\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye "\( p \) ya da \( q \)" önermesi denir. "Ya da" bağlacı "\( p \veebar q \)" ya da "\( p \oplus q \)" biçiminde gösterilir.
\( p \veebar q \) önermesi, önermeler birbirine denk iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. "Veya" ve "ya da" bağlaçları arasındaki tek fark, her iki önermenin de doğru olduğu durumda oluşmaktadır. Bu farkın net görülebilmesi için aşağıdaki "ya da" doğruluk tablosuna "veya" sütunu da eklenmiştir.
\( p \veebar q \) önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
\( p \)
\( q \)
\( p \veebar q \)
\( p \lor q \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( p \veebar q \) bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
Bileşik Önerme
Doğruluk Değeri
Açıklama
1 km 1000 m'dir YA DA 1 kg 1000 gr'dır.
\( 1 \veebar 1 \equiv 0 \)
Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme yanlıştır.
\( \sqrt{2} \) irrasyonel bir sayıdır YA DA \( 0,333... \) irrasyonel bir sayıdır.
\( 1 \veebar 0 \equiv 1 \)
Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
EBOB(12, 18) = 3 YA DA EKOK(12, 18) = 36
\( 0 \veebar 1 \equiv 1 \)
Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
Bir noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir YA DA İki noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
\( 0 \veebar 0 \equiv 0 \)
Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır.
Ya Da Bağlacının Değili
"Ya da" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki iki şekilde yazabiliriz.
\( (p \veebar q)' \equiv p' \veebar q \equiv p \veebar q' \)
ÖRNEK:
\( p \): Neşe her sabah kahve içer.
\( q \): Neşe her sabah çay içer.
\( p \veebar q \): Neşe her sabah kahve ya da çay içer.
\( p' \veebar q \): Neşe her sabah kahve içmez ya da çay içer.
\( p \veebar q' \): Neşe her sabah kahve içer ya da çay içmez.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş üç sütunu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( p \veebar q \)
\( (p \veebar q)' \)
\( p' \veebar q \)
\( p \veebar q' \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
Ya Da Bağlacı İşlem Özellikleri
"Ya da" işleminin değişme özelliği vardır.
\( p \veebar q \equiv q \veebar p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla önermelerin sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( p \veebar q \)
\( q \veebar p \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
"Ya da" işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar (q \veebar r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla işlem sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( p \veebar q \)
\( q \veebar r \)
\( (p \veebar q) \veebar r \)
\( p \veebar (q \veebar r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
"Ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( q \land r \)
\( p \veebar q \)
\( p \veebar r \)
\( p \veebar (q \land r) \)
\( (p \veebar q) \land (p \veebar r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( p \land q \)
\( p \veebar r \)
\( q \veebar r \)
\( (p \land q) \veebar r \)
\( (p \veebar r) \land (q \veebar r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
"Ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( q \lor r \)
\( p \veebar q \)
\( p \veebar r \)
\( p \veebar (q \lor r) \)
\( (p \veebar q) \lor (p \veebar r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( p \lor q \)
\( p \veebar r \)
\( q \veebar r \)
\( (p \lor q) \veebar r \)
\( (p \veebar r) \lor (q \veebar r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
"Ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
\( p \veebar 0 \equiv 0 \veebar p \equiv p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanının 0 olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( 0 \)
\( p \veebar 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Ya Da Bağlacı İşlem Kuralları
"Ya da" bağlacı ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir.
\( p \veebar p \equiv 0 \)
\( p \veebar p' \equiv 1 \)
\( p \veebar 1 \equiv p' \)
\( p \veebar 0 \equiv p \)
"Ya da" bağlacının değişme ve birleşme özellikleri olduğu için önermeler arasındaki parantez kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar q \veebar r \equiv r \veebar p \veebar q \)
"Ya da", "ve" ve "veya" bağlaçlarını birlikte içeren bir bileşik önermede parantezlerin yeri önemlidir ve parantezler kaldırılarak işlem sırası değiştirilemez. Aşağıda parantezlerin yerinin değiştirilmesinin önermenin doğruluk değerini değiştirebileceğine dair birer örnek verilmiştir.
ÖRNEK:
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 1, \quad r \equiv 1 \) ise,