönlü ise \( f(m) \gt 0 \) olur. \( \Delta \gt 0 \) \( a \cdot f(m) \lt 0 \) |
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin kökleri ters işaretli ve mutlak değerce büyük olan kök pozitif olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( a \) ve \( b \) ters işaretlidir.
II. \( b \) ve \( c \) aynı işaretlidir.
III. \( a \) negatiftir.
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^2 - (3 - m)x + 4 \)
parabolü \( x \) eksenine \( y \) ekseninin sol tarafında teğet ise \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x^2 + 5x + c \)
Fonksiyon \( x = -2 \) ve \( x = \frac{1}{2} \) noktalarında ters işaretlere sahiptir.
Buna göre, \( c \)'nin en geniş değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster