Parabolün Grafiği

Parabolün grafiği kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan ve tepe noktasından (\( T \)) geçen bir simetri eksenine göre simetrik bir eğridir.

Parabolün grafiği
Parabolün grafiği

Parabol grafiğindeki önemli noktalar şunlardır:

Parabolün Yönü

Parabolün kollarının yönü denklemin başkatsayısı olan \( a \) değerine bağlı olarak yukarı (\( a \gt 0 \)) ya da aşağı (\( a \lt 0 \)) yönlü olur.

Bir parabolde \( x \)'in tüm değerleri için \( x^2 \) ifadesi pozitif olduğu için, \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon değerinin işaretini belirleyen başkatsayının işareti olur. Dolayısıyla \( a \gt 0 \) ise \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon pozitif yönde, \( a \lt 0 \) ise negatif yönde büyür.

Parabolün yönü
Parabolün yönü
SORU:

\( y = (9 - m^2)x^2 - 4x + 3 \) parabolünün kolları yukarı doğru olduğuna göre, \( m \)'nin değer aralığı nedir?

Çözümü Göster

Parabolün Kolları

Başkatsayının işareti parabolün kollarının yönünü belirlerken mutlak değer olarak büyüklüğü de parabolün kollarının ne kadar açık ya da kapalı olduğunu belirler.

Aşağıdaki pozitif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayı değeri arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz. Her ne kadar başkatsayı değeri arttıkça kolların kapanması grafiğin üzerindeki noktaların \( y \) eksenine yaklaştığını düşündürtse de, belirli bir \( x \) değeri için fonksiyon daha büyük \( y \) değerleri üretmektedir, dolayısıyla noktalar \( x \) ekseninden uzaklaşmaktadır.

a'nın pozitif değerleri için parabolün kolları
a'nın pozitif değerleri için parabolün kolları

Aşağıdaki negatif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz.

a'nın negatif değerleri için parabolün kolları
a'nın negatif değerleri için parabolün kolları

Özet olarak, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kolları kapanır, azaldıkça açılır.

Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar

Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesebilir (I. parabol), bir noktada kesebilir (II. parabol) ya da kesmeyebilir (III. parabol). Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar aynı zamanda \( y = 0 \) denkleminin kökleridir. Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları önümüzdeki bölümlerde daha detaylı inceleyeceğiz.

Parabolün x eksenini kestiği noktalar
Parabolün x eksenini kestiği noktalar

Parabolün y Eksenini Kestiği Nokta

Bir parabol grafiği \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser. Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyduğumuzda mutlaka tek bir \( y \) değeri elde edeceğimiz için, parabolün \( y \) eksenini her zaman bir noktada keseceğini ve bu noktanın ordinat değerinin her zaman parabol denkleminin sabit terimi olan \( c \) olacağını görebiliriz.

Parabolün y eksenini kestiği nokta
Parabolün y eksenini kestiği nokta

Parabolün Tepe Noktası

Kolları yukarı yönlü parabollerin en küçük, aşağı yönlü parabollerin en büyük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve genellikle \( T(r, k) \) ile gösterilir.

Tepe noktası \( y \) değeri açısından bir parabolün dönüm noktasıdır. \( x \) değeri artarken kolları yukarı yönlü parabollerde \( y \) değeri tepe noktasına kadar azalırken, tepe noktasından itibaren artmaya başlar. Kolları aşağı yönlü parabollerde ise \( y \) değeri tepe noktasına kadar artarken tepe noktasından itibaren azalmaya başlar.

Kolları yukarı yönlü parabolün tepe noktası
Kolları yukarı yönlü parabolün tepe noktası
Kolları aşağı yönlü parabolün tepe noktası
Kolları aşağı yönlü parabolün tepe noktası

Bir parabolün tepe noktasının apsis ve ordinat değerlerini aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.

SORU:

\( f(x) = 4x^2 + mx - 3 \) fonksiyonunun grafiği \( A(-1, 9) \) noktasından geçiyorsa bu parabolün tepe noktası nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x^2 + 4x + 2m - 3 \) parabolünün alabileceği en küçük değer \( -1 \) ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = -(x + 2)^2 + 9 \) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( A = (2 - m)(m - 4) \) olduğuna göre, \( A \)'nın en büyük değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = x^2 + (m + 1)x - m + 2 \) parabolünün minimum değeri \( -12 \) olduğuna göre, \( m \) değerleri toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) bir reel sayı ve \( A = 7x^2 + 12 \), \( B = 12x + x^2 \) olduğuna göre, \( A - B \) farkı en az kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün Simetri Ekseni

Tüm parabol grafikleri parabolün tepe noktasından geçen ve \( y \) eksenine paralel bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya parabolün simetri ekseni denir ve denklemi \( x = r \)'dir.

Parabolün simetri ekseni
Parabolün simetri ekseni

Parabol grafiğinin herhangi bir noktasından \( x \) eksenine paralel doğrular çizdiğimizde, bu doğruların parabolü kestiği noktaların apsis değerlerinin orta noktası bize her zaman tepe noktasının apsis değerini verir.

Diğer bir ifadeyle, parabolün simetrisinin bir sonucu olarak, tepe noktasının apsis değerine herhangi bir gerçek sayı ekleyip çıkardığımızda elde edeceğimiz apsis değerlerinin parabol grafiğinde karşılık geleceği \( y \) değerleri birbirine eşit olur.

SORU:

\( f(x) = 4x^2 - (2m + 1)x - 3 \) parabolünün simetri ekseni \( x = -1 \) doğrusu olduğuna göre, \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = x^2 + mx + n \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur. Parabolün en küçük değeri 6 olduğuna göre, parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Parabol Tanımı
Sonraki »
Parabolün Tanım ve Görüntü Kümesi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır