Parabolün Analitik Uygulamaları

İki parabol birbirine teğet ise tek noktada kesişirler, dolayısıyla ortak çözüldüklerinde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfır olur.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 + mx + 5 = -x^2 + (2m + 1)x + 3 \)

\( 2x^2 + mx - 2mx - x + 2 = 0 \)

\( 2x^2 - (m + 1)x + 2 = 0 \)

Ortak çözümde elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -(m + 1), \quad c = 2 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( [-(m + 1)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0 \)

\( (m + 1)^2 = 16 \)

\( \abs{m + 1} = 4 \)

\( m + 1 = 4 \) ya da \( m + 1 = -4 \)

\( m = 3 \) ya da \( m = -5 \)

\( m \)'nin pozitif değeri \( m = 3 \) olur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m \)

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalardan parabole çizilen teğetler birbirine dik ise parabolün deltası 1'e eşit olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 1 \)

\( (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 \)

\( 4m = 8 \)

\( m = 2 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = m - 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)

Buna göre parabolün tepe noktası \( T(3, -16) \) noktasıdır.

Bu noktanın koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.

\( f(3) = 3^2 - 6(3) + m - 5 = -16 \)

\( m = -2 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 6x - 7 \)

\( = (x + 1)(x - 7) \)

Parabol \( x \) eksenini \( x = -1 \) ve \( x = 7 \) noktalarında, \( y \) eksenini de fonksiyonun sabit terimi olan \( y = -7 \) noktasında keser.

Taban uzunluğu \( 7 - (-1) = 8 \) birim ve yüksekliği \( \abs{-7} = 7 \) birim olan üçgenin alanını bulalım.

Alan \( = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28 \) bulunur.

İki parabolü ortak çözdüğümüzde kesişim noktalarının apsis değerlerini buluruz.

\( x^2 + 2x - n = -2x^2 - 4x + m \)

\( 3x^2 + 6x - n - m = 0 \)

Bu parabol denkleminin kökler toplamı aynı zamanda iki parabolün kesişim noktalarının apsis değerlerinin toplamını verir, parabolün tepe noktası da iki kesişim noktasının orta noktasının apsis değerini verir.

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 3, \quad b = 6, \quad c = -n - m \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot 3} = -1 \) bulunur.

\( OTA \) üçgeni için alan formülünü yazalım. Üçgenin yüksekliği parabolün tepe noktasının ordinatına eşittir.

\( A(OTA) = \dfrac{\abs{OA} \cdot \abs{TH}}{2} \)

\( 14 = \dfrac{7 \cdot k}{2} \)

\( k = 4 \text{ br} \)

Parabolün tepe noktasının apsis değeri aşağıdaki formülle bulunur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)

Buna göre parabolün tepe noktası \( T(2, 4) \) olur.

Bu noktayı parabol denkleminde yerine koyalım.

\( f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + m = 4 \)

\( 4 - 8 + m = 4 \)

\( m = 8 \) bulunur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.

\( k = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = -16 \)

Tepe noktası \( T(3, -16) \) olur.

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.

\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 7) = 0 \)

Parabolün bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan apsis değerlerinde \( x \) eksenini keser.

\( A(-1, 0), \quad B(7, 0) \)

\( [AB] \) doğru parçasını üçgenin tabanı, tepe noktasının ordinatını da yüksekliği olarak kabul edelim.

\( A(ABT) = \dfrac{\abs{7 - (-1)} \cdot 16}{2} = 64 \text{ br}^2 \) bulunur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4m}{2 \cdot 1} = 2m \)

\( r \) değerini parabol denkleminde yerine koyarak \( k \) değerini bulalım.

\( k = (2m)^2 - 4m \cdot 2m + 3 = -4m^2 + 3 \)

\( T(r, k) = T(2m, 3 - 4m^2) \)

\( T \) noktasının orijine olan uzaklığına \( d \) diyelim.

Bir noktanın orijine olan uzaklık formülünü kullanalım.

\( d^2 = (2m)^2 + (3 - 4m^2)^2 \)

\( = 4m^2 + 9 - 24m^2 + 16m^4 \)

\( = 16m^4 - 20m^2 + 9 \)

İfadeyi tam kareye tamamlayalım.

\( = (4m^2 - \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{11}{4} \)

\( d \) en küçük değerini parantez içi sıfır olduğunda alır.

\( 4m^2 - \dfrac{5}{2} = 0 \)

\( m^2 = \dfrac{5}{8} \)

\( m \) pozitif olarak veriliyor.

\( m = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4} \) bulunur.

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyalım.

\( f(0) = m = 20 \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 8x + 20 \)

\( A(a, 0) \) ve \( C(0, 5) \) ise \( B(a, 5) \) olur.

\( B \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(a) = a^2 - 8a + 20 = 5 \)

\( a^2 - 8a + 15 = 0 \)

\( (a - 3)(a - 5) = 0 \)

\( a = 3 \) veya \( a = 5 \)

Tepe noktasının apsisi 4 olduğuna göre \( A \) noktasının apsisi 4'ten küçük olmalıdır, buna göre \( a = 3 \) olur.

\( A(OABC) = 3 \cdot 5 = 15 \text{ br}^2 \) olarak bulunur.

Parabolün tepe noktasının apsis değeri aşağıdaki formülle bulunur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 1} = 4 \)

\( OTA \) üçgenine Öklid bağıntısı uygulayalım.

\( \abs{HT}^2 = \abs{OH} \cdot \abs{HA} \)

\( k^2 = 4 \cdot (13 - 4) \)

\( k = 6 \)

Buna göre tepe noktası \( T(4, 6) \) olur.

Tepe noktasını parabol denkleminde yerine koyarak \( c \) değerini bulalım.

\( 6 = 4^2 - 8(4) + c \)

\( c = 22 \)

\( B \) noktasının ordinatı parabolün sabit terimine eşit olduğu için cevap \( c = 22 \) olur.

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı parabol denkleminin sabit terimidir.

\( A(0, 8) \)

\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(b, 8) \) diyelim ve koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.

\( 8 = -b^2 + 3b + 8 \)

\( b^2 - 3b = 0 \)

\( b(b - 3) = 0 \)

\( b = 0 \) olamayacağı için \( b = 3 \) olur.

\( B(b, 8) = B(3, 8) \)

Buna göre \( OABC \) dikdörtgeninin tabanı 3 br, yüksekliği 8 br'dir.

\( A(OABC) = 3 \cdot 8 = 24 \) bulunur.

\( \abs{AB} = \abs{DC} = a \) diyelim.

\( \abs{AD} = \abs{BC} = 4a \) olur.

\( C \) noktasının apsis değeri 4 olduğu için \( D \) noktasının koordinatları \( D(4 - a, 4a) \) olur.

\( D \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.

\( y = 2x^2 \)

\( 4a = 2(4 - a)^2 \)

\( 4a = 2(16 - 8a + a^2) \)

\( a^2 - 10a + 16 = 0 \)

\( (a - 2)(a - 8) = 0 \)

\( A \) noktası \( x = 4 \) doğrusunun solunda kaldığı ve \( \abs{AB} = a \) uzunluğu \( (0, 4) \) aralığında olabileceği için \( a = 8 \) olamaz, dolayısıyla \( a = 2 \) olur.

\( \abs{AB} = \abs{DC} = 2 \)

\( \abs{AD} = \abs{BC} = 4a = 8 \)

Buna göre \( A(ABCD) = 2 \cdot 8 = 16 \) olarak bulunur.

Kolları aşağı yönlü olan parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemini sıfıra eşitleyelim.

\( -x^2 - 7x = 0 \)

\( -x(x + 7) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -7 \) ve \( x = 0 \) noktalarında keser.

\( A(-7, 0) \)

İki parabolün denklemini ortak çözerek \( K \) noktasının apsis değerini bulalım.

\( x^2 + x + 8 = -x^2 - 7x \)

\( 2x^2 + 8x + 8 = 0 \)

\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)

İki parabol tek bir noktada kesiştikleri için denklemlerinin ortak çözümü sonucunda beklediğimiz gibi çift katlı bir kök elde ettik.

\( (x + 2)^2 = 0 \)

\( x = -2 \)

Bu apsis değerini iki parabol denkleminden birinde yerine koyarak \( K \) noktasının ordinat değerini bulalım.

\( y = (-2)^2 + (-2) + 8 = 10 \)

\( K(-2, 10) \)

\( AKO \) üçgeni taban uzunluğu 7 birim, yüksekliği 10 birim olan bir üçgendir.

\( A(AKO) = \dfrac{7 \cdot 10}{2} = 35 \) olarak bulunur.

Parabol \( x \) eksenini -1 ve 4 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( f(x) = a(x + 1)(x - 4) \)

\( A \) noktasının koordinatlarına \( A(0, c) \) diyelim.

\( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım.

\( m_1 = \dfrac{c - 0}{0 - (-1)} = c \)

\( d_2 \) doğrusunun eğimini bulalım.

\( m_2 = \dfrac{c - 0}{0 - 4} = -\dfrac{c}{4} \)

İki doğru birbirine dik olduklarına göre eğimlerinin çarpımı -1 olur.

\( c \cdot (-\dfrac{c}{4}) = -1 \)

\( c^2 = 4 \)

\( c = \pm 2 \)

\( A \) noktası \( y \) ekseninin pozitif tarafında bir nokta olduğu için \( c = 2 \) olur.

\( A(0, 2) \)

Parabolün başkatsayısını bulmak için \( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 1)(0 - 4) = 2 \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 1)(x - 4) \)

\( f(2) \) değerini bulmak için denklemde \( x = 2 \) yazalım.

\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2 + 1)(2 - 4)\)

\( = 3 \) bulunur.