\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye çift yönlü koşullu önerme ya da "\( p \) ancak ve ancak \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Leftrightarrow q \)" şeklinde gösterilir.
\( p \Leftrightarrow q \) bileşik önermesi; bileşeni olan önermeler birbirine denk iken doğru, aksi takdirde yanlış olur.
\( p \Leftrightarrow q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Leftrightarrow q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, her iki önermeden diğerine koşullu önermeler birlikte doğru olduğunda doğru olur.
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi aynı zamanda iki önermenin birlikte doğru ya da birlikte yanlış olması anlamına gelir. Buna göre, çift yönlü koşullu önerme iki önermenin denkliği (\( p \equiv q \)) olarak da yorumlanabilir.
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi iki önermenin değilleri arasındaki çift yönlü koşullu önermeye denktir.
Yukarıdaki denklikteki "ise" bağlaçlarını "veya" bağlacı olarak yazdığımızda "\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi için üçüncü bir özdeşlik elde ederiz.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p' \lor q) \land (q' \lor p) \)
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki şekillerde yazabiliriz.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv p' \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow q' \)
\( p \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
Aşağıdaki iki bileşik önerme yukarıdaki önermenin değilidir.
\( p' \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye almam, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
\( p \Leftrightarrow q' \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağmıyorsa.
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin değilini alternatif olarak aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv (p \land q') \lor (q \land p') \)
\( p \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
Aşağıdaki bileşik önerme yukarıdaki önermenin değilidir.
\( (p \land q') \lor (q \land p') \): (Yanıma şemsiye alırım ve yağmur yağmaz) veya (Yanıma şemsiye almam ve yağmur yağar.)
"Ancak ve ancak" işleminin değişme özelliği vardır.
"Ancak ve ancak" işleminin birleşme özelliği vardır.
\( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \equiv (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r \)
"Ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Leftrightarrow (q \land r) \not\equiv (p \Leftrightarrow q) \land (p \Leftrightarrow r) \)
\( (p \land q) \Leftrightarrow r \not\equiv (p \Leftrightarrow r) \land (q \Leftrightarrow r) \)
"Ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Leftrightarrow (q \lor r) \not\equiv (p \Leftrightarrow q) \lor (p \Leftrightarrow r) \)
\( (p \lor q) \Leftrightarrow r \not\equiv (p \Leftrightarrow r) \lor (q \Leftrightarrow r) \)
"Ancak ve ancak" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
"Ancak ve ancak" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
\( p \Leftrightarrow p \equiv 1 \)
\( p \Leftrightarrow p' \equiv 0 \)
\( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
\( p \Leftrightarrow 0 \equiv p' \)
\( (8 \ge 3) \Leftrightarrow (-4 \gt -1)' \)
bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü GösterI. \( p \Leftrightarrow p \equiv 0 \)
II. \( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
III. \( 0 \Leftrightarrow p' \equiv p \)
denkliklerinden hangileri doğrudur?
Çözümü Göster\( (p \Leftrightarrow 1) \Leftrightarrow (p \Leftrightarrow 0) \) önermesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p \lor p') \equiv 0 \) olduğuna göre, \( p \) ve \( q \) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(a) \( p \lor q \equiv 0 \)
(b) \( p \land q \equiv 0 \)
(c) \( p' \lor q' \equiv 0 \)
(d) \( q \Rightarrow p \equiv 0 \)
(e) \( p \Leftrightarrow q \equiv 1 \)
Çözümü Göster\( p' \Rightarrow (q \Leftrightarrow p) \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki önermelerin hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
(a) \( q \Rightarrow p \)
(b) \( p \land q \)
(c) \( p \Leftrightarrow q \)
(d) \( q' \Leftrightarrow p \)
(e) \( p' \veebar q \)
Çözümü Göster\( p \Leftrightarrow q' \equiv 1 \) ve \( q \Leftrightarrow r \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
(a) \( p \lor r \)
(b) \( p' \land r \)
(c) \( p \Leftrightarrow r \)
(d) \( p \Rightarrow q \)
(e) \( q' \Rightarrow r' \)
Çözümü GösterAşağıdaki ifadelerden hangileri yanlıştır?
I. \( p \lor 0 \equiv 0 \)
II. \( q \land 1 \equiv 1 \)
III. \( p \land 0 \equiv 1' \)
IV. \( p \lor 1 \equiv 1 \)
V. \( p \Rightarrow q \equiv p \lor q' \)
VI. \( p' \Leftrightarrow (p')' \equiv 1 \)
Çözümü GösterAşağıdaki tabloda bazı önermelerin doğruluk değerleri \( a, b, c, d, e, f \) değişkenleri cinsinden verilmiştir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q' \) | \( p \Leftrightarrow q' \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( \sqrt{a} - 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( b + 4 \) | \( 5 - e \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( c - 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( d + 4 \) | \( \frac{f}{4} \) |
Buna göre \( a + b + c + d + e + f \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( p' \Leftrightarrow q' \) ve \( p \Leftrightarrow q \) önermelerinin denk olduğunu doğruluk tablosu kullanmadan gösterin.
Çözümü GösterDoğruluk değeri 1 olan çift yönlü koşullu önermeye çift yönlü gerektirme denir.
\( p \Leftrightarrow q \equiv 1 \) ise,
Bu çift yönlü koşullu önerme bir çift yönlü gerektirmedir.
\( x \) çift sayıdır, ancak ve ancak \( x + 2 \) çift sayı ise.
\( 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \) ya da \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \)
Bir \( p \Leftrightarrow q \) çift yönlü koşullu önermesinde her iki önerme de diğeri için yeterli ve gerekli birer koşuldur.
\( p: x = 1 \)
\( q: x^2 = 1 \)
\( r: x^3 = 1 \)
önermelerine göre aşağıdakilerden hangileri çift yönlü gerektirmedir?
I. \( p \Leftrightarrow r \)
II. \( p \Leftrightarrow q \)
III. \( q \Leftrightarrow r \)
Çözümü Göster\( r \Leftrightarrow (p \land q) \) önermesi çift yönlü gerektirmedir.
Buna göre, kaç farklı \( (p, q, r) \) sıralı üçlüsü vardır?
Çözümü Göster