\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye "\( p \) ve \( q \)" önermesi denir ve "\( p \land q \)" şeklinde gösterilir.
"Ve" bileşik önermesi; bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru, bu önermelerin en az biri yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \land q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
\( p \)
\( q \)
\( p \land q \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( p \land q \) bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
Bileşik Önerme
Doğruluk Değeri
Açıklama
Türkiye'nin en kalabalık şehri İstanbul'dur VE başkenti Ankara'dır.
\( 1 \land 1 \equiv 1 \)
Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme de doğrudur.
5 bir asal sayıdır VE 3 en küçük asal sayıdır.
\( 1 \land 0 \equiv 0 \)
Önermelerden en az biri yanlış olduğu için "ve" bileşik önermesi de yanlıştır.
Türkiye'de 5 coğrafi bölge VE 81 il vardır.
\( 0 \land 1 \equiv 0 \)
Önermelerden en az biri yanlış olduğu için "ve" bileşik önermesi de yanlıştır.
Aslan evcil bir hayvandır VE otoburdur.
\( 0 \land 0 \equiv 0 \)
Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır.
Üç önermeden oluşan \( p \land q \land r \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olur.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( p \land q \land r \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Ve Bağlacının Değili
Bir "ve" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "veya" bileşik önermesine denktir. Bu kural aynı zamanda De Morgan kuralları olarak bilinen kurallardan biridir.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin birleşme özelliği vardır.
"Ve" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "ve" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p \land q) \land (r \land s) \)
\( \equiv p \land (q \land r) \land s \)
\( \equiv p \land q \land r \land s \)
\( \equiv s \land q \land p \land r \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( q \lor r \)
\( p \land q \)
\( p \land r \)
\( p \land (q \lor r) \)
\( (p \land q) \lor (p \land r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin "ya da" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( q \veebar r \)
\( p \land q \)
\( p \land r \)
\( p \land (q \veebar r) \)
\( (p \land q) \veebar (p \land r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin "ya da" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ve" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.