Parabolün Tepe Noktası

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği paraboldür.

Bir parabolün minimum değeri varsa başkatsayısı pozitiftir, parabolün kolları yukarı yönlüdür ve parabol minimum değerini tepe noktasında alır.

Buna göre tepe noktası \( T(-2, -3) \) noktasıdır.

Tepe noktası bilinen parabolün denklemini yazalım.

\( f(x) = a(x + 2)^2 - 3 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, 5) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( 5 = a(0 + 2)^2 - 3 \)

\( a = 2 \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2(x + 2)^2 - 3 \)

\( f(3) \) değerini bulalım.

\( f(3) = 2(3 + 2)^2 - 3 \)

\( = 47 \) bulunur.

Parabol \( A \) noktasından geçiyorsa bu noktanın koordinatları parabol denklemini sağlar.

\( f(-1) = 9 \)

\( 4(-1)^2 + m(-1) - 3 = 9 \)

\( m = -8 \)

Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 4x^2 - 8x - 3 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 4} = 1 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyarak ordinatını bulalım.

\( k = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) - 3 = -7 \)

\( T(r, k) = T(1, -7) \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)

\( 3 - 2k = 2k + 2 \)

\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n - 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-m}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( m = 6 \)

\( f(x) = x^2 - 6x + n - 5 \)

Tepe noktasının koordinatlarını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(3) = -5 \)

\( 3^2 - 6(3) + n - 5 = -5 \)

\( n = 9 \)

\( m + n = 6 + 9 = 15 \) bulunur.

Başkatsayısı pozitif (kolları yukarı yönlü) olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( k = -1 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 1} = -2 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyarak tepe noktasının ordinat değerine eşitleyelim.

\( f(r) = k \)

\( f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 2m - 3 = -1 \)

\( 4 - 8 + 2m - 3 = -1 \)

\( m = 3 \) bulunur.

Parabolün denklemi tepe noktası bilinen parabol denklemi formunda verilmiştir.

\( y = a(x - r)^2 + k \)

Buna göre grafiğin tepe noktası \( T(-2, 9) \) olur.

\( a \lt 0 \) olduğundan parabolün kolları aşağı yönlüdür.

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.

\( y = -(0 + 2)^2 + 9 = 5 \)

Buna göre parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) yazalım.

\( 0 = -(x + 2)^2 + 9 \)

\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

\( (x + 5)(x - 1) = 0 \)

\( x = -5 \) ya da \( x = 1 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( (-5, 0) \) ve \( (1, 0) \) noktalarında keser.

Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü olan) bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır. Bu en küçük değeri tepe noktası ordinat değeri formülü ile bulabiliriz.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( k = \dfrac{4ac - b^2}{4a} = -12 \)

\( a = 1, \quad b = m + 1, \quad c = -m + 2 \)

\( \dfrac{4 \cdot 1 \cdot (-m + 2) - (m + 1)^2}{4 \cdot 1} = -12 \)

\( -4m + 8 - m^2 - 2m - 1 = -48 \)

\( m^2 + 6m - 55 = 0 \)

\( (m + 11)(m - 5) = 0 \)

\( m = -11 \) ya da \( m = 5 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı \( -11 + 5 = -6 \) olarak bulunur.

Alternatif olarak, bulduğumuz denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için (denklemin iki farklı reel kökü olduğu için), \( m \)'nin alabileceği değerler toplamını kökler toplamı formülü ile de bulabiliriz.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 256 \gt 0 \)

\( m_1 + m_2 = -\dfrac{b}{a} = -6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 7 = -2 \)

Buna göre parabolün tepe noktasının koordinatları \( T(3, -2) \) olarak bulunur.

Tepe noktasının koordinatları \( O(0, 0) \) olan orijine uzaklığını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( \abs{TO} = \sqrt{(3 - 0)^2 + ((-2) - 0)^2} \)

\( = \sqrt{13} \) bulunur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)

Tepe noktasının \( x \) eksenine uzaklığı 3 birim ise tepe noktasının koordinatları \( T(1, 3) \) ya da \( T(1, -3) \) olur.

Her iki durum için \( m \) değerini bulalım.

\( T(1, 3) \) için:

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = 3 \)

\( m = 4 \)

\( T(1, -3) \) için:

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = -3 \)

\( m = -2 \)

Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( 4 \cdot (-2) = -8 \) olarak bulunur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktası IV. bölgede ise \( r \gt 0 \) ve \( k \lt 0 \) olmalıdır.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = m \)

\( r \gt 0 \Longrightarrow m \gt 0 \)

\( f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m + 6 \)

\( -m^2 + m + 6 \lt 0 \)

\( m^2 - m - 6 \gt 0 \)

\( (m + 2)(m - 3) \gt 0 \)

\( m \lt -2 \) ya da \( m \gt 3 \)

Bulduğumuz iki eşitsizliğin kesişim kümesi \( m \)'nin en geniş değer aralığını verir.

\( m \gt 3 \) bulunur.

\( A = (2 - m)(m - 4) = -m^2 + 6m - 8 \)

Bu ikinci dereceden ifadenin grafiği bir paraboldür. Negatif başkatsayılı (kolları aşağı yönlü olan) bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyarak ordinatını bulalım.

\( k = f(3) = -3^2 + 6(3) - 8 = 1 \)

Buna göre \( A \)'nın en büyük değeri 1'dir.

\( A - B \) farkını bulalım.

\( A - B = (5x^2 + 12) - (12x - x^2) \)

\( = 6x^2 - 12x + 12 \)

Pozitif başkatsayılı bu denklem kolları yukarı yönlü bir paraboldür ve alabileceği en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinat değerine eşittir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{2 \cdot 6} = 1 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyarak ordinatını bulalım.

\( k = f(1) = 6(1)^2 - 12(1) + 12 = 6 \)

Buna göre \( A - B \) farkının en küçük değeri 6'dır.

Verilen fonksiyon negatif başkatsayılı ve reel kökleri \( x = k \) ve \( x = -4 \) olan bir paraboldür.

Pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini, negatif başkatsayılı bir parabol de en büyük değerini tepe noktasında alır.

Ayrıca parabollerin tepe noktasının apsisi köklerin orta noktasıdır.

Tepe noktasının apsis değerine \( r \) diyelim.

\( r = \dfrac{k + (-4)}{2} \)

Bu değeri fonksiyonda yerine koyup fonksiyonun aldığı en küçük değeri bulalım.

\( f(\dfrac{k - 4}{2}) = (k - \dfrac{k - 4}{2})(\dfrac{k - 4}{2} + 4) \)

\( = \dfrac{k + 4}{2} \cdot \dfrac{k + 4}{2} \)

\( = \dfrac{(k + 4)^2}{4} \)

Bulduğumuz ifadenin değerinin 9'dan küçük olmasını istiyoruz.

\( \dfrac{(k + 4)^2}{4} \lt 9 \)

\( (k + 4)^2 \lt 36 \)

\( -6 \lt k + 4 \lt 6 \)

\( -10 \lt k \lt 2 \) bulunur.

Her iki fonksiyon da birer paraboldür.

Pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini, negatif başkatsayılı bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

\( f(x) \) fonksiyonunu tam kareye tamamlayalım.

\( f(x) = a - (x^2 - 4x + 4) \)

\( = a - (x - 2)^2 \)

Parantez içindeki tam kare ifadenin en küçük değeri sıfır olduğu için \( f \) fonksiyonunun en büyük değeri \( a \) olur.

\( g(x) \) fonksiyonunu tam kareye tamamlayalım.

\( g(x) = (x - a)^2 - 2a + 4 - a^2 \)

Parantez içindeki tam kare ifadenin en küçük değeri sıfır olduğu için \( g \) fonksiyonunun en küçük değeri \( -2a + 4 - a^2 \) olur.

\( f(x) \) fonksiyonunun en büyük değeri \( g(x) \) fonksiyonunun en küçük değerinden küçüktür.

\( a \lt -2a + 4 - a^2 \)

\( a^2 + 3a - 4 \lt 0 \)

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (a + 4)(a - 1) \lt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

\( a \in (-4, 1) \)

\( a \)'nın en büyük tam sayı değeri 0 olarak bulunur.

Herhangi bir \( x \) değeri için paraboller arasındaki dikey mesafe iki denklemin farkının mutlak değerine eşittir.

\( \abs{x^2 + 5 - (-x^2 + 3x + 2)} = \abs{2x^2 - 3x + 3} \)

\( 2x^2 - 3x + 3 \) ifadesi başkatsayısı pozitif ve deltası negatif olan bir paraboldür.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -3, \quad c = 3 \)

\( \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = -15 \lt 0 \)

Dolayısıyla iki parabol arasındaki dikey mesafeyi veren parabol \( x \) eksenini kesmez, tüm reel sayılarda pozitiftir ve en küçük noktasını tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{4} \)

İki parabol arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için fark fonksiyonunda \( x = \frac{3}{4} \) koyalım.

\( 2x^2 - 3x + 3 = 2(\dfrac{3}{4})^2 - 3(\dfrac{3}{4}) + 3 \)

\( = \dfrac{15}{8} \) bulunur.

Bir parabolün simetri ekseni \( x = r = -\frac{b}{2a} \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -1 \)

\( -\dfrac{-(2m + 1)}{2 \cdot 4} = -1 \)

\( 2m + 1 = -8 \)

\( m = -\dfrac{9}{2} \) bulunur.

Bir parabolün simetri ekseni \( x = r = -\frac{b}{2a} \) doğrusudur.

\( 2 = -\dfrac{m}{2 \cdot 1} \)

\( m = -4 \)

Simetri ekseni tepe noktasından geçtiği için tepe noktasının apsisi \( x = 2 \) olur.

Tepe noktası: \( T(2, k) \)

Pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinatı \( k = 6 \) olur.

Tepe noktası: \( T(2, 6) \)

Tepe noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyarak \( n \) değerini bulalım.

\( 6 = 2^2 - 4(2) + n \)

\( n = 10 \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = x^2 - 4x + 10 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyalım.

\( y = 0^2 - 4(0) + 10 = 10 \) bulunur.

Buna göre parabol \( y \) eksenini \( (0, 10) \) noktasında keser.

Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

Benzer şekilde, bir parabol üzerindeki iki farklı noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşitse bu iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.

Verilen iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşit olduğu için bu iki nokta simetri eksenine göre simetrik noktalardır. Buna göre simetri ekseni bu iki noktanın orta noktasından geçer.

Parabolün simetri ekseni \( x = r \) olmak üzere,

\( r = \dfrac{\frac{1}{7} + \frac{20}{7}}{2} \)

\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

Buna göre parabolün simetri ekseni \( x = \frac{3}{2} \) doğrusudur.

Verilen parabolün tepe noktasının apsis değerini bulalım.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( = -\dfrac{8}{2 \cdot (-1)} = 4 \)

Buna göre parabol grafiğinde \( x = 4 \) simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon değerleri birbirine eşit olur.

\( x = -1 \) ve \( x = 9 \) noktaları simetri eksenine göre simetrik olduğu için fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{-1 + 9}{2} = r = 4 \)

\( f(-1) = f(9) = a \)

Benzer şekilde, \( x = \sqrt{2} - 3 \) ve \( x = 11 - \sqrt{2} \) noktaları simetri eksenine göre simetrik olduğu için fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{\sqrt{2} - 3 + 11 - \sqrt{2}}{2} = r = 4 \)

\( f(\sqrt{2} - 3) = f(11 - \sqrt{2}) = b \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{f(-1) - f(\sqrt{2} - 3)}{f(11 - \sqrt{2}) - f(9)} \)

\( = \dfrac{a - b}{b - a} = -1 \) bulunur.

Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

Benzer şekilde, bir parabol üzerindeki iki farklı noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşitse bu iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.

Verilen iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşit olduğu için bu iki nokta simetri eksenine göre simetrik noktalardır. Buna göre simetri ekseni bu iki noktanın orta noktasından geçer.

Parabolün simetri ekseni \( x = r \) olmak üzere,

\( r = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-(2m + 4)}{2 \cdot 1} \)

\( r = m + 2 = 3 \)

\( m = 1 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 6x + 11 \)

\( f(0) = 11 \) bulunur.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolde her \( m \) reel sayısı için \( f(r - m) = f(r + m) \) eşitliği sağlanır. Bunun sebebi parabolün \( x = r \) simetri eksenine göre simetrik olması ve simetri ekseninden eşit uzaklıktaki noktaların fonksiyon değerlerinin aynı olmasıdır.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( f(-m + 3) = f(m + 3) \)

\( f(3 - m) = f(3 + m) \)

Bir parabolde her \( m \) sayısı için \( f(3 - m) = f(3 + m) \) eşitliği sağlanıyorsa parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = 3 \) olur.

Verilen parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür. Parabol en büyük değerini tepe noktasında alır ve parabol üzerindeki bir noktanın apsis değeri \( x = 3 \) noktasından uzaklaştıkça fonksiyon değeri küçülür.

\( x = -1 \) noktası \( x = 3 \) noktasından en uzak, \( x = 2 \) noktası en yakındır. Buna göre istenen fonksiyon değerlerinin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( f(-1) \lt f(5) \lt f(2) \)

Bu noktalar aşağıdaki örnek negatif başkatsayılı parabolün grafiği üzerinde gösterilmiştir. Gerçek parabol grafiğinin eksenlere göre konumu ve kollarının açıklığı farklı olabilecek olsa da bu noktaların fonksiyon değerleri arasındaki sıralama değişmeyecektir.