Parabol ve Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise denklemlerinin ortak çözümünden elde edilen 2. dereceden denklemin tek reel kökü olmalıdır, yani deltası sıfır olmalıdır.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 2x + m + 2 = x - 1 \)

\( x^2 - 3x + m + 3 = 0 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m + 3 \)

\( (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) = 0 \)

\( 9 - 4m - 12 = 0 \)

\( m = -\dfrac{3}{4} \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x + 3 = x + 1 \)

\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Bu denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için denklemin iki reel kökü vardır, dolayısıyla doğru ve parabol iki farklı noktada kesişir.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \gt 0 \)

Soruda istenen kesişim noktalarının apsis değerlerinin toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \)

Kesişim noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci derecede denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 5x + 2 = 6 - x \)

\( x^2 - 4x - 4 = 0 \)

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) diyelim.

\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası olan \( C \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki orta nokta formülü ile bulabiliriz.

\( C(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( x_1 + x_2 \) toplamını ortak çözüm sonucu elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü ile bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-4}{1} = 4 \)

\( C(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) = C(2, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( C \) noktası iki kesişim noktasını birleştiren \( y = 6 - x \) doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlar.

Doğru denkleminde \( x = 2 \) koyalım.

\( y = 6 - x = 6 - 2 = 4 \)

O halde \( C(2, 4) \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci derecede denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x - 2 = ax + b \)

\( x^2 - (4 + a)x - 2 - b = 0 \)

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) diyelim.

\( C(3, 4) \) noktası kesişim noktalarının orta noktasıdır, dolayısıyla apsis değeri de kesişim noktalarının apsis değerlerinin ortalamasına eşittir.

\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-\frac{-(4 + a)}{1}}{2} = 3 \)

\( \dfrac{4 + a}{2} = 3 \)

\( a = 2 \)

Buna göre doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = 2x + b \)

\( C(3, 4) \) noktası \( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren doğrunun üzerinde olduğu için noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 4 = 2 \cdot 3 + b \)

\( b = -2 \) bulunur.

\( d \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında kestiği için sabit terimi \( 5 \)'tir.

\( d: y = ax + 5 \)

\( d \) doğrusu aynı zamanda \( (2, 7) \) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını yazarak \( a \)'yı bulalım.

\( 7 = 2a + 5 \Longrightarrow a = 1 \)

\( d: y = x + 5 \)

\( f \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, -9) \) noktasında kestiği için sabit terimi \( -9 \)'dur.

\( f(x) = x^2 + bx - 9 \)

\( f \) fonksiyonunun simetri ekseni \( (2, 7) \) noktasından geçtiğine göre, tepe noktasının apsis değeri \( 2 \)'dir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{b}{2} = 2 \)

\( b = -4 \)

\( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)

\( A \) ve \( B \) noktalarını bulmak için her iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x - 9 = x + 5 \)

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 7) = 0 \)

Buna göre parabol ve doğru \( A(-2, m) \) ve \( B(7, n) \) noktalarında kesişir. Bu noktaların ordinat değerlerini bulmak için apsis değerlerini iki denklemden birinde yerine koyalım.

\( y = m = -2 + 5 = 3 \)

\( y = n = 7 + 5 = 12 \)

Buna göre kesişim noktalarının ordinat değerlerinin çarpımı \( 3 \cdot 12 = 36 \) olarak bulunur.

Doğru ve parabol denklemlerini ortak çözelim.

\( (x - 2)^2 = mx - 5 \)

\( x^2 - 4x + 4 = mx - 5 \)

\( x^2 - (m + 4)x + 9 = 0 \)

Verilen doğrunun parabolü en az bir noktada kesmesi için bu denklemin en az bir reel kökü olmalıdır, dolayısıyla denklemin deltası sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır.

Denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(m + 4), \quad c = 9 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)

\( (-(m + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \ge 0 \)

\( (m + 4)^2 \ge 36 \)

\( m + 4 \le -6 \) ya da \( m + 4 \ge 6 \)

\( m \le -10 \) ya da \( m \ge 2 \)

\( m \in (-\infty, -10] \cup [2, +\infty) \)

İki denklemi ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin reel kökleri iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x + 11 = 2x + 5 \)

\( x^2 - 6x + 6 = 0 \)

Denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için iki reel kökü vardır, dolayısıyla (grafikte de görebileceğimiz gibi) doğru parabolü iki farklı noktada keser.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \gt 0 \)

Denklemin köklerinin çarpımı için ikinci dereceden denklem kökler çarpımı formülünü kullanalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \) bulunur.

Denklemi \( ax + by + c = 0 \) olan doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.

\( m = -\dfrac{a}{b} \)

Soruda verilen doğrunun eğimini bulalım.

\( m = \dfrac{1}{2} \)

Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olduğu için bu doğruya dik ve parabole teğet olan doğrunun eğimi \( m = -2 \) olur.

Buna göre parabole teğet olan doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = mx + c = -2x + c \)

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise bu iki denklemin ortak çözümünden elde edilen ikinci dereceden denklemin tek reel kökü vardır ve denklemin deltası sıfırdır.

\( -4x^2 + 6x + 3 = -2x + c \)

\( -4x^2 + 8x + 3 - c = 0 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = -4, \quad b = 8, \quad c = 3 - c \)

\( 8^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (3 - c) = 0 \)

\( 64 + 48 - 16c = 0 \)

\( c = 7 \)

Parabole teğet olan doğrunun denklemi \( y = -2x + 7 \) olarak bulunur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)

Buna göre parabol ve doğru \( x = 1 \) apsisli noktada kesişirler ve bu noktada ordinat değerleri eşittir.

Parabolün \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = m - 1 \)

Doğrunun \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( y = 2(1) + 3 = 5 \)

İki ordinat değerini birbirine eşitleyelim.

\( 5 = m - 1 \)

\( m = 6 \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru kesişmiyorlarsa denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan küçük olur, yani denklemin reel kökü yoktur.

İki denklemi ortak çözelim.

\( 2x^2 - 3x + 1 = x + k \)

\( 2x^2 - 4x + 1 - k = 0 \)

İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -4, \quad c = 1 - k \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - k) \lt 0 \)

\( 16 - 8 + 8k \lt 0 \)

\( k \lt -1 \)

Buna göre \( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -2 \) olur.

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise tek bir noktada kesişirler, dolayısıyla ortak çözümlerinden elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfır olmalıdır.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - mx + m + 2 = mx + 2 \)

\( x^2 - 2mx + m = 0 \)

İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 0 \)

\( 4m^2 - 4m = 0 \)

\( 4m(m - 1) = 0 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan değerlerdir.

\( m \in \{0, 1\} \) bulunur.

Parabol ve doğru kesişmiyorlarsa iki denklemi ortak çözdüğümüzde elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

İki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 + mx + 6 = x + 2 \)

\( x^2 + (m - 1)x + 4 = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = m - 1, \quad c = 4 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 \lt 16 \)

\( -4 \lt m - 1 \lt 4 \)

\( -3 \lt m \lt 5 \)

Buna göre \( m \)'nin alabileceği 7 tam sayı değer vardır.

\( m \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \)

Parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin kökleri parabol ve doğrunun kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

Denklemleri ortak çözelim.

\( mx^2 + 2x + 3 = mx + n \)

\( mx^2 + (2 - m)x + 3 - n = 0 \)

İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = m, \quad b = 2 - m, \quad c = 3 - n \)

Kesişim noktalarının apsisler toplamının, yani denklemin kökler toplamının 3 olduğunu biliyoruz.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2 - m}{m} = 3 \)

\( -2 + m = 3m \)

\( m = -1 \) bulunur.

Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi formülünü kullanarak \( d \) doğrusunun denklemini yazalım.

\( \dfrac{x}{-1} + \dfrac{y}{-4} = 1 \)

\( 4x + y = -4 \)

\( y = -4x - 4 \)

Parabolün ve doğrunun denklemlerini ortak çözdüğümüzde \( A \) noktasının apsis değeri olan \( p \)'yi elde ederiz.

\( x^2 = -4x - 4 \)

\( p^2 = -4p - 4 \)

\( p^2 + 4p + 4 = 0 \)

\( (p + 2)^2 = 0 \)

\( p = -2 \)

\( p \) değerini parabol ya da doğru denkleminde yerine koyarak \( A \) noktasının ordinat değerini bulalım.

\( k = -4p - 4 = -4(-2) - 4 = 4 \)

\( A(p, k) = A(-2, 4) \)

Buna göre \( p + k = -2 + 4 = 2 \) bulunur.