Tam Kareye Tamamlama
\( ax^2 + bx + c \) formundaki ikinci dereceden bir ifadeyi \( a(x - r)^2 + k \) formuna dönüştürme işlemine tam kareye tamamlama denir. Bu ikinci formun temel özelliği, \( x \) değişkeninin ifadede bir kez yer almasıdır. Bu özellik, bir sonraki bölümde inceleyeceğimiz farklı uygulamalara imkan verir.
Bu yöntemi \( a \) başkatsayısının 1 olduğu ve 1'den farklı olduğu iki durum için ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( a = 1 \)
İki terimli bir ifadenin karesinin açılımını aşağıdaki şekilde öğrenmiştik.
\( (x + m)^2 = \textcolor{red}{x^2 + 2mx} + m^2 \)
\( (x - m)^2 = \textcolor{red}{x^2 - 2mx} + m^2 \)
Buna göre, \( x^2 + 2mx \) ya da \( x^2 - 2mx \) formundaki iki terimli bir ifadeyi "tam kareye tamamlamak" için eksik olan üçüncü terim, iki durumda da \( x \)'li terimin katsayısının (\( 2m \) ve \( -2m \)) yarısının karesidir (\( m^2 \)).
Buna göre, başkatsayısı 1 olan \( x^2 + bx + c \) formundaki bir ikinci dereceden ifadenin ilk iki terimini tam kareye tamamlamak için, ifadeye \( x \)'li terimin katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarılır.
\( x^2 + bx + c \) ifadesini tam kareye tamamlamak için gerekli adımları listeleyelim.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( b \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = x^2 + \textcolor{green}{bx} + c + \textcolor{red}{\left( \dfrac{b}{2} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{b}{2} \right)^2} \)
\( bx \) terimini ve terimlerin sıralamasını düzenleyelim.
\( = \left[ x^2 + \textcolor{green}{2\left( \dfrac{b}{2} \right)x} + \textcolor{red}{\left( \dfrac{b}{2} \right)^2} \right] + c - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{b}{2} \right)^2} \)
Parantez içi iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = \left( x + \dfrac{b}{2} \right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4} \)
Elde ettiğimiz ifade \( a(x - r)^2 + k \) formundadır.
\( a = 1 \)
\( r = -\dfrac{b}{2} \)
\( k = c - \dfrac{b^2}{4} \)
\( a = 1 \) olduğu durum için tam kareye tamamlama yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( x^2 - 18x + 13 \) ifadesini tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -18 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 18x + 13 = x^2 - 18x + 13 + \textcolor{red}{(-9)^2} - \textcolor{blue}{(-9)^2} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( = (x^2 - 18x + \textcolor{red}{81}) + 13 - \textcolor{blue}{81} \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = (x - 9)^2 - 68 \)
\( x^2 + bx + c \) ifadesini tam kareye tamamlama işlemi geometrik olarak aşağıda şekilde düşünülebilir. Aşağıdaki gösterimde \( b \gt 0 \) kabul edilmiştir, bununla birlikte tam kareye tamamlama işlemi \( b \)'nin negatif olduğu durumlarda aynı şekilde uygulanabilir.
- \( x^2 \) terimini bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan bir kare, \( bx \) terimini de kenar uzunlukları \( b \) ve \( x \) birim olan bir dikdörtgen olarak düşünelim.
- \( bx \) dikdörtgenini \( b \) kenarı üzerinden dikey bir doğru ile iki eşit parçaya bölelim ve \( x^2 \) karesinin sağına ve altına yerleştirelim.
- Görselde görülebileceği üzere, şekli bir kareye tamamlamak için eklenmesi gereken parça bir kenar uzunluğu \( \frac{b}{2} \) birim, yani alanı \( (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4} \) birimkare olan bir karedir.
- Şekil bu şekilde kareye tamamlandığında karenin alanı \( (x + \frac{b}{2})^2 \) olur.
- Başlangıçtaki ifadenin değerinin aynı kalması için, eklenen küçük karenin alanı toplam ifadeden çıkarılır. Bu durumda tam kare dışındaki terim \( c - \frac{b^2}{4} \) olur.
Durum 2: \( a \ne 1 \)
Başkatsayısı 1'den farklı olan \( ax^2 + bx + c \) formundaki bir ifadeyi tam kareye tamamlamak için önce \( x \)'li terimler \( a \) parantezine alınır, ardından parantez içindeki ifade \( a = 1 \) durumu için kullandığımız yöntemle tam kareye tamamlanır.
\( a \ne 1 \) olduğu durum için tam kareye tamamlama yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( 3x^2 - 12x + 17 \) ifadesini tam kareye tamamlayalım.
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 3 \)) parantezine alalım.
\( 3x^2 - 12x + 17 = 3(x^2 - 4x) + 17 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -4 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 3(x^2 - 4x + \textcolor{red}{(-2)^2} - \textcolor{blue}{(-2)^2}) + 17 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 3 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 3(x^2 - 4x + \textcolor{red}{4}) - 3 \cdot \textcolor{blue}{4} + 17 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 3(x - 2)^2 + 5 \)
Tam kareye tamamlama yönteminin nasıl türetildiğinin anlaşılması önemlidir, bununla birlikte işlemi daha hızlı uygulamak için aşağıdaki formüllerden de yararlanılabilir.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c = a(x - r)^2 + k \)
Yukarıda soldaki üç terimli ifade, \( r \) ve \( k \) parametreleri aşağıdaki formüllerle hesaplanarak sağdaki tam kare formuna getirilebilir.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( k = c - \dfrac{b^2}{4a} \)
Bu formülleri yukarıdaki \( 3x^2 - 12x + 17 \) ifadesine uyguladığımızda aynı sonucu elde edeceğimizi teyit edelim.
\( a = 3, \quad b = -12, \quad c = 17 \)
\( r = -\dfrac{-12}{2 \cdot 3} = 2 \)
\( k = 17 - \dfrac{(-12)^2}{4 \cdot 3} = 5 \)
\( a(x - r)^2 + k = 3(x - 2)^2 + 5 \)
İSPATI GÖSTER
1. yöntem:
Aşağıdaki gibi bir ikinci dereceden ifade tanımlayalım.
\( ax^2 + bx + c \)
Bu ifadeyi dönüştürmek istediğimiz ifade aşağıdaki formdadır.
\( a(x - r)^2 + k = ax^2 - 2arx + ar^2 + k \)
Bu iki ifadenin özdeş olması istendiğine göre, ifadeleri birbirine eşitleyebiliriz.
\( ax^2 + bx + c = ax^2 - 2arx + ar^2 + k \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( b = -2ar \) için:
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( c = ar^2 + k \) için:
\( k = c - ar^2 \)
Bulduğumuz \( r \) değerini yerine koyalım.
\( = c - a\left( -\dfrac{b}{2a} \right)^2 \)
\( = c - \dfrac{b^2}{4a} \)
2. yöntem:
Aşağıdaki gibi bir ikinci dereceden ifade tanımlayalım.
\( ax^2 + bx + c \)
İlk iki terimi \( a \) parantezine alalım.
\( = a\left( x^2 + \dfrac{b}{a}x \right) + c \)
Parantez içindeki iki terimi \( (x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2 \) özdeşliğinin açılımındaki ilk iki terime benzetirsek, parantez içini tam kare bir ifadenin açılımı formuna getirmek için parantez içine üçüncü terim olarak ikinci terimin katsayısının yarısının karesi eklenmelidir. Eşitliğin bozulmaması için de bu terimin \( a \) katsayısı ile çarpımı parantez dışında ifadeden çıkarılmalıdır.
\( = a\left( x^2 + \dfrac{b}{a}x + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right) - \dfrac{b^2}{4a} + c \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = a\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a} \)
\( r \) ve \( k \) parametrelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( k = c - \dfrac{b^2}{4a} \)
Bu parametreleri yerlerine koyduğumuzda aşağıdaki formu elde ederiz.
\( = a(x - r)^2 + k \)
\( a = 1 \) olduğunda bu formüller aşağıdaki gibi sadeleşir.
\( a = 1 \) olmak üzere,
\( x^2 + bx + c = (x - r)^2 + k \)
\( r = -\dfrac{b}{2} \)
\( k = c - \dfrac{b^2}{4} \)
Bu formülleri yukarıdaki \( x^2 - 18x + 13 \) ifadesine uyguladığımızda aynı sonucu elde edeceğimizi teyit edelim.
\( a = 1, \quad b = -18, \quad c = 13 \)
\( r = -\dfrac{-18}{2} = 9 \)
\( k = 13 - \dfrac{(-18)^2}{4} = -68 \)
\( (x - r)^2 + k = (x - 9)^2 - 68 \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri tam kareye tamamlayınız.
(a) \( x^2 - 8x - 73 \)
(b) \( x^2 + x - 4 \)
(c) \( x^2 - 5x + 3 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x^2 - 8x - 73 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -8 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 8x - 73 = x^2 - 8x - 73 + \textcolor{red}{(-4)^2} - \textcolor{blue}{(-4)^2} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( = (x^2 - 8x + \textcolor{red}{16}) - 73 - \textcolor{blue}{16} \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = (x - 4)^2 - 89 \)
(b) seçeneği:
\( x^2 + x - 4 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( 1 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + x - 4 = x^2 + x - 4 + \textcolor{red}{\left( \dfrac{1}{2} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{1}{2} \right)^2} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( = \left( x^2 + x + \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \right) - 4 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = \left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{17}{4} \)
(c) seçeneği:
\( x^2 - 5x + 3 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -5 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 5x + 3 = x^2 - 5x + 3 + \textcolor{red}{\left( -\dfrac{5}{2} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( -\dfrac{5}{2} \right)^2} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( = \left( x^2 - 5x + \textcolor{red}{\dfrac{25}{4}} \right) + 3 - \textcolor{blue}{\dfrac{25}{4}} \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = \left( x - \dfrac{5}{2} \right)^2 - \dfrac{13}{4} \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri tam kareye tamamlayınız.
(a) \( 2x^2 + 12x - 5 \)
(b) \( 3x^2 - 2x - 7 \)
(c) \( 4x^2 - 32x - 61 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2x^2 + 12x - 5 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 2 \)) parantezine alalım.
\( 2x^2 + 12x - 5 = 2(x^2 + 6x) - 5 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( 6 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 2(x^2 + 6x + \textcolor{red}{3^2} - \textcolor{blue}{3^2}) - 5 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 2 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 2(x^2 + 6x + \textcolor{red}{9}) - 2 \cdot \textcolor{blue}{9} - 5 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 2(x + 3)^2 - 23 \)
(b) seçeneği:
\( 3x^2 - 2x - 7 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 3 \)) parantezine alalım.
\( 3x^2 - 2x - 7 = 3\left( x^2 - \dfrac{2}{3}x \right) - 7 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -\frac{2}{3} \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 3\left( x^2 - \dfrac{2}{3}x + \textcolor{red}{\left( -\dfrac{1}{3} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( -\dfrac{1}{3} \right)^2} \right) - 7 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 3 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 3\left( x^2 - \dfrac{2}{3}x + \textcolor{red}{\dfrac{1}{9}} \right) - 3 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{9}} - 7 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 3\left( x - \dfrac{1}{3} \right)^2 - \dfrac{22}{3} \)
(c) seçeneği:
\( 4x^2 - 32x - 61 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 4 \)) parantezine alalım.
\( 4x^2 - 32x - 61 = 4(x^2 - 8x) - 61 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -8 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 4(x^2 - 8x + \textcolor{red}{(-4)^2} - \textcolor{blue}{(-4)^2}) - 61 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 4 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 4(x^2 - 8x + \textcolor{red}{16}) - 4 \cdot \textcolor{blue}{16} - 61 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 4(x - 4)^2 - 125 \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri tam kareye tamamlayınız.
(a) \( -x^2 + 4x - 19 \)
(b) \( -2x^2 - 3x + 1 \)
(c) \( -5x^2 + 30x - 16 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -x^2 + 4x - 19 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -1 \)) parantezine alalım.
\( -x^2 + 4x - 19 = -(x^2 - 4x) - 19 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -4 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -(x^2 - 4x + \textcolor{red}{(-2)^2} - \textcolor{blue}{(-2)^2}) - 19 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -1 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -(x^2 - 4x + \textcolor{red}{4}) - (-1) \cdot \textcolor{blue}{4} - 19 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -(x - 2)^2 - 15 \)
(b) seçeneği:
\( -2x^2 - 3x + 1 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -2 \)) parantezine alalım.
\( -2x^2 - 3x + 1 = -2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x \right) + 1 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( \frac{3}{2} \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x + \textcolor{red}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^2} \right) + 1 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -2 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x + \textcolor{red}{\dfrac{9}{16}} \right) - (-2) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{9}{16}} + 1 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -2\left( x + \dfrac{3}{4} \right)^2 + \dfrac{17}{8} \)
(c) seçeneği:
\( -5x^2 + 30x - 16 \)
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -5 \)) parantezine alalım.
\( -5x^2 + 30x - 16 = -5(x^2 - 6x) - 16 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -6 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -5(x^2 - 6x + \textcolor{red}{(-3)^2} - \textcolor{blue}{(-3)^2}) - 16 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -5 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -5(x^2 - 6x + \textcolor{red}{9}) - (-5) \cdot \textcolor{blue}{9} - 16 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -5(x - 3)^2 + 29 \)