Parabolün Kökleri

Parabolün grafiği \( x \) eksenine teğet olduğuna göre, denklemin çakışık (çift katlı) iki reel kökü vardır ve deltası sıfırdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2m + 1 \)

\( (-4)^2 - 4(3)(2m + 1) = 0 \)

\( 16 - 24m - 12 = 0 \)

\( m = \dfrac{1}{6} \) bulunur.

Parabolün grafiği \( x \) eksenini iki noktada kestiğine göre, denklemin deltası sıfırdan büyüktür.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = m - 2 \)

\( (-4)^2 - 4(1)(m - 2) \gt 0 \)

\( 16 - 4m + 8 \gt 0 \)

\( m \lt 6 \) bulunur.

Parabolün grafiği \( x \) eksenini kesmediğine göre, denklemin deltası sıfırdan küçüktür.

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 3m \)

\( (-m)^2 - 4(1)(3m) \lt 0 \)

\( m^2 - 12m \lt 0 \)

\( m(m - 12) \lt 0 \)

\( 0 \lt m \lt 12 \) bulunur.

Parabolün tepe noktasının \( x \) ekseni üzerinde olması için parabolün grafiği \( x \) eksenine teğet olmalıdır, yani deltası sıfır olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(4m + 3), \quad c = 16 \)

\( [-(4m + 3)]^2 - 4(1)(16) = 0 \)

\( (4m + 3)^2 - 8^2 = 0 \)

Kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( (4m + 3 - 8)(4m + 3 + 8) = 0 \)

\( (4m - 5)(4m + 11) = 0 \)

Geçerli \( m \) değerleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

\( m \in \{-\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\} \)

\( -\dfrac{11}{4} + \dfrac{5}{4} = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(m - 4), \quad c = -2m - 1 \)

Parabolün tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olması için tepe noktasının apsis değeri, dolayısıyla \( b \) katsayısı 0 olmalıdır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( r = 0 \Longrightarrow b = 0 \)

\( -(m - 4) = 0 \Longrightarrow m = 4 \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = x^2 - 9 \)

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.

\( y = x^2 - 9 = 0 \)

\( (x - 3)(x + 3) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.

Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( \abs{x_2 - x_1} = \abs{3 - (-3)} = 6 \) olarak bulunur.

Parabolün kolları aşağı yönlü olduğu için başkatsayısı negatiftir.

\( -a \lt 0 \)

\( a \gt 0 \)

Tepe noktası III. bölgede yer aldığı için apsisi negatiftir.

\( -\dfrac{b}{2(-a)} \lt 0 \)

\( a \) pozitif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) negatif olmalıdır.

\( b \lt 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı negatif olduğu için denklemin sabit terimi de negatiftir.

\( -c \lt 0 \)

\( c \gt 0 \)

Parabol \( x \) eksenini kesmediği için deltası negatiftir.

\( \Delta \lt 0 \)

Bu bilgileri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( abc \lt 0 \)

\( a \) ve \( c \) pozitif, \( b \) negatif olduğu için \( abc \) çarpımı negatif olur.

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( \dfrac{b^2}{4} - ac \lt 0 \)

\( b^2 - 4ac \lt 0 \)

Eşitsizliğin sol tarafı parabolün deltasına eşittir.

\( \Delta \lt 0 \)

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

\( \dfrac{a}{c} \gt 0 \)

\( a \) ve \( c \) pozitif olduğu için \( \frac{a}{c} \) oranı da pozitif olur.

III. öncül doğrudur.

Buna göre öncüllerin tümü doğrudur.

Parabolün kolları yukarı yönlü olduğu için başkatsayısı pozitiftir.

\( a \gt 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı negatif olduğu için denklemin sabit terimi negatiftir.

\( c \lt 0 \)

Parabolün tepe noktası III. bölgede yer aldığından tepe noktasının apsisi negatiftir.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \lt 0 \)

\( a \) pozitif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) de pozitif olmalıdır.

\( b \gt 0 \)

Bu bilgileri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( a + b - c \gt 0 \)

\( a \) ve \( b \) pozitif, \( c \) negatif olduğundan \( a + b - c \) ifadesi pozitif olur.

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( abc \gt 0 \)

\( a \) ve \( b \) pozitif, \( c \) negatif olduğundan \( abc \) çarpımı negatif olur.

II. öncül yanlıştır.

III. öncül:

\( b^2 \gt 4a(c - b) \)

\( b^2 \gt 4ac - 4ab \)

\( b^2 - 4ac \gt -4ab \)

Eşitsizliğin sol tarafı parabolün deltasına eşittir.

\( \Delta \gt -4ab \)

\( a \) ve \( b \) pozitif olduğu için eşitsizliğin sağ tarafı negatiftir.

Parabol \( x \) eksenini iki farklı noktada kestiğinden deltası pozitiftir, dolayısıyla negatif bir sayıdan büyüktür.

III. öncül doğrudur.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.

Parabolün kolları aşağı yönlü olduğu için başkatsayısı negatiftir.

\( a \lt 0 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

Parabolün tepe noktası II. bölgede yer aldığına göre apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \lt 0 \)

\( a \) negatif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) de negatif olmalıdır.

\( b \lt 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı negatif olduğu için denklemin sabit terimi de negatiftir.

\( c \lt 0 \)

Parabol \( x \) eksenini iki farklı noktada kestiği için deltası pozitiftir.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

Bu bilgileri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( f(-\dfrac{b}{2a}) \lt 0 \)

\( -\frac{b}{2a} \) değeri tepe noktasının apsis değerine eşittir.

\( f(-\dfrac{b}{2a}) = f(r) = k \)

Parabolün tepe noktası II. bölgede yer aldığına göre bu noktada ordinatı pozitiftir.

I. öncül yanlıştır.

II. öncül:

\( bc \lt 0 \)

\( b \) ve \( c \) negatif olduğu için çarpımları pozitif olur.

II. öncül yanlıştır.

III. öncül:

\( \dfrac{ab}{c} \gt 0 \)

\( a \), \( b \) ve \( c \) negatif olduğundan bu ifade negatif olur.

III. öncül yanlıştır.

IV. öncül:

\( -a - b \lt 0 \)

\( -(a + b) \lt 0 \)

\( a + b \gt 0 \)

\( a \) ve \( b \) negatif olduğu için toplamları da negatiftir.

IV. öncül yanlıştır.

V. öncül:

\( \dfrac{b^2 - 4ac}{b} \lt 0 \)

\( \dfrac{\Delta}{b} \lt 0 \)

Parabolün deltası pozitif, \( b \) negatif olduğundan bu ifade negatif olur.

V. öncül doğrudur.

Buna göre sadece V. öncül doğrudur.

Parabolün kolları yukarı yönlü olduğu için başkatsayısı pozitiftir.

\( -a \gt 0 \)

\( a \lt 0 \)

Grafiğin tepe noktası IV. bölgede yer aldığından apsisi pozitiftir.

\( r = -\dfrac{b}{2(-a)} \gt 0 \)

\( a \) negatif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) de negatif olur.

\( b \lt 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı pozitif olduğu için denklemin sabit terimi de pozitiftir.

\( -c \gt 0 \)

\( c \lt 0 \)

Parabol \( x \) eksenini iki farklı noktada kestiği için deltası pozitiftir.

\( \Delta = b^2 - 4(-a)(-c) \)

\( = b^2 - 4ac \gt 0 \)

Bu bilgileri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( a + b + c \gt 0 \)

\( a, b, c \) negatif olduğu için toplamları da negatif olur.

I. öncül yanlıştır.

II. öncül:

\( \dfrac{abc}{\Delta} \lt 0 \)

\( a, b, c \) negatif olduğu için \( abc \) çarpımı da negatif olur. Delta pozitif olduğu için bu ifade negatif olur.

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

\( b \lt -2\sqrt{ac} \)

Parabolün deltası pozitiftir.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

\( b^2 \gt 4ac \)

İki tarafın karekökünü alalım.

\( \sqrt{b^2} \gt \sqrt{4ac} \)

\( \abs{b} \gt 2\sqrt{ac} \)

\( b \) negatiftir.

\( -b \gt 2\sqrt{ac} \)

\( b \lt -2\sqrt{ac} \)

III. öncül doğrudur.

Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 2, \quad b = -2k, \quad c = k - 3 \)

Parabolün grafiği daima \( x \) ekseninin altında kalıyorsa iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1:

Parabolün kolları aşağı yönlüdür (başkatsayısı negatiftir).

\( k + 2 \lt 0 \)

\( k \lt -2 \)

Koşul 2:

Parabol \( x \) eksenini hiçbir noktada kesmez (deltası sıfırdan küçüktür).

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-2k)^2 - 4(k + 2)(k - 3) \lt 0 \)

\( 4k^2 - 4(k^2 - k - 6) \lt 0 \)

\( 4k^2 - 4k^2 + 4k + 24 \lt 0 \)

\( k \lt -6 \)

Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( k \) değer aralığını verir.

\( k \lt -6 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2n + 2, \quad b = -4n, \quad c = 2n + 1 \)

Parabol \( x \) ekseninin daima üstünde kalıyorsa iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1:

Parabolün kolları yukarı yönlü, yani başkatsayısı pozitif olmalıdır.

\( 2n + 2 \gt 0 \)

\( n \gt -1 \)

Koşul 2:

Parabol \( x \) eksenini hiçbir noktada kesmemelidir, yani deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-4n)^2 - 4(2n + 2)(2n + 1) \lt 0 \)

\( 16n^2 - 4(4n^2 + 6n + 2) \lt 0 \)

\( 16n^2 - 16n^2 - 24n - 8 \lt 0 \)

\( n \gt -\dfrac{1}{3} \)

Bulunan iki aralığın kesişim kümesi \( n \) değer aralığını verir.

\( n \in (-\dfrac{1}{3}, \infty) \) bulunur.

1. yöntem:

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için diskriminant formülünü kullanalım.

\( f(x) = x^2 + 4x - 4 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 4^2 - 4(1)(-4) = 32 \)

\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( = \dfrac{-4 \pm \sqrt{32}}{2(1)} \)

\( = -2 \pm 2\sqrt{2} \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x_1 = -2 - 2\sqrt{2} \) ve \( x_2 = -2 + 2\sqrt{2} \) noktalarında keser.

Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.

\( \abs{x_2 - x_1} = \abs{-2 + 2\sqrt{2} - (-2 - 2\sqrt{2})} \)

\( = 4\sqrt{2} \)

2. yöntem:

İkinci dereceden bir denklemin kökler farkının mutlak değeri bu iki nokta arasındaki uzaklığı verir.

Kökler farkının mutlak değeri formülünü kullanalım.

\( \abs{x_2 - x_1} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{32}}{\abs{1}} = 4\sqrt{2} \)

\( \abs{AO} = m \) diyelim.

\( \abs{OB} = 5\abs{AO} = 5m \)

\( \abs{AB} = m + 5m = 6m \)

Parabolün simetri ekseninin parabol üzerinde ordinatı aynı olan noktalara yatay uzaklığı eşittir.

\( \abs{AC} = \abs{CB} = \dfrac{6m}{2} = 3m \)

\( \abs{OC} = 3m - m = 2m = 4 \)

\( m = 2 \) bulunur.

Buradan \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis değerlerini aşağıdaki gibi buluruz.

\( A(-m, 0) = A(-2, 0) \)

\( B(5m, 0) = B(10, 0) \)

\( A \) ve \( B \) noktalarının apsislerinin çarpımı \( -2 \cdot 10 = -20 \) olarak bulunur.

Parabolün denklemini aşağıdaki şekilde yazalım.

\( a, b, c \in \mathbb{R} - \{0\} \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Parabolün katsayılar toplamı, kökler toplamı ve kökler çarpımı birbirine eşittir.

\( a + b + c = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)

İlk önce kökler toplamı ve çarpımını birbiriyle karşılaştıralım.

\( -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)

\( -b = c \)

Şimdi katsayılar toplamı ile kökler çarpımını karşılaştıralım.

\( a + b + c = \dfrac{c}{a} \)

\( a + b - b = \dfrac{c}{a} \)

\( a^2 = c \)

\( -b = c \) eşitliğini kullanalım.

\( -a^2 = b \)

Fonksiyon tanımındaki katsayıları \( a \) cinsinden yazalım.

\( f(x) = ax^2 - a^2x + a^2 \)

\( f(2) \) değerini kullanarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(2) = a(2)^2 - a^2(2) + a^2 = 4 \)

\( a^2 - 4a + 4 = 0 \)

\( (a - 2)^2 = 0 \)

\( a = 2 \)

Parabol denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \)

\( f(1) \) değerini bulalım.

\( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 4 = 2 \) bulunur.

Parabolün kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5 \)

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{AB} = \abs{x_1 - x_2} = 1 \)

\( x_1 \)'i büyük kök olarak kabul edelim.

\( x_1 - x_2 = 1 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi çözersek aşağıdaki kök değerlerini buluruz.

\( x_1 = -2, \quad x_2 = -3 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı parabolün sabit terimi olan \( c \)'ye eşittir.

Kökler çarpımı formülünü kullanarak \( c \) değerini bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( -3 \cdot (-2) = c \)

\( c = 6 \) bulunur.

Tüm reel sayılarda \( f(x) \le 0 \) olduğuna göre, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve başkatsayısı negatiftir.

\( f(3) = 0 \) olduğuna göre parabol \( x \) eksenini kesmektedir. \( f(x) \le 0 \) olduğu için parabol pozitif değer almaz, yani \( x \) eksenini teğet keser, dolayısıyla \( x = 3 \) noktasında çift katlı bir kökü vardır.

Buna göre fonksiyonun denklemi aşağıdaki formda olur.

\( f(x) = a(x - 3)^2 \)

\( a \) değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.

\( f(8) = a(8 - 3)^2 = -20 \)

\( a = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac{4}{5} \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -\dfrac{4}{5}(x - 3)^2 \)

\( f(-7) \) değerini bulmak için \( x = -7 \) yazalım.

\( f(-7) = -\dfrac{4}{5}(-7 - 3)^2 \)

\( = -80 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = -m, \quad c = -n \)

Kökler toplamı formülünü yazalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -m \)

Kökler çarpımı formülünü yazalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = n \)

\( x_1 + x_2 = 4x_1 \cdot x_2 \) olarak veriliyor.

\( -m = 4n \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı aynı zamanda parabolün sabit terimine eşittir.

\( -n = -6 \)

\( n = 6 \)

\( m = -4n = -24 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -x^2 + 24x - 6 \)

Negatif başkatsayılı parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{24}{2(-1)} = 12 \)

\( k = f(12) = -12^2 + 24(12) - 6 \)

\( = 138 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = 30, \quad c = 5 - 2m \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{30}{2(-1)} = 15 \)

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalara \( A(a, 0) \) ve \( B(b, 0) \) diyelim.

\( 7a = 3b \) olduğuna göre, \( a = 3k \) ve \( b = 7k \) diyelim.

Bu iki noktanın apsis değerlerinin ortalaması tepe noktasının apsis değerini verir.

\( \dfrac{3k + 7k}{2} = 15 \)

\( k = 3 \)

\( A(3k, 0) = A(9, 0) \)

\( A \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.

\( f(9) = -9^2 + 30(9) + 5 - 2m = 0 \)

\( 194 - 2m = 0 \)

\( m = 97 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = 2m, \quad c = 12 \)

Parabolün köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim ve \( x_2 \)'yi büyük kök olarak kabul edelim.

Kökler toplamı formülünü yazalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -2m \)

\( \abs{AB} = 4 \) olarak veriliyor.

\( x_2 = x_1 + 4 \)

\( x_1 + x_1 + 4 = -2m \)

\( 2x_1 + 4 = -2m \)

Kökler çarpımı formülünü yazalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 12 \)

\( x_1 \cdot (x_1 + 4) = 12 \)

\( x_1^2 + 4x_1 - 12 = 0 \)

\( (x_1 + 6)(x_1 - 2) = 0 \)

Kökler \( x \) ekseninin pozitif tarafında olduğu için işaretleri pozitiftir, dolayısıyla \( x_1 = 2 \) olur.

\( x_2 = x_1 + 4 = 6 \)

\( -2m = x_1 + x_2 = 8 \)

\( m = -4 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \)

\( f(-3) \) değerini bulalım.

\( f(-3) = (-3)^2 - 8(-3) + 12 = 45 \) bulunur.

Merkezi orijinde olan \( ABCD \) karesinin köşegen uzunluğuna \( 2k \) diyelim.

Karenin alanı bir köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

\( A = \dfrac{(2k)^2}{2} = 16 \)

\( k = \pm 2\sqrt{2} \)

Buna göre karenin \( x \) ekseni üzerindeki iki köşesinin (dolayısıyla parabolün köklerinin) koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( B(-2\sqrt{2}, 0), \quad D(2\sqrt{2}, 0) \)

\( x \) eksenini \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) noktalarında kesen parabolün denklemini aşağıdaki formda yazabiliriz.

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

\( f(x) = a(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \)

\( O \) noktası karenin köşegenlerinin kesişim noktasıdır, dolayısıyla karenin köşelerinin orijine uzaklıkları birbirine eşittir.

\( A(0, 2\sqrt{2}) \)

\( A \) noktası parabolün üzerinde olduğu için koordinatları parabol denklemini sağlar.

\( f(0) = a(0 - 2\sqrt{2})(0 + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \)

\( a(-2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \)

\( a = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4} \)

Parabol denklemi aşağıdaki gibi bulunur.

\( f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \)

Fonksiyon tanımını aşağıdaki şekilde yazalım.

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Fonksiyonda \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1) = a + b + c = 8 \)

Fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.

\( f(2) = 4a + 2b + c = 2 \)

\( b \) ifadesini \( a \) cinsinden ifade etmek için birinci denklemi ikinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( 3a + b = -6 \)

\( b = -(3a + 6) \)

\( c \) ifadesini \( a \) cinsinden ifade etmek için birinci denklemin taraflarını 2 ile çarpıp ikinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( 2a - c = -14 \)

\( c = 2a + 14 \)

\( b \) ve \( c \) ifadelerini fonksiyon tanımında yerine koyalım.

\( f(x) = ax^2 - (3a + 6)x + 2a + 14 \)

Her \( x \) için \( f(x) \ge 0 \) olduğuna göre iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1:

Parabolün kolları yukarı yönlüdür (başkatsayısı pozitiftir).

\( a \gt 0 \)

Koşul 2:

Parabol \( x \) eksenini ya tek noktada keser ya da kesmez (deltası sıfıra eşit ya da sıfırdan küçüktür).

\( \Delta = b^2 - 4ac \le 0 \)

\( [-(3a + 6)]^2 - 4a(2a + 14) \le 0 \)

\( 9a^2 + 36a + 36 - 8a^2 - 56a \le 0 \)

\( a^2 - 20a + 36 \le 0 \)

\( (a - 2)(a - 18) \le 0 \)

Bu eşitsizlik \( a \in [2, 18] \) aralığında sağlanır.

Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( a \) değer aralığını verir.

\( a \in [2, 18] \) bulunur.

\( f(x) \) parabolünün \( x \) eksenini hangi noktalarda kestiğini bulmak için köklerini bulalım.

\( -x^2 - 8x - 7 = 0 \)

\( -(x + 7)(x + 1) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -7 \) ve \( x = -1 \) noktalarında keser.

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazalım.

\( f(0) = -0^2 - 8(0) - 7 = -7 \)

Buna göre parabol \( y \) eksenini \( (0, -7) \) noktasında keser.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = -8, \quad c = -7 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(-1)} = -4 \)

\( k = f(r) \)

\( = -(-4)^2 - 8(-4) - 7 = 9 \)

\( T(r, k) = T(-4, 9) \)

Parabolün tepe noktasını ve eksenleri kestiği üç noktayı analitik düzlemde çizelim.

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalara \( A \) ve \( B \), \( y \) eksenini kestiği noktaya \( C \) diyelim.

Bu noktaların oluşturduğu dörtgenin alanı \( ABT \) ve \( ABC \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

\( A(TACB) = A(TAB) + A(ACB) \)

\( A(TAB) = \dfrac{\abs{AB} \cdot h}{2} \)

\( = \dfrac{6 \cdot 9}{2} = 27 \)

\( A(ACB) = \dfrac{\abs{AB} \cdot h'}{2} \)

\( = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21 \)

\( A(TACB) = A(TAB) + A(ACB) \)

\( = 27 + 21 = 48 \) bulunur.

\( f \) parabolünün \( A \) noktasındaki köküne \( x_1 \), \( B \) noktasındaki köküne \( x_2 \), \( g \) parabolünün \( C \) noktasındaki köküne \( x_3 \) diyelim.

\( f \) ve \( g \) parabolleri \( A \) noktasında kesişmektedir. Bu durumda \( x_1 \) kökleri iki parabol için ortaktır.

\( \abs{BC} \) uzunluğunu kökler cinsinden ifade edelim.

\( \abs{BC} = x_3 - x_2 \)

\( x_3 - x_2 \) değerini iki parabolün kökler toplamı cinsinden yazalım.

\( x_3 - x_2 = (x_1 + x_3) - (x_1 + x_2) \)

\( x_1 + x_3 \) ifadesi \( g \) parabolünün, \( x_1 + x_2 \) ifadesi \( f \) parabolünün kökler toplamına eşittir.

Parabollerin denklemlerinde kökler toplamı formülünü kullanarak bu değerleri bulalım.

\( f \) parabolünün kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b - 2}{1} \)

\( = 2 - b \)

\( g \) parabolünün kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_3 = -\dfrac{-(2b - 6)}{-2} \)

\( = 3 - b \)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.

\( \abs{BC} = (x_1 + x_3) - (x_1 + x_2) \)

\( = 3 - b - (2 - b) = 1 \) bulunur.