Parabol ve Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Bir doğru ile bir parabolün birbirlerine göre durumu, parabolün \( x \) eksenine göre durumuna benzer şekilde üç farklı şekilde olabilir: Buna göre bir doğru \( d_1 \) doğrusu gibi parabolü iki noktada kesebilir, \( d_2 \) doğrusu gibi tek bir noktada (teğet) kesebilir ya da \( d_3 \) doğrusu gibi kesmeyebilir.

Doğrunun parabole göre durumu
Doğrunun parabole göre durumu

Verilen bir doğru ve parabolün birbirlerine göre durumlarını anlayabilmek için iki denklemi ortak çözeriz ve oluşan ikinci dereceden denklemin deltasına bakarız.

Ortak çözüm sonucunda elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökleri bize doğrunun parabolü kestiği noktaların apsis değerlerini verir (şekildeki \( x_1 \), \( x_2 \) ve \( x_3 \) noktaları). Kesişim noktalarının ordinat değerlerini bulmak için bu apsis değerleri parabol ya da doğru denkleminde yerine koyarız (kesişim noktaları parabol ve doğru için ortak olduğu için apsis noktaları her iki denklemde aynı ordinat değerlerini verecektir).

Burada izlediğimiz yöntem parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için kullandığımız yöntemle aynıdır. \( x \) ekseni \( y = 0 \) doğrusuna karşılık geldiği için, parabol denklemini sıfıra eşitlerken parabolü \( y = 0 \) doğrusu ile ortak çözüyor oluruz.

SORU:

\( y = x^2 - 2x + m + 2 \) parabolü ile \( y = x - 1 \) doğrusu birbirine teğet ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = x^2 - 4x + 3 \) parabolü ile \( y = x + 1 \) doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = x^2 - 5x + 2 \) parabolü ile \( y = 6 - x \) doğrusunun kesim noktaları \( A \) ve \( B \) olduğuna göre \( [AB] \) doğru parçasının orta noktası nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x^2 - 4x - 2 \) parabolü ile \( y = ax + b \) doğrusu iki farklı \( A \) ve \( B \) noktasında kesişmektedir.

\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası \( C(3, 4) \) olduğuna göre, \( b \) kaçtır?

Çözümü Göster

Bir Parabolün Bir Doğruya En Yakın Noktası

Bir parabolün kendisini kesmeyen bir doğruya en yakın noktasını aşağıdaki yöntemle bulabiliriz.

Bir parabolün bir doğruya en yakın noktası
Bir parabolün bir doğruya en yakın noktası
  • Parabolün üzerindeki böyle bir nokta (şekildeki \( A \) noktası), aynı zamanda \( d_1 \) doğrusuna paralel ve parabole teğet diğer bir \( d_2 \) doğrusunun parabolü teğet kestiği nokta olacaktır.
  • \( d_2 \) doğrusu \( d_1 \) doğrusuna paralel ve aynı eğime sahip olduğu için denkleminde sadece sabit terimi farklı olacaktır (\( d_2: y = mx + c_2 \)).
  • \( d_2 \) doğrusu parabolü tek noktada kestiği için parabol ve \( d_2 \) denklemlerini ortak çözüp elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltasını sıfıra eşitleriz.
  • Delta sıfıra eşitlediğimizde denklemdeki tek bilinmeyen olan \( c_2 \) sabit terimini, dolayısıyla \( d_2 \) doğru denklemini elde ederiz.
  • Parabol ve \( d_2 \) doğru denklemlerini ortak çözüp \( A \) noktasının apsisini tek kök olarak buluruz.
  • Bu apsis değerini parabol ya da \( d_2 \) denkleminde yerine koyduğumuzda \( A \) noktasının ordinat değerini buluruz.

\( d_1 \) doğrusunun parabole en kısa uzaklığını bulmak istersek, \( d_1 \) ve yukarıdaki yöntemle bulduğumuz \( d_2 \) doğru denklemlerini kullanarak analitik geometride gördüğümüz iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanabiliriz.

\( d_1 \) doğrusu üzerindeki parabole en yakın noktayı (şekildeki \( B \) noktasını) bulmak istersek, \( A \) noktasından geçen ve \( d_1/d_2 \) doğrularına dik doğrunun denklemini bulup, bu doğrunun \( d_1 \) doğrusu ile kesişim noktasını bulabiliriz.

Bir Parabole Orijinden Çizilen Teğetler

Bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasına eşittir.

Bir parabole orijinden çizilen teğetler
Bir parabole orijinden çizilen teğetler

Bunun bir sonucu olarak, bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların birbirine dik olması istenirse, dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olacağı için parabolün deltasını \( -1 \)'e eşitlememiz yeterli olacaktır.

Yukarıdaki ispatta ortak çözüm sonucu elde ettiğimiz denklemde kökler toplamına karşılık gelen \( 2b \) ifadesi de parabole çizilen teğet doğruların eğimleri toplamını verir. Bu teğet doğruların eğimleri toplamının sıfır olması istenirse, \( 2b \) ifadesinin sıfıra eşit olması, yani parabol denkleminde \( b \) katsayısının sıfır olması gerekecektir.

Bir Parabole x Eksenini Kestiği Noktalardan Çizilen Teğetler

Bir parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasının ters işaretlisine eşittir.

Bir parabole x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler
Bir parabole x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler

Bunun bir sonucu olarak, bu teğet doğruların birbirine dik olması istenirse, dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olacağı için parabolün deltasını \( +1 \)'e eşitlememiz yeterli olacaktır.

SORU:

\( y = -4x^2 + 6x + 3 \) parabolünün \( x - 2y + 5 = 0 \) doğrusuna dik olan teğetinin denklemi nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Parabolün Grafik Yorumu
Sonraki »
Parabolün Analitik Uygulamaları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır