Parabol Tanımı
Analitik düzlemde bir doğruya ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine parabol denir.
Aşağıdaki grafikte belirli bir doğru (\( d \)) ve noktaya (\( V \)) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu parabol gösterilmiştir.
Bir parabol grafiğinin iki önemli özelliği şunlardır:
- Kollarının baktığı yön değişebilse de, U harfine benzer bir şekle sahiptir.
- İleriki bölümlerde simetri ekseni olarak tanımlayacağımız bir doğru etrafında simetriktir (grafikteki dikey kırmızı kesikli doğru).
Yukarıdaki şekildeki parabolün simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir, ancak bir parabol yukarıda verdiğimiz tanımı sağladığı sürece farklı doğrultudaki simetri eksenlerine sahip olabilir. Aşağıdaki şekildeki grafiklerin tümü birer paraboldür.
Bu parabollerle ilgili ek bazı bilgiler aşağıdaki gibidir:
| Parabol | Özellikler | Denklem |
|---|---|---|
| I | Simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda yukarıya (\( a \gt 0 \)) ya da aşağıya (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( y = ax^2 + bx + c \) |
| II | Simetri ekseni \( x \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda sağa (\( a \gt 0 \)) ya da sola (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( x = ay^2 + by + c \) |
| III ve IV | Simetri ekseni yatay ve dikey olmayan herhangi bir doğrudur. Kollar simetri ekseni doğrultusunda iki yönden birine bakar. | Bu parabollerin denklemlerine burada değinmeyeceğiz. |
Yukarıdaki parabol tiplerinden sadece birincisi fonksiyon tanımına uymaktadır, diğer grafiklerin birer fonksiyon olmaması parabol olmalarına engel değildir.
Parabol konusunda ve sitenin geri kalanında sadece birinci tipteki, yani simetri ekseni \( y \) eksenine paralel ve kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan parabolleri inceleyeceğiz ve parabol terimini bu kapsamda kullanıyor olacağız.
Parabolün Denklemi
Simetri ekseni \( y \) eksenine paralel olan parabollerin genel denklemi aşağıdaki gibidir. Eşitliğin sağındaki ifade ikinci dereceden bir polinomdur.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 + 2x - 3 \)
\( y = 2x^2 - 6 \)
\( y = -x^2 \)
Denklemde \( x \) ve \( y \) parabolün değişkenleri, \( a \), \( b \) ve \( c \) de katsayılarıdır. En yüksek dereceli terim olan ikinci dereceden terimin katsayısına başkatsayı, \( x \) değişkeni olmayan sondaki terime sabit terim denir.
Değer Tablosu ve Grafiği
\( f(x) = x^2 \) parabolünün bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | Nokta \( (x, y) \) |
|---|---|---|
| \( -4 \) | \( f(-4) = (-4)^2 = 16 \) | \( (-4, 16) \) |
| \( -3 \) | \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) | \( (-3, 9) \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \) | \( (-2, 4) \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = 0^2 = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = 1^2 = 1 \) | \( (1, 1) \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = 2^2 = 4 \) | \( (2, 4) \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 3^2 = 9 \) | \( (3, 9) \) |
| \( 4 \) | \( f(4) = 4^2 = 16 \) | \( (4, 16) \) |
Elde ettiğimiz bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Parabol İçin Gerekli Nokta Sayısı
Noktalardan biri parabolün tepe noktası olmadığı durumda analitik düzlemde seçilen iki farklı noktadan geçen sonsuz sayıda parabol çizilebilir, doğrusal olmayan üç noktadan geçen sadece bir parabol çizilebilir.
Noktalardan belirli biri tepe noktası olduğu durumda seçilen iki noktadan geçen sadece bir parabol çizilebilir.
