Parabolün Tepe Noktası
Kolları yukarı yönlü bir parabolde fonksiyonun en küçük, kolları aşağı yönlü bir parabolde ise en büyük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve genellikle \( T(r, k) \) ile gösterilir.
Tepe noktası, parabolün \( y \) değerlerinin azalmadan artmaya ya da artmadan azalmaya geçtiği noktadır. Kolları yukarı yönlü bir parabolde \( x \) arttıkça \( y \) değeri tepe noktasına kadar azalır, tepe noktasından sonra artar.
Kolları aşağı yönlü bir parabolde ise \( x \) arttıkça \( y \) değeri tepe noktasına kadar artar, tepe noktasından sonra azalır.
Bir parabolün tepe noktasının apsis ve ordinat değerleri aşağıdaki formüllerle bulunur.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( k = f(r) = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = -\dfrac{\Delta}{4a} \)
\( f(x) = x^2 - 4x - 2 \)
\( r = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( k = f(2) = 2^2 - 4(2) - 2 = -6 \)
Parabolün tepe noktası \( T(2, -6) \) noktasıdır.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir parabol tanımlayalım.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a \)) parantezine alalım.
\( = a\left( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x \right) + c \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = a\left( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right) + c \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( a \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = a\left( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right) + c - a\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = a\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a} \)
\( = a\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)
Bir tam kare ifadesi negatif olamaz.
\( \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 \ge 0 \)
Bu nedenle \( a \gt 0 \) olduğunda fonksiyon en küçük, \( a \lt 0 \) olduğunda ise en büyük değerini parantez içindeki ifade sıfır olduğunda alır. Bu \( x \) değeri tepe noktasının apsisidir.
\( x + \dfrac{b}{2a} = 0 \)
\( x = -\dfrac{b}{2a} = r \)
Tepe noktasının ordinatını bulalım.
\( k = f(r) = f\left( -\dfrac{b}{2a} \right) \)
\( = a\left( -\dfrac{b}{2a} + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)
\( = a(0) + \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)
\( = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} \)
Paydaki ifade parabolün deltasına eşittir.
\( = -\dfrac{\Delta}{4a} \)
Tepe noktasının konumu \( y \) eksenine göre üç şekilde olabilir.
| Grafik | Tepe Noktasının Konumu |
|---|---|
|
Tepe noktası \( y \) ekseninin sağında: Bu durumda tepe noktasının apsisi pozitif olur. \( r = -\dfrac{b}{2a} \gt 0 \) Buna göre \( a \) ve \( b \) katsayıları zıt işaretli, yani parabolün kolları yukarı yönlü ise \( b \lt 0 \), aşağı yönlü ise \( b \gt 0 \) olur. |
|
Tepe noktası \( y \) ekseninin solunda: Bu durumda tepe noktasının apsisi negatif olur. \( r = -\dfrac{b}{2a} \lt 0 \) Buna göre \( a \) ve \( b \) katsayıları aynı işaretli, yani parabolün kolları yukarı yönlü ise \( b \gt 0 \), aşağı yönlü ise \( b \lt 0 \) olur. |
|
Tepe noktası \( y \) ekseninin üzerinde: Bu durumda tepe noktasının apsis değeri sıfır olur. \( r = -\dfrac{b}{2a} = 0 \) Buna göre \( b = 0 \) olur. |
Tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olduğu durumda \( f(x) = ax^2 + c \) olur ve parabol \( y \) eksenine göre simetrik olur, dolayısıyla \( f \) çift fonksiyon olur.
Aşağıdaki parabollerin tepe noktalarının koordinatlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = 3x^2 + 6x + 7 \)
(b) \( g(x) = -2x^2 + 2x - 5 \)
(c) \( h(x) = -4x^2 - 5 \)
Çözümü Göster\( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( k = f(r) \)
Bu formülleri kullanarak verilen parabollerin tepe noktalarını bulalım.
(a) seçeneği:
\( y = 3x^2 + 6x + 7 \)
\( r = -\dfrac{6}{2(3)} = -1 \)
\( k = f(-1) \)
\( = 3(-1)^2 + 6(-1) + 7 = 4 \)
\( T(r, k) = T(-1, 4) \)
(b) seçeneği:
\( y = -2x^2 + 2x - 5 \)
\( r = -\dfrac{2}{2(-2)} = \dfrac{1}{2} \)
\( k = g(\dfrac{1}{2}) \)
\( = -2(\dfrac{1}{2})^2 + 2(\dfrac{1}{2}) - 5 = -\dfrac{9}{2} \)
\( T(r, k) = T(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{2}) \)
(c) seçeneği:
\( y = -4x^2 - 5 = -4x^2 + 0x - 5 \)
\( r = -\dfrac{0}{2(-4)} = 0 \)
\( k = h(0) \)
\( = -4(0)^2 - 5 = -5 \)
\( T(r, k) = T(0, -5) \)
\( f(x) = 4x^2 + mx - 3 \) parabolü \( A(-1, 9) \) noktasından geçtiğine göre, tepe noktasının koordinatları nedir?
Çözümü GösterBir nokta bir parabolün üzerinde ise koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(-1) = 9 \)
\( 4(-1)^2 + m(-1) - 3 = 9 \)
\( m = -8 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 4x^2 - 8x - 3 \)
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 4, \quad b = -8, \quad c = -3 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(4)} = 1 \)
Parabolün bu noktadaki değerini bulalım.
\( k = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) - 3 = -7 \)
\( T(r, k) = T(1, -7) \) bulunur.
\( y = (k + 1)x^2 + (2k - 3)x - 6 \)
parabolünün tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterParabolün katsayılarını yazalım.
\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)
\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)
\( 3 - 2k = 2k + 2 \)
\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.
\( y = x^2 - 6x + 7 \) parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığı nedir?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Parabolün bu noktadaki değerini bulalım.
\( k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 7 = -2 \)
\( T(3, -2) \)
Tepe noktasının koordinatları \( O(0, 0) \) olan orijine olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{TO} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \) bulunur.
\( f(x) = x^2 - mx + n - 5 \) parabolünün tepe noktası \( T(3, -5) \) olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n - 5 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-m}{2(1)} = 3 \)
\( m = 6 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + n - 5 \)
Tepe noktası parabolün üzerinde olduğu için koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(3) = -5 \)
\( 3^2 - 6(3) + n - 5 = -5 \)
\( n = 9 \)
\( m + n = 6 + 9 = 15 \) bulunur.
\( f(x) = 2(3x - 9)^2 + 6 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)
Verilen denklemi bu forma getirelim.
\( f(x) = 2(3x - 9)^2 + 6 \)
\( = 2[3(x - 3)]^2 + 6 \)
\( = 18(x - 3)^2 + 6 \)
Bu denkleme göre parabolün tepe noktası aşağıdaki gibi bulunur.
\( T(r, k) = T(3, 6) \)
Parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı \( 3 + 6 = 9 \) bulunur.
Tüm reel sayılarda tanımlı \( f(x) = x^2 + 4x + 2m - 3 \) parabolünün en küçük değeri \( -1 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBaşkatsayısı pozitif (kolları yukarı yönlü) olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(1)} = -2 \)
Parabol bu noktada en küçük değerini alır.
\( f(-2) = -1 \)
\( (-2)^2 + 4(-2) + 2m - 3 = -1 \)
\( 4 - 8 + 2m - 3 = -1 \)
\( m = 3 \) bulunur.
\( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( A = (2 - m)(m - 4) \) olduğuna göre, \( A \)'nın en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A = (2 - m)(m - 4) = -m^2 + 6m - 8 \)
Negatif başkatsayılı ikinci dereceden denklemin grafiği kolları aşağı yönlü bir paraboldür ve en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3 \)
Parabolün bu noktadaki değerini bulalım.
\( k = f(3) = -3^2 + 6(3) - 8 = 1 \)
Buna göre \( A \)'nın en büyük değeri 1'dir.
\( f(x) = (2x - 9)^2 + (7 - 2x)^2 \) parabolünün en küçük değeri nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki ifadelerin açılımını yazalım.
\( f(x) = 4x^2 - 36x + 81 + 49 - 28x + 4x^2 \)
\( = 8x^2 - 64x + 130 \)
Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 8, \quad b = -64, \quad c = 130 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-64}{2(8)} = 4 \)
Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.
\( k = f(4) \)
\( = 8(4)^2 - 64(4) + 130 = 2 \) bulunur.
\( x \) üye sayısı olmak üzere,
Bir spor salonunun bir yılda elde ettiği toplam kâr (bin TL olarak) aşağıdaki fonksiyonla ifade edilmektedir.
\( f(x) = 320x - 2400 - 8x^2 \)
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Kârın en yüksek olması için salonun 20 üyesi olmalıdır.
II. Salonun elde edebileceği en yüksek kâr 600 bin TL'dir.
III. Spor salonu 5 üyesi olduğunda zarar etmektedir.
Çözümü GösterI. öncül:
\( f \) parabolünün kolları aşağı yönlüdür, dolayısıyla fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = -8, \quad b = 320, \quad c = -2400 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{320}{2(-8)} = 20 \)
Buna göre, üye sayısı 20 olduğunda kâr en yüksek değerine ulaşır.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.
\( f(20) = 320(20) - 2400 - 8(20)^2 \)
\( = 6400 - 2400 - 3200 = 800 \)
Salonun elde edebileceği en yüksek kâr 800 bin TL'dir.
II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
\( x = 5 \) için fonksiyonun değerini bulalım.
\( f(5) = 320(5) - 2400 - 8(5)^2 \)
\( = 1600 - 2400 - 200 = -1000 \)
\( x = 5 \) için fonksiyonun değeri negatif olduğu için salon 5 üye ile zarar etmektedir.
III. öncül doğrudur.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Birim maliyeti \( x \) TL olan bir ürün \( y \) TL'ye satılmaktadır. \( x \) ve \( y \) arasındaki ilişki \( y = -x^2 + 17x + 25 \) şeklinde veriliyor.
Bu satıştan ürün başına elde edilebilecek maksimum kâr kaç TL'dir?
Çözümü GösterElde edilen kâr, satış ve alış fiyatları arasındaki farka eşittir.
\( y - x = -x^2 + 17x + 25 - x \)
\( = -x^2 + 16x + 25 \)
Buna göre bu ifadenin belirttiği fonksiyonun en büyük değerini bulmalıyız.
Fonksiyon negatif başkatsayılı ve kolları aşağı yönlü bir parabol olduğu için en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = -1, \quad b = 16, \quad c = 25 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{16}{2(-1)} = 8 \)
Buna göre parabol en büyük değerini \( r = 8 \) noktasında alır.
Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( k = f(8) \)
\( = -8^2 + 16(8) + 25 = 89 \) bulunur.
\( y = x^2 + (m + 1)x - m + 2 \) parabolünün en küçük değeri \( -12 \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü olan) bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır, dolayısıyla bu en küçük değer tepe noktasının ordinat değerine eşittir.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( k = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = -12 \)
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = m + 1, \quad c = -m + 2 \)
\( -\dfrac{(m + 1)^2 - 4(1)(-m + 2)}{4(1)} = -12 \)
\( -4m + 8 - m^2 - 2m - 1 = -48 \)
\( m^2 + 6m - 55 = 0 \)
\( (m + 11)(m - 5) = 0 \)
\( m = -11 \) ya da \( m = 5 \)
\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı \( -11 + 5 = -6 \) olarak bulunur.
\( y = x^2 - 2x + m \) parabolünün tepe noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı 3 birimdir.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2(1)} = 1 \)
Tepe noktasının \( x \) eksenine uzaklığı 3 birim ise tepe noktasının koordinatları \( T(1, 3) \) ya da \( T(1, -3) \) olur.
Her iki durum için \( m \) değerini bulalım.
Durum 1:
\( T(1, 3) \)
\( f(1) = 3 \)
\( 1^2 - 2(1) + m = 3 \)
\( m = 4 \)
Durum 2:
\( T(1, -3) \)
\( f(1) = -3 \)
\( 1^2 - 2(1) + m = -3 \)
\( m = -2 \)
Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı \( 4 \cdot (-2) = -8 \) olarak bulunur.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( A = 2x^2 + 12 \), \( B = 18x - x^2 \) olduğuna göre, \( A - B \) farkı en az kaçtır?
Çözümü Göster\( A - B \) farkını bulalım.
\( A - B = (2x^2 + 12) - (18x - x^2) \)
\( = 3x^2 - 18x + 12 \)
Pozitif başkatsayılı bu ikinci dereceden denklemin grafiği kolları yukarı yönlü bir paraboldür ve en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-18}{2(3)} = 3 \)
Parabolün bu noktadaki değerini bulalım.
\( k = f(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 12 = -15 \)
Buna göre \( A - B \) farkının en küçük değeri -15'tir.
\( f(x) = x^2 - 2mx + m + 6 \) parabolünün tepe noktası IV. bölgede olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değer nedir?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Tepe noktası IV. bölgede ise \( r \gt 0 \) ve \( k \lt 0 \) olmalıdır.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2(1)} = m \)
\( r \gt 0 \Longrightarrow m \gt 0 \)
Parabolün bu noktadaki değerini bulalım.
\( f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m + 6 \)
\( -m^2 + m + 6 \lt 0 \)
\( m^2 - m - 6 \gt 0 \)
\( (m + 2)(m - 3) \gt 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( m \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)
\( m \) için bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( m \)'nin en geniş değer aralığını verir.
\( m \gt 3 \)
Buna göre \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değer 4 olarak bulunur.
\( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x + 4)(m - x) \) fonksiyonunun en büyük değerinin 9'dan küçük olması için \( m \) hangi aralıkta olmalıdır?
Çözümü Göster\( f(x) = (x + 4)(m - x) \)
\( = -(x + 4)(x - m) \)
\( f \) fonksiyonu negatif başkatsayılı ve kökleri \( x = m \) ve \( x = -4 \) olan bir paraboldür.
Negatif başkatsayılı bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
Ayrıca bir parabolün tepe noktasının apsisi köklerin aritmetik ortalamasına eşittir.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = \dfrac{m + (-4)}{2} \)
Bu değeri fonksiyonda yerine koyup fonksiyonun aldığı en küçük değeri bulalım.
\( f\left( \dfrac{m - 4}{2} \right) = \left( m - \dfrac{m - 4}{2} \right) \left( \dfrac{m - 4}{2} + 4 \right) \)
\( = \dfrac{m + 4}{2} \cdot \dfrac{m + 4}{2} \)
\( = \dfrac{(m + 4)^2}{4} \)
Bu ifadenin değerinin 9'dan küçük olmasını istiyoruz.
\( \dfrac{(m + 4)^2}{4} \lt 9 \)
\( (m + 4)^2 \lt 36 \)
\( \abs{m + 4} \lt 6 \)
\( -6 \lt m + 4 \lt 6 \)
\( -10 \lt m \lt 2 \) bulunur.
Şekildeki \( f(x) \) ve \( g(x) \) parabolleri \( y \) ekseni üzerindeki \( C \) noktasında kesişmektedir.
\( f(x) = x^2 -(k + 3)x + 2k + 1 \)
\( g(x) = -x^2 -(3k + 1)x + 5k - 2 \)
Buna göre parabollerin tepe noktaları arasındaki \( \abs{AB} \) uzaklığı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) ve \( g \) parabolleri \( y \) eksenini aynı noktada kestiğine göre sabit terimleri eşittir.
\( 2k + 1 = 5k - 2 \)
\( k = 1 \)
\( f(x) = x^2 -4x + 3 \)
\( g(x) = -x^2 -4x + 3 \)
\( f \) parabolünün tepe noktasına \( A(r_1, k_1) \) diyelim.
\( r_1 = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2 \)
\( k_1 = f(2) = 2^2 -4(2) + 3 = -1 \)
\( A(2, -1) \)
\( g \) parabolünün tepe noktasına \( B(r_2, k_2) \) diyelim.
\( r_2 = -\dfrac{-4}{2(-1)} = -2 \)
\( k_2 = g(-2) = -(-2)^2 -4(-2) + 3 = 7 \)
\( B(-2, 7) \)
\( \abs{AB} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (7 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) bulunur.
\( (4x^2 + 11x + 9)^{-1} \) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (4x^2 + 11x + 9)^{-1} = \dfrac{1}{4x^2 + 11x + 9} \)
Paydadaki ifadenin deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 11^2 - 4(4)(9) = -23 \lt 0 \)
İfadenin başkatsayısı pozitif ve deltası sıfırdan küçük olduğu için ifade her \( x \) için pozitiftir.
Buna göre verilen ifade her \( x \) için pozitiftir ve ifadenin en büyük değerini alması için payda en küçük değerini almalıdır.
Paydadaki ifade başkatsayısı pozitif olan bir parabol olduğu için en küçük değerini tepe noktasında alır.
Paydadaki parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 4, \quad b = 11, \quad c = 9 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{11}{2(4)} = -\dfrac{11}{8} \)
Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.
\( k = f\left( -\dfrac{11}{8} \right) = 4\left( -\dfrac{11}{8} \right)^2 + 11\left( -\dfrac{11}{8} \right) + 9 \)
\( = \dfrac{121}{16} - \dfrac{121}{8} + 9 \)
\( = \dfrac{23}{16} \)
Paydanın en küçük değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{\frac{23}{16}} = \dfrac{16}{23} \) bulunur.
\( f(x) = a - 4 + 4x - x^2 \)
\( g(x) = 4 - 2a - 2ax + x^2 \) fonksiyonları veriliyor.
\( f \) fonksiyonunun en büyük değeri \( g \) fonksiyonunun en küçük değerinden küçük olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değer kaçtır?
Çözümü GösterHer iki fonksiyon da birer paraboldür.
Pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini, negatif başkatsayılı bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
\( f \) fonksiyonunu tam kareye tamamlayalım.
\( f(x) = a - (x^2 - 4x + 4) \)
\( = -(x - 2)^2 + a \)
Bu parabolün tepe noktası \( T_f(2, a) \) olup en büyük değeri \( a \) olur.
\( g \) fonksiyonunu tam kareye tamamlayalım.
\( g(x) = (x - a)^2 - 2a + 4 - a^2 \)
Bu parabolün tepe noktası \( T_g(a, -2a + 4 - a^2) \) olup en küçük değeri \( -2a + 4 - a^2 \) olur.
\( f \) fonksiyonunun en büyük değeri \( g \) fonksiyonunun en küçük değerinden küçüktür.
\( a \lt -2a + 4 - a^2 \)
\( a^2 + 3a - 4 \lt 0 \)
\( (a + 4)(a - 1) \lt 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( a \in (-4, 1) \)
\( a \)'nın en büyük tam sayı değeri 0 olarak bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^2 - 7x - 15 \) fonksiyonunun grafiği üzerinden alınan bir noktanın koordinatları toplamı en az kaç olabilir?
Çözümü GösterParabolün grafiği üzerinden alınan bir noktanın koordinatlarını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( (x, f(x)) = (x, x^2 - 7x - 15) \)
Buna göre belirli bir \( x \) değeri için \( f(x) \) parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatlar toplamını veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( g(x) = x + (x^2 - 7x - 15) \)
\( = x^2 - 6x - 15 \)
Başkatsayısı pozitif olan bu parabolün kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Buna göre \( x = 3 \) apsisli noktada \( f(x) \) grafiği üzerindeki noktaların koordinatları toplamı en küçük değerini alır.
Bu değeri bulmak için \( g(3) \) değerini hesaplayalım.
\( k = g(3) \)
\( = 3^2 - 6(3) - 15 = -24 \) bulunur.
\( y = x^2 + 5 \) ve \( y = -x^2 + 3x + 2 \) parabolleri arasındaki en kısa düşey mesafe kaç birimdir?
Çözümü GösterHerhangi bir \( x \) değeri için paraboller arasındaki dikey mesafe iki denklemin farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{x^2 + 5 - (-x^2 + 3x + 2)} = \abs{2x^2 - 3x + 3} \)
\( 2x^2 - 3x + 3 \) ifadesi başkatsayısı pozitif ve deltası negatif olan bir paraboldür.
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = -3, \quad c = 3 \)
\( \Delta = (-3)^2 - 4(2)(3) = -15 \lt 0 \)
Delta negatif olduğu için iki parabol arasındaki dikey mesafeyi veren parabol \( x \) eksenini kesmez, dolayısıyla tüm reel sayılarda pozitiftir ve en küçük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{2(2)} = \dfrac{3}{4} \)
İki parabol arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için fark fonksiyonunda \( x = \frac{3}{4} \) yazalım.
\( 2x^2 - 3x + 3 = 2\left( \dfrac{3}{4} \right)^2 - 3\left( \dfrac{3}{4} \right) + 3 \)
\( = \dfrac{15}{8} \) bulunur.
Parabolün Simetri Ekseni
Paraboller tepe noktasından geçen ve düşey olan bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya parabolün simetri ekseni denir.
Parabolün simetri ekseninin denklemi:
\( x = r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( f(x) = -2x^2 + 12x - 7 \)
\( r = -\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} = 3 \)
Parabolün simetri ekseni \( x = 3 \) doğrusudur.
Parabolün simetrisi gereği, \( x \) eksenine paralel doğruların parabolü kestiği noktaların orta noktaları her zaman simetri ekseni üzerinde bulunur. Bir diğer ifadeyle, bu iki noktanın apsislerinin aritmetik ortalaması \( r \)'ye eşittir.
\( a_1, a_2 \) herhangi bir yatay doğrunun parabolü kestiği noktalar,
\( x_1, x_2 \) parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar olmak üzere,
\( r = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
Parabol üzerinde simetri eksenine göre simetrik olan iki noktanın ordinatları eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani parabol üzerindeki iki farklı noktanın ordinatları eşitse bu noktalar simetri eksenine göre simetriktir.
Bunun bir sonucu olarak, tepe noktasının apsisine aynı reel sayı eklenip çıkarıldığında elde edilen fonksiyon değerleri birbirine eşit olur.
\( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(r + m) = f(r - m) \)
\( f \) parabolünün tepe noktası \( T(8, k) \) ise,
\( f(8 + 1000) = f(8 - 1000) \)
Benzer şekilde, \( x \) eksenini iki farklı noktada kesen bir parabolde bu noktaların ordinatları eşit olduğu için (\( f(x_1) = f(x_2) = 0 \)), bu noktalar da simetri eksenine göre simetriktir.
\( f(x) = 4x^2 - (2m + 1)x - 3 \) parabolünün simetri ekseni \( x = -1 \) doğrusu olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( -1 = -\dfrac{-(2m + 1)}{2(4)} \)
\( 2m + 1 = -8 \)
\( m = -\dfrac{9}{2} \) bulunur.
\( f(x) \) parabolü için \( f(\frac{1}{7}) = f(\frac{20}{7}) \) eşitliği sağlandığına göre, parabolün simetri ekseninin denklemi nedir?
Çözümü GösterBir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Benzer şekilde, bir parabol üzerindeki iki farklı noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşitse bu iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.
Verilen iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşit olduğu için bu iki nokta simetri eksenine göre simetrik noktalardır. Buna göre simetri ekseni bu iki noktanın orta noktasından geçer.
Parabolün simetri ekseni \( x = r \) olmak üzere,
\( r = \dfrac{\frac{1}{7} + \frac{20}{7}}{2} = \dfrac{3}{2} \)
Buna göre parabolün simetri ekseni \( x = \frac{3}{2} \) doğrusudur.
\( y = x^2 + mx + n \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur.
Parabolün en küçük değeri 6 olduğuna göre, parabol \( y \) eksenini hangi noktada keser?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( 2 = -\dfrac{m}{2(1)} \)
\( m = -4 \)
Simetri ekseni tepe noktasından geçtiği için tepe noktasının apsisi \( r = 2 \) olur.
Tepe noktası: \( T(2, k) \)
Pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinatı \( k = 6 \) olur.
Tepe noktası: \( T(2, 6) \)
Tepe noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyarak \( n \) değerini bulalım.
\( f(2) = 6 \)
\( 2^2 - 4(2) + n = 6 \)
\( n = 10 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( y = x^2 - 4x + 10 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyalım.
\( y(0) = 0^2 - 4(0) + 10 = 10 \) bulunur.
Buna göre parabol \( y \) eksenini \( (0, 10) \) noktasında keser.
\( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - (2m + 4)x + 4m + 7 \) fonksiyonu için \( f(-2) = f(8) \) eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre \( f(0) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Benzer şekilde, bir parabol üzerindeki iki farklı noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşitse bu iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.
Verilen iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşit olduğu için bu iki nokta simetri eksenine göre simetrik noktalardır. Buna göre simetri ekseni bu iki noktanın orta noktasından geçer.
\( r = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( 3 = -\dfrac{-(2m + 4)}{2(1)} \)
\( m = 1 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 6x + 11 \)
\( f(0) = 11 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde tepe noktası \( T(-6, k) \) olan \( f(x) \) parabolü verilmiştir.
Buna göre \( \dfrac{f(44) + f(2)}{f(-56) + f(-14)} \) oranı kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
Buna göre parabol grafiğinde \( x = r = -6 \) simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon değerleri birbirine eşit olur.
\( \dfrac{44 + (-56)}{2} = r = -6 \)
Buna göre \( x = 44 \) ve \( x = -56 \) apsisli noktalar simetri eksenine göre simetriktir. Bu değere \( a \) diyelim.
\( f(44) = f(-56) = a \)
\( \dfrac{2 + (-14)}{2} = r = -6 \)
Buna göre \( x = 2 \) ve \( x = -14 \) apsisli noktalar simetri eksenine göre simetriktir. Bu değere \( b \) diyelim.
\( f(2) = f(-14) = b \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{f(44) + f(2)}{f(-56) + f(-14)} \)
\( = \dfrac{a + b}{a + b} = 1 \) bulunur.
\( f(x) = -x^2 + 8x - 5 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{f(-1) - f(\sqrt{2} - 3)}{f(11 - \sqrt{2}) - f(9)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2(-1)} = 4 \)
Buna göre parabol grafiğinde \( x = r = 4 \) simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon değerleri birbirine eşit olur.
\( x = -1 \) ve \( x = 9 \) noktaları simetri eksenine göre simetrik olduğu için fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
\( \dfrac{-1 + 9}{2} = r = 4 \)
\( f(-1) = f(9) = a \)
Benzer şekilde, \( x = \sqrt{2} - 3 \) ve \( x = 11 - \sqrt{2} \) noktaları simetri eksenine göre simetrik olduğu için fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
\( \dfrac{\sqrt{2} - 3 + 11 - \sqrt{2}}{2} = r = 4 \)
\( f(\sqrt{2} - 3) = f(11 - \sqrt{2}) = b \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{f(-1) - f(\sqrt{2} - 3)}{f(11 - \sqrt{2}) - f(9)} \)
\( = \dfrac{a - b}{b - a} = -1 \) bulunur.
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 7 \) parabolünde \( f(a) = f(33) \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(2)} = 2 \)
Buna göre parabolün simetri ekseni \( x = r = 2 \) doğrusudur.
Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Benzer şekilde, bir parabolde \( f(a) = f(b) \) ise ya \( a = b \) olur ya da \( x = a \) ve \( x = b \) noktaları simetri eksenine göre simetriktir.
Verilen eşitlik için bu iki durumu inceleyelim.
\( f(a) = f(33) \)
Durum 1:
\( a = 33 \)
Durum 2:
Bu durumda \( x = a \) ve \( x = 33 \) noktaları simetri eksenine göre simetriktir.
\( \dfrac{a + 33}{2} = r = 2 \)
\( a = -29 \)
\( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamı \( 33 + (-29) = 4 \) olarak bulunur.
\( f(x) = x^2 - 6x + 13 \) parabolünde,
\( f(m - 5) = f(3m + 7) \)
\( f(8 - n) = f(4 - 2n) \)
olduğuna göre, \( mn \) çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Buna göre \( f(x) \) parabolünün simetri ekseni \( x = r = 3 \) doğrusudur.
Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Benzer şekilde, bir parabolde \( f(a) = f(b) \) ise ya \( a = b \) olur ya da \( x = a \) ve \( x = b \) noktaları simetri eksenine göre simetriktir.
Verilen birinci eşitlik için bu iki durumu inceleyelim.
\( f(m - 5) = f(3m + 7) \)
Durum 1:
\( m - 5 = 3m + 7 \)
\( m = -6 \)
Durum 2:
\( \dfrac{m - 5 + 3m + 7}{2} = 3 \)
\( m = 1 \)
Verilen ikinci eşitlik için bu iki durumu inceleyelim.
\( f(8 - n) = f(4 - 2n) \)
Durum 1:
\( 8 - n = 4 - 2n \)
\( n = -4 \)
Durum 2:
\( \dfrac{8 - n + 4 - 2n}{2} = 3 \)
\( n = 2 \)
Bulduğumuz farklı \( m \) ve \( n \) değerlerinin çarpımının en büyük değerini bulalım.
\( mn = -6 \cdot (-4) = 24 \) bulunur.
\( f(x) = -x^2 + bx + c \) parabolünde her \( m \) reel sayısı için \( f(-m + 3) = f(m + 3) \) eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre \( f(-1) \), \( f(2) \) ve \( f(5) \) değerlerini küçükten büyüğe sıralayın.
Çözümü GösterTepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolde her \( m \) reel sayısı için \( f(r - m) = f(r + m) \) eşitliği sağlanır. Bunun sebebi parabolün \( x = r \) simetri eksenine göre simetrik olması ve simetri ekseninden eşit uzaklıktaki noktaların fonksiyon değerlerinin aynı olmasıdır.
Verilen eşitliği düzenleyelim.
\( f(-m + 3) = f(m + 3) \)
\( f(3 - m) = f(3 + m) \)
Bir parabolde her \( m \) sayısı için \( f(3 - m) = f(3 + m) \) eşitliği sağlanıyorsa parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = r = 3 \) olur.
Verilen parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür. Parabol en büyük değerini tepe noktasında alır ve parabol üzerindeki bir noktanın apsis değeri \( x = 3 \) noktasından uzaklaştıkça fonksiyon değeri küçülür.
\( x = -1 \) noktası \( x = 3 \) noktasından en uzak, \( x = 2 \) noktası en yakındır. Buna göre istenen fonksiyon değerlerinin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( f(-1) \lt f(5) \lt f(2) \)
Bu noktalar aşağıdaki örnek negatif başkatsayılı parabolün grafiği üzerinde gösterilmiştir. Gerçek parabol grafiğinin eksenlere göre konumu ve kollarının açıklığı farklı olabilecek olsa da bu noktaların fonksiyon değerleri arasındaki sıralama değişmeyecektir.
