Parabol Tanımı
Koordinat düzleminde bir doğruya ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine parabol denir.
Aşağıdaki şekilde \( d \) doğrusuna ve \( F \) noktasına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu parabol gösterilmiştir. Bu \( d \) doğrusuna parabolün doğrultmanı, \( F \) noktasına da parabolün odağı denir. Odak ile doğrultman arasındaki uzaklığın orta noktası parabolün tepe noktasıdır (\( T \)).
Bir parabolün iki önemli özelliği şunlardır.
- Kollarının yönü değişebilse de, U harfine benzer açık bir şekle sahiptir.
- Simetri ekseni adı verilen bir doğruya göre simetriktir (grafikteki yeşil kesikli doğru). Bu doğru odaktan geçer ve doğrultmana diktir. Tepe noktası da bu doğru üzerindedir.
Yukarıdaki parabolün simetri ekseni düşey bir doğrudur, ancak bir parabol yukarıdaki tanımı sağladığı sürece farklı doğrultularda simetri eksenine sahip olabilir. Örneğin aşağıdaki eğrilerin tümü birer paraboldür.
Bu parabollerle ilgili bazı ek bilgiler aşağıdaki gibidir.
| Parabol | Özellikler | Denklem |
|---|---|---|
| I | Simetri ekseni düşeydir. Parabol \( a \gt 0 \) için yukarı doğru, \( a \lt 0 \) için aşağı doğru açılır. | \( y = ax^2 + bx + c \) |
| II | Simetri ekseni yataydır. Parabol \( a \gt 0 \) için sağa doğru, \( a \lt 0 \) için sola doğru açılır. | \( x = ay^2 + by + c \) |
| III ve IV | Simetri ekseni yatay ya da düşey olmayan bir doğrudur. Parabol simetri ekseni doğrultusundaki iki yönden birine doğru açılır. | Bu parabollerin denklemlerine burada değinmeyeceğiz. |
Yukarıdaki parabol tiplerinden yalnızca birincisi fonksiyon tanımını (dikey doğru testini) sağlar. Diğer eğrilerin birer fonksiyon olmaması parabol olmalarına engel değildir.
Bu bölümde yalnızca birinci tipteki, yani simetri ekseni düşey olan ve kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan parabolleri inceleyeceğiz ve "parabol" terimini bu kapsamda kullanacağız.
Parabolün Denklemi
Simetri ekseni \( y \) eksenine paralel olan parabollerin genel denklemi aşağıdaki gibidir. Eşitliğin sağındaki ifade ikinci dereceden bir polinomdur. \( a = 0 \) olması durumunda denklem bir doğru ifade edeceği için \( a \) sıfır olamaz.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 + 2x - 3 \)
\( y = 2x^2 - 6 \)
\( y = -x^2 \)
Bu denklemde \( x \) ve \( y \) parabol üzerindeki noktaların koordinatlarını temsil eden değişkenler, \( a, b, c \) ise katsayılarıdır. \( x^2 \)'li terimin katsayısı \( a \) parabolün başkatsayısı, \( x \) içermeyen \( c \) terimi de parabolün sabit terimidir.
Örnek Bir Parabol
\( f(x) = x^2 \) parabolünün bazı noktalarını belirlemek için bir değer tablosu oluşturalım.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | Nokta \( (x, y) \) |
|---|---|---|
| \( -4 \) | \( f(-4) = (-4)^2 = 16 \) | \( (-4, 16) \) |
| \( -3 \) | \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) | \( (-3, 9) \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \) | \( (-2, 4) \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = 0^2 = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = 1^2 = 1 \) | \( (1, 1) \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = 2^2 = 4 \) | \( (2, 4) \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 3^2 = 9 \) | \( (3, 9) \) |
| \( 4 \) | \( f(4) = 4^2 = 16 \) | \( (4, 16) \) |
Bu noktalar koordinat düzleminde işaretlenip fonksiyonun grafiği çizildiğinde aşağıdaki parabol elde edilir.
Bir Parabolü Belirlemek İçin Gerekli Nokta Sayısı
Noktalar parabolün tepe noktasından farklı olmak üzere, \( x \) koordinatları farklı olan iki noktadan geçen sonsuz sayıda parabol çizilebilir.
Noktalardan belirli biri parabolün tepe noktası olmak üzere, \( x \) koordinatları farklı iki noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
\( x \) koordinatları birbirinden farklı olan ve doğrusal olmayan üç noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
Doğrusal olan üç farklı noktadan geçen bir parabol çizilemez.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (m + 3)x^4 - 2x^{n + 4} + mx - n \)
fonksiyonu bir parabol olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon bir parabol olduğuna göre denklemi ikinci dereceden bir polinom olmalıdır.
Buna göre birinci terimin katsayısı sıfır, ikinci terimin üssü 2 olmalıdır.
\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)
\( n + 4 = 2 \Longrightarrow n = -2 \)
Buna göre fonksiyonun tanımı aşağıdaki şekilde olur.
\( f(x) = (-3 + 3)x^4 - 2x^{-2 + 4} + (-3)x - (-2) \)
\( = -2x^2 - 3x + 2 \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = -2(2)^2 - 3(2) + 2 = -12 \) bulunur.
\( A(-4, 7) \) noktası \( y = x^2 + mx + m - 3 \) parabolünün üzerinde olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta bir parabolün üzerinde ise koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( 7 = (-4)^2 + m(-4) + m - 3 \)
\( 7 = 16 - 4m + m - 3 \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( f(x) = (m + 1)x^2 - 4mx + 2m - 1 \) parabolü \( A(2, 3m) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta bir parabolün üzerinde ise koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(2) = 3m \)
\( (m + 1)2^2 - 4m(2) + 2m - 1 = 3m \)
\( 4m + 4 - 8m + 2m - 1 = 3m \)
\( m = \dfrac{3}{5} \) bulunur.
\( f(x) = ax^2 - bx - 5 \) fonksiyonunun grafiği \( A(2, 9) \) ve \( B(-1, 3) \) noktalarından geçtiğine göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta bir parabolün üzerinde ise koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( A(2, 9) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım.
\( f(2) = 9 \)
\( a(2)^2 - b(2) - 5 = 9 \)
\( 2a - b = 7 \)
\( B(-1, 3) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım.
\( f(-1) = 3 \)
\( a(-1)^2 - b(-1) - 5 = 3 \)
\( a + b = 8 \)
Bulduğumuz iki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözelim.
Denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( 2a - b + a + b = 7 + 8 \)
\( 3a = 15 \)
\( a = 5 \)
Bu değeri kullanarak \( b \) değerini bulalım.
\( a + b = 8 \)
\( b = 3 \)
\( a - b = 5 - 3 = 2 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 - 5x + 10 \) parabolü üzerinde ordinatı apsisinin iki katı olan noktaları bulunuz.
Çözümü GösterOrdinatı apsisinin iki katı olan noktaların kümesi \( y = 2x \) doğrusunu oluşturur ve koordinatları \( (a, 2a) \) şeklindedir.
Bu noktalardan \( f \) parabolü üzerinde de olanlar parabol denklemini sağlar.
\( f(a) = 2a \)
\( a^2 - 5a + 10 = 2a \)
\( a^2 - 7a + 10 = 0 \)
\( (a - 2)(a - 5) = 0 \)
\( a \in \{2, 5\} \)
Bu \( a \) değerleri aşağıdaki iki noktayı oluşturur.
\( A_1(2, 2(2)) = A_1(2, 4) \)
\( A_2(5, 2(5)) = A_2(5, 10) \)
\( f \) parabolü ve bu iki nokta aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( A \) ve \( B \) noktaları \( y = x^2 + 2x - 4 \) parabolünün üzerinde iki noktadır.
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası orijin olduğuna göre, \( \abs{AB} \) uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A \) noktasının koordinatlarına \( (a, b) \) diyelim.
\( A \) noktası parabol üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( b = a^2 + 2a - 4 \)
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası orijin olduğuna göre, iki nokta orijine göre simetriktir.
Buna göre, \( B \) noktasının koordinatları \( (-a, -b) \) olur.
\( B \) noktası da parabol üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( -b = (-a)^2 + 2(-a) - 4 \)
\( -b = a^2 - 2a - 4 \)
Eşitliğin taraflarını -1 ile çarpalım.
\( b = -a^2 + 2a + 4 \)
\( A \) ve \( B \) noktaları için bulduğumuz iki eşitliği birbirine eşitleyelim.
\( a^2 + 2a - 4 = -a^2 + 2a + 4 \)
\( 2a^2 = 8 \)
\( a = \pm 2 \)
İki nokta birbirinin simetriği olduğu için apsis değerleri mutlak değer olarak eşit olacaktır, dolayısıyla \( a \)'nın pozitif ya da negatif değerini almamız sonucu değiştirmeyecektir.
\( a = 2 \)
\( a \) değerini kullanarak \( b \) değerini bulalım.
\( b = 2^2 + 2(2) - 4 = 4 \)
Buna göre iki noktanın koordinatları \( A(2, 4) \) ve \( B(-2, -4) \) olarak bulunur.
İki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2} \)
\( = \sqrt{16 + 64} \)
\( = 4\sqrt{5} \) bulunur.
\( f(x) = -x^2 + 6x + 16 \) parabolünün koordinatları pozitif tam sayı olan kaç noktası vardır?
Çözümü GösterParabol denkleminde \( x \) değeri parabol üzerindeki bir noktanın apsis değerine, \( -x^2 + 6x + 16 \) ifadesi de bu noktanın ordinat değerine karşılık gelir.
Koordinatları pozitif tam sayılar olan noktaları bulmak için önce ordinatı pozitif olan noktaları bulalım.
\( y = f(x) \gt 0 \)
\( -x^2 + 6x + 16 \gt 0 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( x^2 - 6x - 16 \lt 0 \)
\( (x + 2)(x - 8) \lt 0 \)
Bu eşitsizlik her bir çarpanı sıfır yapan \( x = -2 \) ve \( x = 8 \) değerlerinin arasındaki aralıkta sağlanır.
\( -2 \lt x \lt 8 \)
Buna göre bu aralıktaki \( x \) değerlerinde parabolün ordinatı pozitif olur.
\( x \)'in bu aralıktaki pozitif tam sayı değerlerini bulalım.
\( x \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
Buna göre verilen parabolün koordinatları pozitif tam sayı olan 7 noktası vardır.