İkinci dereceden denklemlerin kökleri ve katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
Kökler toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Kökler çarpımı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Kökler farkının pozitif değeri aşağıdaki formülle bulunur.
Kökler \( y \) eksenine göre simetrik ise kökler toplamı, dolayısıyla denklemin \( b \) katsayısı sıfır olur.
Köklerin kareleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
Köklerin küpleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
Yukarıda paylaştığımız formüller aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Kökleri bilinen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
Bu denklemin tüm terimlerinin bir \( a \) başkatsayısı ile çarpımı sonucunda oluşan tüm denklemlerin kökleri aynı \( x_1 \) ve \( x_2 \) değerleri olur.
Buna göre, ikinci dereceden iki denklemin kökleri birbirine eşitse bu iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşittir. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani ikinci dereceden iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşitse bu iki denklemin kökleri birbirine eşittir.
SORU 1:
\( 3x^2 - (p - 2)x + k + 4 = 0 \) denkleminin kökleri -2 ve 3 olduğuna göre \( p \cdot k \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 3 \) ise denklemin kökler toplamı ve çarpımını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( -2 + 3 = -\dfrac{-(p - 2)}{3} \)
\( p - 2 = 3 \)
\( p = 5 \)
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( -2 \cdot 3 = \dfrac{k + 4}{3} \)
\( k + 4 = -18 \)
\( k = -22 \)
\( p \cdot k = 5 \cdot (-22) = -110 \) bulunur.
SORU 2:
\( (2a + 5)x^2 + (4a - 3)x + (4 - a) = 0 \)
denkleminin kökler toplamı \( -3 \) ise kökler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{4a - 3}{2a + 5} = -3 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4a - 3 = 3(2a + 5) \)
\( 4a - 3 = 6a + 15 \)
\( a = -9 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{4 - a}{2a + 5} \)
\( a = -9 \) yazalım.
\( = \dfrac{4 - (-9)}{2(-9) + 5} \)
\( = \dfrac{13}{-13} = -1 \) bulunur.
SORU 3:
\( 3x^2 - (2m - 1)x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Bu denklemin kökleri arasında \( x_1^2 \cdot x_2 + x_2^2 \cdot x_1 = 3 \) bağıntısı olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bağıntıyı çarpanlarına ayıralım.
\( x_1^2 \cdot x_2 + x_2^2 \cdot x_1 = x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2) = 3 \)
Bu ifade kökler çarpımı ile toplamının çarpımına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m - 1)}{3} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3} \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2m - 1}{3} = 3 \)
\( 2m - 1 = 27 \)
\( m = 14 \) bulunur.
SORU 4:
\( x^2 + (m + 2)x + 16 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olmak üzere, her iki kök de pozitiftir.
\( x_1 = x_2^3 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 16 \)
Bu ifadede \( x_1 = x_2^3 \) yazalım.
\( x_1 \cdot x_1^3 = x_1^4 = 16 \)
Her iki kök de pozitiftir.
\( x_1 = 2 \)
Denklemin kökleri eşitliği sağlayacağı için denklemde \( x = 2 \) yazalım.
\( 2^2 + (m + 2) \cdot 2 + 16 = 0 \)
\( 4 + 2m + 4 + 16 = 0 \)
\( m = -12 \) bulunur.
SORU 5:
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 2x^2 + kx - 3 = 0 \) denkleminin kökler farkı 4 olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin diskriminantını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \)
\( = k^2 + 24 \)
Denklemin kökler farkı formülünü yazalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{k^2 + 24}}{2} = 4 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \sqrt{k^2 + 24} = 8 \)
\( k^2 + 24 = 64 \)
\( k = \pm 2\sqrt{10} \)
\( k \in \mathbb{R^+} \) olduğundan \( k = 2\sqrt{10} \) bulunur.
SORU 6:
\( (m + 1)x^2 + (m - 2)x - 24m = 0 \) denkleminin simetrik iki kökü bulunduğuna göre denklemin kökleri nedir?
Çözümü Göster
Denklemin simetrik iki kökü varsa kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{m - 2}{m + 1} = 0 \)
\( m = 2 \)
Denklemde \( m = 2 \) yazalım.
\( (2 + 1)x^2 + (2 - 2)x - 24 \cdot 2 = 0 \)
\( 3x^2 - 48 = 0 \)
\( 3(x - 4)(x + 4) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, 4\} \)
SORU 7:
\( x^2 - 4x + m - 7 = 0 \) denkleminin kökleri,
\( x^2 - 2x + m + 2 = 0 \) denkleminin köklerinin ikişer katı olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
2. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
1. denklemin kökleri \( 2x_1 \) ve \( 2x_2 \) olur.
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{m + 2}{1} = m + 2 \)
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( 2x_1 \cdot 2x_2 = \dfrac{m - 7}{1} = m - 7 \)
\( 4x_1 \cdot x_2 = m - 7 \)
\( 4(m + 2) = m - 7 \)
\( 4m + 8 = m - 7 \)
\( m = -5 \) bulunur.
SORU 8:
\( ax^2 + (b + 2)x - 4 = 0 \) ve
\( 3x^2 - 2x + 1 = 0 \)
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b + 2}{-2} = \dfrac{-4}{1} \)
\( a = -4 \cdot 3 = -12 \)
\( b + 2 = -4 \cdot (-2) = 8 \)
\( b = 6 \)
\( a + b = -12 + 6 = -6 \) bulunur.
SORU 9:
Köklerinden biri \( 4 + \sqrt{3} \) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklem nedir?
Çözümü Göster
İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerinden biri \( a + \sqrt{b} \) formunda ise diğer kök bu kökün eşleniği olur.
\( x_1 = 4 + \sqrt{3} \)
\( x_2 = 4 - \sqrt{3} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = x_1 + x_2 = 4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} = 8 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = x_1 \cdot x_2 = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 8x + 13 = 0 \)
SORU 10:
\( x^2 - (4m - 2)x + 6m = 0 \)
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması \( -4 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise aritmetik ortalaması \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) olur.
\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -4 \)
\( x_1 + x_2 = -8 \)
Denklemin kökler toplamı formülünü yazalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(4m - 2)}{1} = -8 \)
\( 4m - 2 = -8 \)
\( m = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.
SORU 11:
\( (6 + \sqrt{3})x^2 - ax + 3\sqrt{6} = 0 \)
denkleminin harmonik ortalaması \( -6 \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = \dfrac{a}{6 + \sqrt{3}} \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}} \)
\( x_1 \) ve \( x_2 \) sayılarının harmonik ortalaması aşağıdaki formülle bulunur.
\( H.O. = \dfrac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \dfrac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} \)
Bulduğumuz kökler toplamını ve çarpımını yerine yazalım.
\( 2\dfrac{(\frac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}})}{\frac{a}{6 + \sqrt{3}}} = -6 \)
\( 2\dfrac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{6 + \sqrt{3}}{a} = -6 \)
\( \dfrac{6\sqrt{6}}{a} = -6 \)
\( a = -\sqrt{6} \) bulunur.
SORU 12:
\( x^2 + bx + 24 = 0 \) denkleminin kökleri kaç farklı \( b \) değeri için tam sayıdır?
Çözümü Göster
Denklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.
\( (x - m)(x - n) = x^2 + bx + 24 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -b \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = 24 \)
Buna göre denklemin kökler çarpımı 24'tür.
24'ün tam sayı bölenlerini bulalım.
\( \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\} \)
Çarpımları 24 olan kök ikilileri için kökler toplamını bulalım.
\( 24 = 1 \cdot 24 \Longrightarrow 1 + 24 = 25 \)
\( 24 = 2 \cdot 12 \Longrightarrow 2 + 12 = 14 \)
\( 24 = 3 \cdot 8 \Longrightarrow 3 + 8 = 11 \)
\( 24 = 4 \cdot 6 \Longrightarrow 4 + 6 = 10 \)
\( 24 = -1 \cdot (-24) \Longrightarrow -1 + (-24) = -25 \)
\( 24 = -2 \cdot (-12) \Longrightarrow -2 + (-12) = -14 \)
\( 24 = -3 \cdot (-8) \Longrightarrow -3 + (-8) = -11 \)
\( 24 = -4 \cdot (-6) \Longrightarrow -4 + (-6) = -10 \)
Buna göre \( b \) 8 farklı değer alabilir.
\( b \in \{\pm 10, \pm 11, \pm 14, \pm 25\} \)
SORU 13:
\( 3x^2 - (3m - 2)x + k = 0 \)
denkleminin köklerinin üçer katının birer eksiğini kök kabul eden denklem \( x^2 - (2m + 1)x + p = 0 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
1. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(3m - 2)}{3} \)
2. denklemin kökleri \( 3x_1 - 1 \) ve \( 3x_2 - 1 \) olur.
\( (3x_1 - 1) + (3x_2 - 1) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m + 1)}{1} \)
\( 3x_1 + 3x_2 - 2 = 2m + 1 \)
\( 3(x_1 + x_2) = 2m + 3 \)
Kökler toplamı yerine 1. denklem için bulduğumuz değeri yazalım.
\( 3 \cdot \dfrac{3m - 2}{3} = 2m + 3 \)
\( 3m - 2 = 2m + 3 \)
\( m = 5 \) bulunur.
SORU 14:
\( x^2 + 2(m - 1)x + 3m - 5 = 0 \)
denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökleri çakışık ise denklemin deltası sıfıra eşit olur.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 2(m - 1), \quad c = 3m - 5 \)
\( (2m - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3m - 5) = 0 \)
\( 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 20 = 0 \)
\( 4m^2 - 20m + 24 = 0 \)
\( m^2 - 5m + 6 = 0 \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.
SORU 15:
\( 3x^2 - ( m^2 - 6m + 5)x - 4 = 0 \)
denkleminin kökleri simetrik olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{-(m^2 - 6m + 5)}{3} = 0 \)
\( m^2 - 6m + 5 = 0 \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı bu denklemin kökler çarpımına eşittir.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{5}{1} = 5 \) bulunur.
SORU 16:
\( x^2 + 7x - 6 + k = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
\( 3 \lt m \lt 7 \) olduğuna göre, \( n \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 7, \quad c = -6 + k \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{1} = -7 \)
\( m = -7 - n \)
Verilen eşitsizlikte \( m \) yerine \( -7 - n \) yazalım.
\( 3 \lt -7 - n \lt 7 \)
Eşitsizliğin taraflarını 7 ile toplayalım.
\( 10 \lt -n \lt 14 \)
Eşitsizlik taraflarını \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -14 \lt n \lt -10 \) bulunur.
SORU 17:
\( (x^2 + 3x)^2 - 6x^2 - 18x + 5 = 0 \) denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( (x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) + 5 = 0 \)
\( x^2 + 3x = t \) şeklinde değişken değiştirme yapalım.
\( t^2 - 6t + 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 1)(t - 5) = 0 \)
\( t \) yerine \( x^2 + 3x \) yazalım.
\( (x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x - 5) = 0 \)
Bu denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_3 \cdot x_4 = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İki denklemin de deltaları 0'dan büyük olduğu için reel ve birbirinden farklı 2'şer kökü vardır.
Denklemlerin ortak kökü olmadığını denklemleri ortak çözerek teyit edebiliriz.
\( x^2 + 3x - 1 = x^2 + 3x - 5 \)
\( -1 \ne -5 \)
Buna göre denklemlerin toplam dört farklı reel kökünün çarpımı \( (-5) \cdot (-1) = 5 \) olarak bulunur.
SORU 18:
\( \dfrac{x - 1}{x - m} = 1 - \dfrac{x}{x - n} \)
denkleminin kökler toplamını bulunuz.
Çözümü Göster
\( \dfrac{x - 1}{x - m} + \dfrac{x}{x - n} = 1 \)
Paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{(x - 1)(x - n)}{(x - m)(x - n)} + \dfrac{x(x - m)}{(x - n)(x - m)} = 1 \)
\( \dfrac{x^2 - nx - x + n + x^2 - mx}{x^2 - mx - nx + mn} = 1 \)
\( \dfrac{2x^2 - nx - x + n - mx}{x^2 - mx - nx + mn} = 1 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2x^2 - nx - x + n - mx = x^2 - mx - nx + mn \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( x^2 - x + n - mn = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( = -\dfrac{-1}{1} = 1 \) bulunur.
SORU 19:
\( \dfrac{x^2 - 5xy + y^2}{y^2} = 4 \)
olduğuna göre, \( \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaki ifadeyi üç terime dağıtalım.
\( \dfrac{x^2}{y^2} - \dfrac{5xy}{y^2} + \dfrac{y^2}{y^2} = 4 \)
\( (\dfrac{x}{y})^2 - 5(\dfrac{x}{y}) - 3 = 0 \)
\( \dfrac{x}{y} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 5t - 3 = 0 \)
\( t = \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği değerler toplamı denklemin kökler toplamına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.
SORU 20:
\( m \) sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,
\( x^2 - (5m - 2n)x + 8m = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -(5m - 2n), \quad c = 8m \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8m}{1} \)
\( n = 8 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(5m - 2n)}{1} \)
\( m + 8 = 5m - 16 \)
\( 4m = 24 \)
\( m = 6 \)
\( m + n = 6 + 8 = 14 \) bulunur.
SORU 21:
\( x^2 - 7x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, \( x_1^2 + x_2^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -7, \quad c = 6 \)
\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{1} = 7 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \)
Bulduğumuz değerleri değeri sorulan ifadede yerine koyalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( = 7^2 - 2 \cdot 6 \)
\( = 37 \) bulunur.
SORU 22:
\( x^2 - 8!x + 7! = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) şeklindedir.
Buna göre \( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8!}{1} = 8! \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7!}{1} = 7! \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{8!}{7!} \)
\( = \dfrac{8 \cdot 7!}{7!} = 8 \) bulunur.
SORU 23:
\( x^2 + bx + c = 0 \) denkleminin bir kökü \( 3 \)
\( x^2 - mx + 2n = 0 \) denkleminin bir kökü \( 2 \)'dir.
İki denklemin birer kökü birbirine eşit olduğuna göre, \( m + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^2 + bx + c = 0 \)
1. denklemin köklerine \( x_1 = 3 \) ve \( x_3 \) diyelim.
1. denklemin kökler toplamını bulalım.
\( 3 + x_3 = -\dfrac{b}{1} = -b \)
\( x^2 - mx + 2n = 0 \)
2. denklemin köklerine \( x_2 = 2 \) ve \( x_3 \) diyelim.
2. denklemin kökler toplamını bulalım.
\( 2 + x_3 = -\dfrac{-m}{1} = m \)
İkinci kökler toplamı eşitliğinden birinci eşitliği çıkaralım.
\( m - (-b) = 2 - 3 \)
\( m + b = -1 \) bulunur.
SORU 24:
\( ax^2 - 5x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, \( x_1 \)'in \( x_2 \) cinsinden eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{a} = \dfrac{5}{a} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{a} \)
Buna göre denklemin kökler toplamı kökler çarpımının 5 katıdır.
\( x_1 + x_2 = 5x_1 \cdot x_2 \)
\( x_1 - 5x_1 \cdot x_2 = -x_2 \)
\( x_1(1 - 5x_2) = -x_2 \)
\( x_1 = \dfrac{-x_2}{1 - 5x_2} = \dfrac{x_2}{5x_2 - 1} \) bulunur.
SORU 25:
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Bu köklerin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
\( x_2 - 3x + 2 = 0 \)
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 2 \)
Soruda istenen, kökleri \( \dfrac{1}{x_1} \) ve \( \dfrac{1}{x_2} \) olan ikinci dereceden denklemdir.
Yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{3}{2} \)
Yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{1}{2} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} = 0 \)
SORU 26:
\( x^2 - 3x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \)'dir.
Buna göre kökleri \( 2 - 3a \) ve \( 2 - 3b \) olan denklem nedir?
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a + b = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( ab = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (2 - 3a) + (2 - 3b) = 4 - 3(a + b) \)
\( = 4 - 3 \cdot 3 = -5 \)
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (2 - 3a) \cdot (2 - 3b) = 4 - 6(a + b) + 9ab \)
\( = 4 - 6 \cdot 3 + 9 \cdot (-5) = -59 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - (-5)x + (-59) = 0 \)
\( x^2 + 5x - 59 = 0 \) bulunur.
SORU 27:
\( m, n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x^2 - 9x + 16 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \) olarak veriliyor.
Buna göre kökleri \( \sqrt{2m} \) ve \( \sqrt{2n} \) olan ikinci dereceden denklem nedir?
Çözümü Göster
Kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini kullanarak istenen denklemi elde etmeye çalışalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{1} \)
\( m + n = 9 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{16}{1} \)
\( m \cdot n = 16 \)
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \sqrt{2m} \cdot \sqrt{2n} = \sqrt{4m \cdot n} \)
\( = \sqrt{64} = 8 \)
İstenen denklemin kökler toplamına \( k \) diyelim.
\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = k \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (\sqrt{2m} + \sqrt{2n})^2 = k^2 \)
\( 2m + 2\sqrt{2m}\sqrt{2n} + 2n = k^2 \)
\( 2(m + n) + 2\sqrt{4m \cdot n} = k^2 \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( 2 \cdot 9 + 2\sqrt{64} = k^2 \)
\( k = \pm \sqrt{34} \)
\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} \) ifadesi negatif olamaz.
\( k = \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = +\sqrt{34} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökleri çarpımı \( B \) olan denklemi yazalım.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \sqrt{34}x + 8 = 0 \) bulunur.
SORU 28:
\( 2x^2 - 4x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( m^2 + 3 \) ve \( n^2 + 3 \) olan denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4}{2} = 2 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2} \)
\( m + n = 2 \) ifadesinin karesini alalım.
\( (m + n)^2 = 4 \)
\( m^2 + 2mn + n^2 = 4 \)
\( m^2 + 2 \cdot \dfrac{3}{2} + n^2 = 4 \)
\( m^2 + n^2 = 1 \)
İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (m^2 + 3) + (n^2 + 3) = (m^2 + n^2) + 6 = 7 \)
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (m^2 + 3)(n^2 + 3) = (mn)^2 + 3(m^2 + n^2) + 9 \)
\( = (\dfrac{3}{2})^2 + 3(1) + 9 \)
\( = \dfrac{57}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 7x + \dfrac{57}{4} = 0 \)
SORU 29:
\( x^2 + (m + 2)x - 1 = 0 \) denkleminin kökleri,
\( x^2 - 6x + n - 5 = 0 \) denkleminin köklerinin birer eksiği olduğuna göre, \( m + n \) kaçtır?
Çözümü Göster
Birinci denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \), ikinci denklemin köklerine \( x_1 - 1 \) ve \( x_2 - 1 \) diyelim.
Birinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{m + 2}{1} = -m - 2 \)
Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
İkinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} \)
\( x_1 + x_2 - 2 = 6 \)
\( x_1 + x_2 = 8 \)
\( x_1 + x_2 \) yerine \( -m - 2 \) yazalım.
\( -m - 2 = 8 \)
\( m = -10 \)
İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( (x_1 - 1) \cdot (x_2 - 1) = \dfrac{c}{a} = \dfrac{n - 5}{1} \)
\( x_1 \cdot x_2 -(x_1 + x_2) + 1 = n - 5 \)
\( x_1 \cdot x_2 \) yerine \( -1 \) ve \( x_1 + x_2 \) yerine 8 yazalım.
\( (-1) - 8 + 1 = n - 5 \)
\( n = -3 \)
\( m + n = -10 + (-3) = -13 \) bulunur.
SORU 30:
İki öğrenci ikinci dereceden \( x^2 - ax + b = 0 \) denkleminin köklerini bulmaya çalışıyor.
Birinci öğrenci denklemi yanlış \( a \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( -3 \) ve \( -15 \) olarak buluyor. İkinci öğrenci ise denklemi yanlış \( b \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( 6 \) ve \( 8 \) olarak buluyor.
Buna göre denklemin doğru kökleri nedir?
Çözümü Göster
Birinci öğrenci \( b \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin çarpımı gerçek denklemin kökler çarpımına eşit olmalıdır.
\( \dfrac{b}{1} = b = -3 \cdot (-15) = 45 \)
İkinci öğrenci \( a \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin toplamı gerçek denklemin kökler toplamına eşit olmalıdır.
\( -\dfrac{-a}{1} = a = 6 + 8 = 14 \)
\( a = 14 \)
Buna göre denklemin doğru şekli aşağıdaki gibidir.
\( x^2 - ax + b = 0 \)
\( x^2 - 14x + 45 = 0 \)
\( (x - 5)(x - 9) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{5, 9\} \)
SORU 31:
\( k \in \mathbb{R}, k \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^2 - kx + 3k^3 = 0 \) denklemin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Kökleri \( \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \) ve \( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \) olan ikinci dereceden denklemi \( k \) cinsinden yazın.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -k, \quad c = 3k^3 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-k)}{1} = k \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k^3}{1} = 3k^3 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} + \dfrac{\beta}{ \alpha + \beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha + \beta} \)
\( = 1 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} = \dfrac{\alpha \cdot \beta}{(\alpha + \beta)^2} \)
\( = \dfrac{3k^3}{k^2} = 3k \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - x + 3k = 0 \) olarak bulunur.
SORU 32:
\( 3x^2 - 4x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Kökleri \( 5\alpha - 2\beta \) ve \( 5\beta - 2\alpha \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{3} = \dfrac{4}{3} \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (5\alpha - 2\beta) + (5\beta - 2\alpha) = 3\alpha + 3\beta \)
\( = 3(\alpha + \beta) = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (5\alpha - 2\beta) \cdot (5\beta - 2\alpha) \) \( = 29\alpha \cdot \beta - 10(\alpha^2 + \beta^2) \)
\( = 29\alpha \cdot \beta - 10((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) \)
\( \alpha \cdot \beta \) ve \( \alpha + \beta \) değerlerini yerine koyalım.
\( = 29 \cdot \dfrac{2}{3} - 10((\dfrac{4}{3})^2 - 2 \cdot \dfrac{2}{3}) \)
\( = \dfrac{58}{3} - 10(\dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9}) \)
\( = \dfrac{134}{9} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 4x + \dfrac{134}{9} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 9 ile çarpalım.
\( 9x^2 - 36x + 134 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 33:
\( 2x^2 + 6x + 7 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( 4 - m^2 \) ve \( 4 - n^2 \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = 6, \quad c = 7 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (4 - m^2) + (4 - n^2) = 8 - (m^2 + n^2 \))
\( = 8 - [(m + n)^2 - 2mn] \)
\( = 8 - [(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] \)
\( = 6 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (4 - m^2)(4 - n^2) \) \( = 16 - 4m^2 - 4n^2 + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4[(m + n)^2 - 2mn] + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4[(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] + ( \dfrac{7}{2})^2 \)
\( = \dfrac{81}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 6x + \dfrac{81}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 4 ile çarpalım.
\( 4x^2 - 24x + 81 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 34:
\( 4x^2 + 8x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( \frac{m^2}{n} \) ve \( \frac{n^2}{m} \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 4, \quad b = 8, \quad c = 3 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{4} = -2 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{4} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{m^2}{n} + \dfrac{n^2}{m} = \dfrac{m^3 + n^3}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 + 2mn + n^2 - 3mn)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)((m + n)^2 - 3mn)}{mn} \)
\( = \dfrac{(-2)((-2)^2 - 3 \cdot \frac{3}{4})}{\frac{3}{4}} \)
\( = -\dfrac{14}{3} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{m^2}{n} \cdot \dfrac{n^2}{m} = mn \)
\( = \dfrac{3}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 + \dfrac{14}{3}x + \dfrac{3}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12 ile çarpalım.
\( 12x^2 + 56x + 9 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 35:
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x^2 + kx + 5k = 0 \) denkleminin iki farklı kökü \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, denklemin kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin iki kökü olduğuna göre diskriminantı sıfırdan büyüktür.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5k \gt 0 \)
\( k^2 - 20k \gt 0 \)
\( k(k - 20) \gt 0 \)
Eşitsizliğin sağlanması için \( k \) ifadesi \( (-\infty, 0) \) ya da \( (20, +\infty) \) aralığında değer alabilir.
\( k \in \mathbb{R^+} \) olarak veriliyor.
\( k \in (20, +\infty) \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 5k \)
Kökler çarpımının en küçük değerini bulmak için \( k \) değer aralığını kullanalım.
\( k \gt 20 \)
\( 5k \gt 100 \)
Kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer 101'dir.
SORU 36:
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + kx + 30 = 0 \) denkleminin kaç farklı \( k \) değerinde 2 farklı tam sayı kökü vardır?
Çözümü Göster
Denklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.
İkinci dereceden ifadenin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = k, \quad c = 30 \)
Kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{k}{1} = -k \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{30}{1} = 30 \)
Köklerin tam sayı olduğu durumları bulalım.
Çarpımları 30 olan tam sayı ikilileri aşağıdaki 6 ikili ve bunların tersidir.
\( (m, n) \in \{(30, 1), (15, 2), (6, 5), (-30, -1), (-15, -2), (-6, -5)\} \)
Bu farklı durumlarda oluşan \( k \) değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( k \in \{-31, -17, -11, 31, 17, 11\} \)
Buna göre, istenen koşulları sağlayan 6 farklı \( k \) değeri vardır.
SORU 37:
\( x^2 + (x_1 + 2)x + 4x_2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre kökler toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 4x_2 \)
\( x_2 = 0 \) olup olmamasına göre iki farklı çözüm oluşur.
\( x_2 \ne 0 \) için:
\( x_2 \) değerleri sadeleşir.
\( x_1 = 4 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)
\( 4 + x_2 = -4 - 2 \)
\( x_2 = -10 \)
Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = 4 + (-10) = -6 \)
\( x_2 = 0 \) için:
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)
\( x_1 = -x_1 - 2 \)
\( x_1 = -1 \)
Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -1 + 0 = -1 \)
Kökler toplamının alabileceği en büyük değer \( -1 \) olarak bulunur.
SORU 38:
\( x^2 - mx + 9 = 0 \) denkleminin reel kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
\( x_2 \le x_1 \lt 0 \) olduğuna göre, \( m \)'nin en geniş tanım aralığını bulunuz.
Çözümü Göster
\( x_2 \le x_1 \lt 0 \) olduğuna göre denklemin iki farklı ya da çift katlı tek bir reel kökü vardır ve kökler negatiftir.
Buna göre \( \Delta \ge 0 \) olmalıdır, ayrıca kökler toplamı negatif ve kökler çarpımı pozitif olmalıdır.
Denklemin deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \ge 0 \)
\( m^2 - 36 \ge 0 \)
\( (m - 6)(m + 6) \ge 0 \)
\( m \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty) \)
Kökler toplamı negatif olmalıdır.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{1} \lt 0 \)
\( m \lt 0 \)
\( m \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( m \in (-\infty, -6] \)
SORU 39:
\( (5 - m)x^2 + 4x + m + 2 = 0 \)
denkleminin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü olduğuna göre, \( m \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Denklemin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü varsa denklemin köklerin çarpımı negatiftir ve deltası sıfırdan büyüktür.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \lt 0 \)
\( \dfrac{m + 2}{5 - m} \lt 0 \)
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan \( m \in \{-2, 5\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 5) \) ve \( (5, +\infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan \( x = 5 \) değerinde tanımsız, payı sıfır yapan \( x = -2 \) değerinde sıfır olur.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty) \)
Ayrıca verilen denklemin deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( 4^2 - 4(5 - m)(m + 2) \gt 0 \)
\( 16 - 12m - 40 + 4m^2 \gt 0 \)
\( m^2 - 3m - 6 \gt 0 \)
Bu ikinci dereceden ifadenin başkatsayısı ve deltası sıfırdan büyük olduğu için her \( m \) değeri için ifade pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( m \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty) \)
SORU 40:
\( x^2 + (2a - 3)x + 3a^2 = 0 \)
denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
\( m^2 + n^2 \) ifadesinin alabileceği maksimum değer kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{2a - 3}{1} = -(2a - 3) \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{3a^2}{1} = 3a^2 \)
Kökler toplamının parantez karesini alalım.
\( (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \)
Kökler toplamı ve kökler çarpımını \( a \) cinsinden yazalım.
\( (-(2a - 3))^2 = m^2 + n^2 + 2(3a^2) \)
\( 4a^2 - 12a + 9 = m^2 + n^2 + 6a^2 \)
\( m^2 + n^2 \) ifadesini eşitlikte yalnız bırakalım.
\( m^2 + n^2 = -2a^2 - 12a + 9 \)
\( -2a^2 - 12a + 9 \) ifadesinin maksimum değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( = -((\sqrt{2}a)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}a \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 - 18 - 9) \)
\( = -(\sqrt{2}a + 3\sqrt{2})^2 + 27 \)
Bu ifade en büyük değerini parantez içindeki negatif işaretli ifade sıfır olduğunda alır.
Buna göre \( m^2 + n^2 \) ifadesinin alabileceği en büyük değer 27'dir.
SORU 41:
\( a, b \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^2 + 2ax + 2b \) ifadesini sıfır yapan değerler \( a \) ve \( b \) olduğuna göre, ifadenin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözümü Göster
\( x^2 + 2ax + 2b = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \) olur.
Kökler çarpımını bulalım.
\( a \cdot b = 2b \)
\( b \ne 0 \Longrightarrow a = 2 \)
Kökler toplamını bulalım.
\( a + b = -2a \)
\( 3a + b = 0 \)
\( a = 2 \) yazalım.
\( b = -6 \)
Bulduğumuz değerleri denklemde yerine yazalım.
\( x^2 + 2(2)x + 2(-6) = 0 \)
\( x^2 + 4x - 12 = 0 \)
\( x^2 + 4x - 12 \) ifadesinin en küçük değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım, bunun için de ifadeye 16 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 4x - 12 + 16 - 16 \)
\( = x^2 + 4x + 4 - 16 \)
\( = (x + 2)^2 - 16 \)
Parantez karesinin en küçük değeri sıfır olduğu için tüm ifadenin en küçük değeri \( -16 \) olur.
SORU 42:
\( x^2 + ax + 4 = 0 \) denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Kökler farkı \( \sqrt{20} \)'den küçük ise \( a \)'nın değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster
\( x_1 \) ve \( x_2 \) verilen denklemin kökleri olsun.
Kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -a \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = 4 \)
Kökler farkı \( \sqrt{20} \)'den küçük olarak veriliyor.
\( \abs{x_1 - x_2} \lt \sqrt{20} \)
Eşitsizliğin solunu köklü ifade şeklinde yazalım.
\( \sqrt{(x_1 - x_2)^2} \lt \sqrt{20} \)
\( \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \lt \sqrt{20} \)
Bulduğumuz kökler toplamını ve kökler çarpımını yerine yazalım.
\( \sqrt{(-a)^2 - 4(4)} \lt \sqrt{20} \)
\( \sqrt{a^2 - 16} \lt \sqrt{20} \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( a^2 - 16 \lt 20 \)
\( a^2 \lt 36 \)
\( -6 \lt a \lt 6 \)
Elde ettiğimiz bu aralık denklemin karmaşık köklerini de kapsamaktadır.
Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü olduğu belirtildiği için ek olarak delta sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \gt 0 \)
\( a^2 - 16 \gt 0 \)
\( a \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi \( a \) değer aralığını verir.
\( a \in (-6, -4) \cup (4, 6) \)
