Parabolün Denkleminin Bulunması

Parabolün tepe noktası \( T(3, 5) \) olduğundan tepe noktası bilinen parabolün denklemi formülünü kullanalım.

\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)

\( f(x) = a(x - 3)^2 + 5 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, 2) \) noktasını denklemde yerine koyarak \( a \) katsayısını bulalım.

\( 2 = a(0 - 3)^2 + 5 \)

\( 2 = 9a + 5 \)

\( a = -\dfrac{1}{3} \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 5 \)

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar verildiği için \( x \) eksenini kestiği iki nokta bilinen parabolün denklemi formülünü kullanalım.

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

\( f(x) = a(x - 1)(x - 4) \)

Parabolün geçtiği \( (0, 3) \) noktasını denklemde yerine koyarak \( a \) katsayısını bulalım.

\( 3 = a(0 - 1)(0 - 4) \)

\( a = \dfrac{3}{4} \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = \dfrac{3}{4}(x - 1)(x - 4) \)

Verilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = -32 \) noktasında kesmektedir.

Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi formülünü kullanalım.

\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)

\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, -32) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 4)^2 = -32 \)

\( a = -2 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)

Parantez içindeki ifadenin açılımını yazalım.

\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)

\( = -2x^2 - 16x - 32 \)

Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = -50 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise simetri ekseni tepe noktasından geçen \( x = r \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = 4 \)

\( m = 4 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 2(4)x + 4 + 5 \)

\( = x^2 - 8x + 9 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( f(0) \) değerine yani parabol denkleminin sabit terimine eşittir.

\( f(0) = 9 \) bulunur.

Parabol \( x \) eksenini -3 ve 1 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( f(x) = a(x + 3)(x - 1) \)

Parabolün başkatsayısını bulmak için \( y \) eksenini kestiği \( (0, -3) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 3)(0 - 1) = -3 \)

\( a = 1 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 \)

Kolları yukarı yönlü olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)

\( k = f(r) = f(-1) \)

\( = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 \) bulunur.

Parabolün genel denklemini yazalım.

\( y = ax^2 + bx + c \)

Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) noktalarında kesmektedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktasının apsis değeri köklerin apsis değerlerinin ortalamasıdır.

\( r = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( b = -2a \)

Parabol orijinden geçtiği için denkleminin sabit terimi 0'dır.

\( c = 0 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = ax^2 - 2ax \)

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(1) = a(1)^2 - 2a(1) = -1 \)

\( a - 2a = -1 \)

\( a = 1 \)

\( b = -2a = -2 \) bulunur.

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = x^2 - 2x \)

Denklemin katsayılar toplamını bulalım.

\( a + b + c = 1 + (-2) + 0 = -1 \) bulunur.

Denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) formunda verilen bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olur.

Verilen parabol denklemini düzenleyelim.

\( f(x) = a(x - (3 - b))^2 + b - 2 \)

Buna göre tepe noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( r = 3 - b, \quad k = b - 2 \)

Tepe noktasının koordinatları toplamı \( r + k = 3 - b + b - 2 = 1 \) olarak bulunur.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 8(x - r)^2 + k \)

Tepe noktasının apsisi köklerin apsis değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

Buna göre \( A \) noktasının koordinatları \( A(2r, 0) \) olur.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğu için \( B \) noktasının koordinatları \( B(0, -2r) \) olur.

Dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, -2r) \) olur.

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - 2r \)

\( A(2r, 0) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( r \) değerini bulalım.

\( f(2r) = 8(2r - r)^2 - 2r = 0 \)

\( 8r^2 - 2r = 0 \)

\( 2r(4r - 1) = 0 \)

\( r \gt 0 \) olduğu için \( r = \frac{1}{4} \) olur.

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 8(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( f(\frac{3}{2}) \) değerini bulmak için denklemde \( x = \frac{3}{2} \) yazalım.

\( f(\frac{3}{2}) = 8(\frac{3}{2} - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( = 12 \) bulunur.

Denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) formunda verilen parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.

Simetri ekseni \( x = 2 \) ise tepe noktasının apsis değeri \( r = 2 \) olur.

Bir parabolün aldığı en büyük değer varsa başkatsayı negatiftir, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Buna göre tepe noktasının ordinat değeri \( k = -1 \) olur.

Parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \)

Parabol \( y \) eksenini \( (0, -3) \) noktasında kesiyor.

\( f(0) = -3 \)

\( f(0) = a(0 - 2)^2 - 1 = -3 \)

\( 4a - 1 = -3 \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \)

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1 \)

\( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1) = -\frac{1}{2}(1 - 2)^2 - 1 = -\frac{3}{2} \) bulunur.

Köprüyü koordinat düzleminde tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olan bir parabol olarak düşünelim.

Buna göre parabol \( x \) eksenini aşağıdaki şekildeki gibi \( (-40, 0) \) ve \( (40, 0) \) noktalarında, \( y \) eksenini de \( (0, 40) \) noktasında keser.

Köprü için \( x \) eksenini kestiği noktalar bilinen parabol denklemini yazalım.

\( y = a(x - 40)(x + 40) \)

\( (0, 40) \) noktası denklemi sağlamalıdır.

\( 40 = a(0 - 40)(0 + 40) \)

\( a = -\dfrac{1}{40} \)

Geminin yüksekliği \( x = 30 \) ya da \( x = -30 \) değerlerinden birindeki parabolün değerine karşılık gelir.

\( y = -\dfrac{1}{40}(30 - 40)(30 + 40) \)

\( = 17,5 \) metre bulunur.