Parabolün Denkleminin Bulunması
Bir parabolün denklemini belirlemek için aşağıdaki bilgilerden herhangi biri yeterlidir.
- Parabolün tepe noktası ve parabol üzerinde ikinci bir nokta
- Parabol \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa bu iki nokta ve parabol üzerinde üçüncü bir nokta
- Parabol \( x \) eksenini tek bir noktada (teğet) kesiyorsa bu nokta ve parabol üzerinde ikinci bir nokta
- Parabol üzerinde herhangi üç nokta
Tepe Noktası Bilinen Parabol
İnteraktif uygulama: Tepe Noktası Bilinen Parabolün Denklemi
Tepe noktası ve ikinci bir noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
Tepe noktası \( T(r, k) \), ikinci noktanın koordinatları \( C(x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( y = a(x - r)^2 + k \)
Bu formülde önce tepe noktasının koordinatları (\( r \) ve \( k \)) denklemde yerine konur. Sonra ikinci noktanın koordinatları denklemde \( x \) ve \( y \) yerine konarak \( a \) başkatsayısı hesaplanır.
İkinci nokta parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta olmak zorunda değildir, parabol üzerindeki herhangi bir nokta olabilir.
Tepe noktası \( T(1, 3) \) olan ve \( C(-1, 11) \) noktasından geçen parabolün denklemi:
\( y = a(x - r)^2 + k \)
Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( y = a(x - 1)^2 + 3 \)
İkinci noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarak başkatsayıyı bulalım.
\( 11 = a(-1 - 1)^2 + 3 \)
\( a = 2 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 2(x - 1)^2 + 3 \)
Yukarıda grafiği verilen parabolün denklemini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün tepe noktası \( T(3, 5) \) olarak veriliyor.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)
\( f(x) = a(x - 3)^2 + 5 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, 2) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 - 3)^2 + 5 = 2 \)
\( 9a + 5 = 2 \)
\( a = -\dfrac{1}{3} \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f(x) = -\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 5 \)
Yukarıda grafiği verilen parabolün denklemini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün tepe noktası \( T(-4, -5) \) olarak veriliyor.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)
\( f(x) = a(x + 4)^2 - 5 \)
Parabol orijinden geçtiği için \( (0, 0) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 + 4)^2 - 5 = 0 \)
\( 16a - 5 = 0 \)
\( a = \dfrac{5}{16} \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f(x) = \dfrac{5}{16}(x + 4)^2 - 5 \)
\( x \) Eksenini Kestiği İki Nokta ve Üçüncü Bir Noktası Bilinen Parabol
\( x \) eksenini kestiği iki nokta ve üçüncü bir noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( x \) eksenini kestiği noktaların apsisleri \( x_1 \) ve \( x_2 \), üçüncü noktanın koordinatları \( C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)
Bu formülde önce parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaların apsisleri denklemde yerine konur. Sonra üçüncü noktanın koordinatları denklemde \( x \) ve \( y \) yerine konarak \( a \) başkatsayısı hesaplanır.
Üçüncü nokta, \( x \) eksenini kestiği iki noktadan farklı olmak üzere parabol üzerindeki herhangi bir nokta olabilir.
\( x \) eksenini \( -3 \) ve \( 2 \) noktalarında kesen ve \( C(-2, 12) \) noktasından geçen parabolün denklemi:
\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( x \) eksenini kestiği noktaların apsisleri denklemde \( x_1 \) ve \( x_2 \) yerine koyalım.
\( y = a(x - (-3))(x - 2) \)
Üçüncü noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarak başkatsayıyı bulalım.
\( 12 = a(-2 + 3)(-2 - 2) \)
\( a = -3 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = -3(x + 3)(x - 2) \)
Yukarıda grafiği verilen parabolün denklemini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( (1, 0) \) ve \( (4, 0) \) olarak veriliyor.
\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( f(x) = a(x - 1)(x - 4) \)
Parabolün geçtiği \( (0, 3) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 - 1)(0 - 4) = 3 \)
\( a = \dfrac{3}{4} \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f(x) = \dfrac{3}{4}(x - 1)(x - 4) \)
\( x \) Eksenine Teğet Olduğu Nokta ve İkinci Bir Noktası Bilinen Parabol
\( x \) eksenine teğet olduğu nokta ve ikinci bir noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( x \) eksenine teğet olduğu noktanın apsisi \( x_1 \), ikinci noktanın koordinatları \( C(x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( y = a(x - x_1)^2 \)
Bu formülde önce parabolün \( x \) eksenine teğet olduğu noktanın apsisi denklemde \( x_1 \) yerine konur. Sonra ikinci noktanın koordinatları denklemde \( x \) ve \( y \) yerine konarak \( a \) başkatsayısı hesaplanır.
İkinci nokta, \( x \) eksenine teğet olduğu noktadan farklı olmak üzere parabol üzerindeki herhangi bir nokta olabilir.
Parabol \( x \) eksenine \( x = x_1 \) noktasında teğet olduğundan \( x_1 \) iki katlı bir köktür.
Bu durumda tepe noktası \( T(x_1, 0) \) olduğundan formül birinci formun özel halidir.
\( x \) eksenine \( 2 \) noktasında teğet olan ve \( C(0, -4) \) noktasından geçen parabolün denklemi:
\( y = a(x - x_1)^2 \)
\( x \) eksenine teğet olduğu noktanın apsisini denklemde \( x_1 \) yerine koyalım.
\( y = a(x - 2)^2 \)
İkinci noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarak başkatsayıyı bulalım.
\( -4 = a(0 - 2)^2 \)
\( a = -1 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = -(x - 2)^2 \)
Herhangi Üç Noktası Bilinen Parabol
Herhangi üç noktası bilinen parabolün denklemini bulmak için, noktaların koordinatları parabol denkleminde yerlerine konur ve bilinmeyenleri \( a, b, c \) olan üç lineer denklem elde edilir. Bu denklem sistemi çözülerek \( a, b, c \) katsayıları bulunur.
Bu yöntem her parabol için kullanılabilir, bununla birlikte tepe noktası ya da kökler biliniyorsa denklem sistemi çözmeden yukarıdaki kısayol formüller kullanılarak parabolün denklemi elde edilebilir.
Parabolün geçtiği noktalar \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( y = ax^2 + bx + c \)
Noktaların koordinatları denklemde yerine konduğunda elde edilen lineer denklemler:
\( y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c \)
\( y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c \)
\( y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c \)
\( A(-1, 6) \), \( B(1, 2) \) ve \( C(4, 11) \) noktalarından geçen parabolün denklemi:
\( y = ax^2 + bx + c \)
Üç noktayı denklemde yerine koyarak üç bilinmeyenli üç lineer denklem elde edelim.
\( 6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \)
\( 2 = a(1)^2 + b(1) + c \)
\( 11 = a(4)^2 + b(4) + c \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( a - b + c = 6 \)
\( a + b + c = 2 \)
\( 16a + 4b + c = 11 \)
Bu lineer denklem sistemini çözdüğümüzde \( a \), \( b \) ve \( c \) için aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = x^2 - 2x + 3 \)
Birinci dereceden denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri için birinci dereceden denklem sistemleri sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolünün grafiğinin eksenleri kestiği bölümler aşağıda verilmiştir.
Buna göre \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = -32 \) noktasında kesmektedir.
Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)
\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, -32) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 + 4)^2 = -32 \)
\( a = -2 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)
Parantez içindeki ifadenin açılımını yazalım.
\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)
\( = -2x^2 - 16x - 32 \)
Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = -50 \) bulunur.
Yukarıdaki grafiği verilen parabolün en küçük değeri kaçtır?
Çözümü GösterParabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( (-3, 0) \) ve \( (1, 0) \) olarak veriliyor.
\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( f(x) = a(x + 3)(x - 1) \)
Parabolün geçtiği \( (0, -3) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 + 3)(0 - 1) = -3 \)
\( a = 1 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 \)
Kolları yukarı yönlü olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(1)} = -1 \)
Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.
\( k = f(r) = f(-1) \)
\( = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 \) bulunur.
\( f(x) = a(x - 2 + b)^2 + b - 7 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) formunda verilen bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olur.
Verilen parabol denklemini düzenleyelim.
\( f(x) = a(x - (2 - b))^2 + b - 7 \)
Buna göre tepe noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( r = 2 - b \)
\( k = b - 7 \)
Tepe noktasının koordinatlarının toplamını alalım.
\( r + k = 2 - b + b - 7 = -5 \) bulunur.
Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktasının ordinatı \( -1 \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterParabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( (0, 0) \) ve \( (2, 0) \) olarak veriliyor.
\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( f(x) = a(x - 0)(x - 2) \)
\( f(x) = ax(x - 2) \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Tepe noktasının apsis değeri denklemin köklerinin apsis değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.
\( r = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 \)
\( T(r, k) = T(1, -1) \)
Parabolün tepe noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(1) = a(1)(1 - 2) = -1 \)
\( a = 1 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x(x - 2) \)
\( f(4) \) değerini bulalım.
\( f(4) = 4(4 - 2) = 8 \) bulunur.
\( f(x) \) parabolü \( x \) eksenini \( -5 \) ve \( 1 \) noktalarında kesiyor.
\( \dfrac{f(-6) + f(4)}{f(2) + f(-2)} \) oranı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( (-5, 0) \) ve \( (1, 0) \) olarak veriliyor.
\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( f(x) = a(x + 5)(x - 1) \)
Soruda verilen fonksiyon değerlerini \( a \) cinsiden bulalım.
\( f(-6) = a(-6 + 5)(-6 - 1) \)
\( = a(-1)(-7) = 7a \)
\( f(4) = a(4 + 5)(4 - 1) \)
\( = a(9)(3) = 27a \)
\( f(2) = a(2 + 5)(2 - 1) \)
\( = a(7)(1) = 7a \)
\( f(-2) = a(-2 + 5)(-2 - 1) \)
\( = a(3)(-3) = -9a \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{f(-6) + f(4)}{f(2) + f(-2)} = \dfrac{7a + 27a}{7a + (-9a)} \)
\( = \dfrac{34a}{-2a} = -17 \) bulunur.
Orijinden geçen ve tepe noktası \( T(r, k) \) olan yukarıdaki parabolün başkatsayısı 8'dir.
\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğuna göre, \( f(\frac{3}{2}) \) kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)
Parabolün başkatsayısı 8 olarak veriliyor.
\( f(x) = 8(x - r)^2 + k \)
Tepe noktasının apsisi köklerin apsis değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
Buna göre \( A \) noktasının koordinatları \( A(2r, 0) \) olur.
\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğu için \( B \) noktasının koordinatları \( B(0, -2r) \) olur.
Dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, -2r) \) olur.
Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( f(x) = 8(x - r)^2 - 2r \)
\( A(2r, 0) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( r \) değerini bulalım.
\( f(2r) = 8(2r - r)^2 - 2r = 0 \)
\( 8r^2 - 2r = 0 \)
\( 2r(4r - 1) = 0 \)
\( r = 0 \) ya da \( r = \frac{1}{4} \)
Verilen grafiğe göre \( r \gt 0 \) olduğu için \( r = \frac{1}{4} \) olur.
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 8(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)
\( f(\frac{3}{2}) \) değerini bulmak için denklemde \( x = \frac{3}{2} \) yazalım.
\( f(\frac{3}{2}) = 8(\frac{3}{2} - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)
\( = 12 \) bulunur.
Genişliği 60 metre olan bir yük gemisi, yüksekliği 40 metre ve su yüzeyindeki genişliği 80 metre olan parabol şeklindeki bir köprünün altından geçecektir.
Bir dikdörtgen prizma oluşturacak şekilde konteyner yüklenen bu yük gemisinin su yüzeyinin üstünde kalan yüksekliği en fazla kaç metre olursa köprünün altından geçebilir?
Çözümü Göster\( y = 0 \) doğrusu su yüzeyini temsil edecek ve köprünün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olacak şekilde köprüyü ve gemiyi koordinat düzlemi üzerinde gösterelim.
Bu durumda parabol \( x \) eksenini aşağıdaki şekildeki gibi \( (-40, 0) \) ve \( (40, 0) \) noktalarında, \( y \) eksenini de \( (0, 40) \) noktasında keser.
\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( = a(x - 40)(x + 40) \)
Parabolün geçtiği \( (0, 40) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım.
\( f(0) = a(0 - 40)(0 + 40) = 40 \)
\( a = -\dfrac{1}{40} \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f(x) = -\dfrac{1}{40}(x - 40)(x + 40) \)
60 metre genişliğindeki gemi, yüksekliği parabolün \( x = 30 \) ve \( x = -30 \) noktalarındaki değerinden küçük olursa köprünün altından geçebilir.
\( f(30) = -\dfrac{1}{40}(30 - 40)(30 + 40) \)
\( = 17,5 \) metre bulunur.
Katsayıları birer rakam olan ve köklerinden biri \( x = -\frac{1}{2} \) olan kaç farklı parabol yazılabilir?
Çözümü GösterKöklerinden biri \( -\frac{1}{2} \) olan parabol denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = (2x + 1)(ax + b) \)
\( = 2ax^2 + (a + 2b)x + b \)
Sabit terimin tam sayı olması için \( b \) tam sayı olmalıdır.
\( a + 2b \) katsayısının tam sayı olması için \( b \) ile birlikte \( a \) da tam sayı olmalıdır.
Buna göre parabol katsayılarını birer rakam yapan tam sayı \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
\( a = 0 \) olması durumunda parabol denklemi bir doğru olur.
\( a = 1 \) için:
\( f(x) = 2x^2 + (1 + 2b)x + b \)
Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:
\( b \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
\( a = 2 \) için:
\( f(x) = 4x^2 + (2 + 2b)x + b \)
Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:
\( b \in \{0, 1, 2, 3\} \)
\( a = 3 \) için:
\( f(x) = 6x^2 + (3 + 2b)x + b \)
Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:
\( b \in \{0, 1, 2, 3\} \)
\( a = 4 \) için:
\( f(x) = 8x^2 + (4 + 2b)x + b \)
Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:
\( b \in \{0, 1, 2\} \)
\( a \gt 4 \) olması durumunda başkatsayı rakam olmaz.
Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 5 + 4 + 4 + 3 = 16 \) farklı parabol yazılabilir.