Tüm polinom fonksiyonlarında olduğu gibi, parabol fonksiyonunu tanımsız yapan bir \( x \) değeri bulunmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Parabolün görüntü kümesi ise başkatsayısı pozitif (\( a \gt 0 \)) olan paraboller için tepe noktasının (\( T(r, k) \)) ordinat değerinden pozitif sonsuza, başkatsayısı negatif (\( a \lt 0 \)) olan paraboller için tepe noktasının ordinat değerinden negatif sonsuza kadar olan aralıktır.
Başkatsayı
Tanım Kümesi
Görüntü Kümesi
\( a \gt 0 \)
\( \mathbb{R} \)
\( [k, +\infty) \)
\( a \lt 0 \)
\( \mathbb{R} \)
\( (-\infty, k] \)
Aşağıda \( a \gt 0 \) ve \( a \lt 0 \) için örnek parabol grafikleri verilmiş ve tanım ve görüntü kümeleri grafik üzerinde işaretlenmiştir.
Parabolün tanım ve görüntü kümeleri (a > 0)
Parabolün tanım ve görüntü kümeleri (a < 0)
Bir parabolün değerinin her \( x \) değeri için pozitif/negatif/sıfır olduğu biliniyorsa başkatsayısı ve deltası ile ilgili olarak aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.
Grafik
Parabolün Konumu
Parabol değeri her zaman pozitif ise:
\( f(x) \gt 0 \)
Bu durumda başkatsayı pozitif, delta sıfırdan küçük olmalıdır.
\( a \gt 0 \)
\( \Delta \lt 0 \)
Parabol değeri her zaman sıfır ya da pozitif ise:
\( f(x) \ge 0 \)
Bu durumda başkatsayı pozitif, delta sıfıra eşit ya da sıfırdan küçük olmalıdır.
\( a \gt 0 \)
\( \Delta \le 0 \)
Parabol değeri her zaman negatif ise:
\( f(x) \lt 0 \)
Bu durumda başkatsayı negatif, delta sıfırdan küçük olmalıdır.
\( a \lt 0 \)
\( \Delta \lt 0 \)
Parabol değeri her zaman sıfır ya da negatif ise:
\( f(x) \le 0 \)
Bu durumda başkatsayı negatif, delta sıfıra eşit ya da sıfırdan küçük olmalıdır.
Buna göre tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içindedir.
Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür. Tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içinde olduğu için parabol en küçük değerini tepe noktasında, en büyük değerini verilen sınır değerlerinden birinde alır.
Bu üç noktadaki fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(2) = 2^2 - 4(2) - 2 = -6 \)
\( f(-2) = (-2)^2 - 4(-2) - 2 = 10 \)
\( f(8) = 8^2 - 4(8) - 2 = 30 \)
Buna göre parabolün \( [-2, 8] \) aralığında aldığı en küçük değer \( -6 \), en büyük değer \( 30 \)'dur.
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri de tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
Parabolün tepe noktası parabolün tanım aralığında olduğu ve parabolün başkatsayısı pozitif ve kolları yukarı yönlü olduğu için, parabol verilen aralıkta en küçük değerini tepe noktasında, en büyük değerini de sınır noktalarından birinde alır.
Parabolün bu üç noktadaki değerlerini bulalım.
\( f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5 \)
\( f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1 \)
\( f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 2 \)
Buna göre parabolün verilen aralıkta en küçük değeri \( f(2) = 1 \), en büyük değeri de \( f(0) = 5 \) olur.
Bu iki değerin toplamı \( 5 + 1 = 6 \) olarak bulunur.
Parabolün üzerindeki noktaların geometrik yerini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( (x, f(x)) = (x, x^2 - 7x - 15) \)
Herhangi bir \( x \) değeri için bu noktaların koordinatları toplamını veren fonksiyonun geometrik yerini ise bu noktaların apsis ve ordinat değerlerini toplayarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( (x, x + f(x)) = (x, x^2 - 6x - 15) \)
Buna göre bir \( x \) değeri için \( f(x) \) parabolünün koordinatlar toplamını veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( g(x) = x^2 - 6x - 15 \)
Başkatsayısı pozitif olan bu parabolün kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla en küçük değerini tepe noktasında alır.
