Parabolün Grafiği
Parabolün grafiği kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan ve tepe noktasından (\( T \)) geçen bir simetri eksenine göre simetrik bir eğridir.
Parabol grafiğindeki önemli noktalar şunlardır:
\( T(r, k) \): Parabolün tepe noktası
\( A(x_1, 0) \) ve \( B(x_2, 0) \): Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar
\( C(0, c) \): Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta
Parabolün Yönü
Parabolün kollarının yönü denklemin başkatsayısı olan \( a \) değerine bağlı olarak yukarı (\( a \gt 0 \)) ya da aşağı (\( a \lt 0 \)) yönlü olur.
Bir parabolde \( x \)'in tüm değerleri için \( x^2 \) ifadesi pozitif olduğu için, \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon değerinin işaretini belirleyen başkatsayının işareti olur. Dolayısıyla \( a \gt 0 \) ise \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon pozitif yönde, \( a \lt 0 \) ise negatif yönde büyür.
\( f(x) = x^2 \)
\( f(100) = f(-100) = 10000 \)
\( g(x) = -x^2 \)
\( g(100) = g(-100) = -10000 \)
\( y = (9 - m^2)x^2 - 4x + 3 \) parabolünün kolları yukarı doğru olduğuna göre, \( m \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Parabolün Kolları
Başkatsayının işareti parabolün kollarının yönünü belirlerken mutlak değer olarak büyüklüğü de parabolün kollarının ne kadar açık ya da kapalı olduğunu belirler.
Aşağıdaki pozitif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayı değeri arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz. Her ne kadar başkatsayı değeri arttıkça kolların kapanması grafiğin üzerindeki noktaların \( y \) eksenine yaklaştığını düşündürtse de, belirli bir \( x \) değeri için fonksiyon daha büyük \( y \) değerleri üretmektedir, dolayısıyla noktalar \( x \) ekseninden uzaklaşmaktadır.
Aşağıdaki negatif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz.
Özet olarak, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kolları kapanır, azaldıkça açılır.
Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar
Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesebilir (I. parabol), bir noktada kesebilir (II. parabol) ya da kesmeyebilir (III. parabol). Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar aynı zamanda \( y = 0 \) denkleminin kökleridir. Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları önümüzdeki bölümlerde daha detaylı inceleyeceğiz.
Parabolün y Eksenini Kestiği Nokta
Bir parabol grafiği \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser. Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyduğumuzda mutlaka tek bir \( y \) değeri elde edeceğimiz için, parabolün \( y \) eksenini her zaman bir noktada keseceğini ve bu noktanın ordinat değerinin her zaman parabol denkleminin sabit terimi olan \( c \) olacağını görebiliriz.
\( y = 2x^2 - 3x + 5 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( y = 2(0)^2 - 3(0) + 5 = 5 \)
Parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
Parabolün Tepe Noktası
Kolları yukarı yönlü parabollerin en küçük, aşağı yönlü parabollerin en büyük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve genellikle \( T(r, k) \) ile gösterilir.
Tepe noktası \( y \) değeri açısından bir parabolün dönüm noktasıdır. \( x \) değeri artarken kolları yukarı yönlü parabollerde \( y \) değeri tepe noktasına kadar azalırken, tepe noktasından itibaren artmaya başlar. Kolları aşağı yönlü parabollerde ise \( y \) değeri tepe noktasına kadar artarken tepe noktasından itibaren azalmaya başlar.
Bir parabolün tepe noktasının apsis ve ordinat değerlerini aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( k = f(r) = \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)
\( f(x) = x^2 - 4x - 2 \)
\( r = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( k = f(2) = 2^2 - 4(2) - 2 = -6 \)
Buna göre tepe noktası \( T(2, -6) \) olur.
\( f(x) = 4x^2 + mx - 3 \) fonksiyonunun grafiği \( A(-1, 9) \) noktasından geçiyorsa bu parabolün tepe noktası nedir?
Çözümü Göster
\( f(x) = x^2 + 4x + 2m - 3 \) parabolünün alabileceği en küçük değer \( -1 \) ise \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( y = -(x + 2)^2 + 9 \) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Çözümü Göster
\( A = (2 - m)(m - 4) \) olduğuna göre, \( A \)'nın en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( y = x^2 + (m + 1)x - m + 2 \) parabolünün minimum değeri \( -12 \) olduğuna göre, \( m \) değerleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \) bir reel sayı ve \( A = 7x^2 + 12 \), \( B = 12x + x^2 \) olduğuna göre, \( A - B \) farkı en az kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün Simetri Ekseni
Tüm parabol grafikleri parabolün tepe noktasından geçen ve \( y \) eksenine paralel bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya parabolün simetri ekseni denir ve denklemi \( x = r \)'dir.
Parabolün simetri ekseni: \( x = r = -\dfrac{b}{2a} \)
Parabol grafiğinin herhangi bir noktasından \( x \) eksenine paralel doğrular çizdiğimizde, bu doğruların parabolü kestiği noktaların apsis değerlerinin orta noktası bize her zaman tepe noktasının apsis değerini verir.
\( r = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{a_1 + a_2}{2} \)
Diğer bir ifadeyle, parabolün simetrisinin bir sonucu olarak, tepe noktasının apsis değerine herhangi bir gerçek sayı ekleyip çıkardığımızda elde edeceğimiz apsis değerlerinin parabol grafiğinde karşılık geleceği \( y \) değerleri birbirine eşit olur.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(r + c) = f(r - c) \)
\( f(x_1) = f(x_2) = 0 \)
Bir parabolün tepe noktası \( T(8, k) \) ise,
\( f(8 + 1000) = f(8 - 1000) \)
\( f(x) = 4x^2 - (2m + 1)x - 3 \) parabolünün simetri ekseni \( x = -1 \) doğrusu olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( y = x^2 + mx + n \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur. Parabolün en küçük değeri 6 olduğuna göre, parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta nedir?
Çözümü Göster