\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye çift yönlü koşullu önerme ya da "\( p \) ancak ve ancak \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Leftrightarrow q \)" biçiminde gösterilir.
\( p \Leftrightarrow q \) önermesi, önermelerin doğruluk değerleri birbiriyle aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.
\( p \Leftrightarrow q \) önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
\( p \)
\( q \)
\( p \Leftrightarrow q \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, aşağıdaki şekilde bir "ise" önermesine dönüştürülebilir.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bu iki bileşik önermenin birbirine denk olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( p \Leftrightarrow q \)
\( p \Rightarrow q \)
\( q \Rightarrow p \)
\( (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
Yukarıdaki ifadede "ise" bağlacının önceki bölümde gördüğümüz indirgenmiş hallerini yerine koyarsak, "\( p \Leftrightarrow q \)" önermesinin indirgenmiş halini aşağıdaki şekilde elde ederiz.
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki şekillerde yazabiliriz.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv p' \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow q' \)
ÖRNEK:
\( p \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
\( p' \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye almam, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
\( p \Leftrightarrow q' \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağmıyorsa.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş üç sütunu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( p \Leftrightarrow q \)
\( (p \Leftrightarrow q)' \)
\( p' \)
\( q' \)
\( p' \Leftrightarrow q \)
\( p \Leftrightarrow q' \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
Ancak ve Ancak Bağlacı İşlem Özellikleri
"Ancak ve ancak" işleminin değişme özelliği vardır.
\( p \Leftrightarrow q \equiv q \Leftrightarrow p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla önermelerin sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ancak ve ancak" işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( p \Leftrightarrow q \)
\( q \Leftrightarrow p \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
"Ancak ve ancak" işleminin birleşme özelliği vardır.
\( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \equiv (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla işlem sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ancak ve ancak" işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( q \)
\( r \)
\( p \Leftrightarrow q \)
\( q \Leftrightarrow r \)
\( (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r \)
\( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
"Ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.
"Ancak ve ancak" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
\( p \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \Leftrightarrow p \equiv p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla "ancak ve ancak" işleminin birim (etkisiz) elemanının 1 olduğunu söyleyebiliriz.
\( p \)
\( 1 \)
\( p \Leftrightarrow 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
Ancak ve Ancak Bağlacı İşlem Kuralları
"Ancak ve ancak" bağlacı ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir.
\( p \Leftrightarrow p \equiv 1 \)
\( p \Leftrightarrow p' \equiv 0 \)
\( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
\( p \Leftrightarrow 0 \equiv p' \)
\( p \Leftrightarrow q \equiv p' \Leftrightarrow q' \)
SORU:
Aşağıdaki bileşik önermenin her zaman doğru olduğunu gösterelim.
\( p \equiv 0 \) ve \(q \equiv 1 \) değerleri için doğruluk değeri 1 olan seçenek (d) olur.
SORU:
\( p \Leftrightarrow q' \equiv 1 \) ve \( q \Leftrightarrow r \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima 1'e denktir?
(a) \( p \lor r \)
(b) \( p' \land r \)
(c) \( p \Leftrightarrow r \)
(d) \( p \Rightarrow q \)
(e) \( q' \Rightarrow r' \)
Çözümü Göster
Verilen çift yönlü koşullu önermelere göre iki olasılık vardır. \( p \equiv 1 \) ve \( p \equiv 0 \) vererek diğer önermelerin her olasılık için doğruluk değerlerini bulalım.
\( p \equiv 1 \) ise: \( q \equiv 0, r \equiv 1 \)
\( p \equiv 0 \) ise: \( q \equiv 1, r \equiv 0 \)
Her iki durumda da doğruluk değeri 1 olan seçenek (c)'dir.
Çift Yönlü Gerektirme
Doğruluk değeri 1 olan çift yönlü koşullu önermeye çift yönlü gerektirme denir.
\( p \Leftrightarrow q \equiv 1 \) ise,
Bu çift yönlü koşullu önerme bir çift yönlü gerektirmedir.
ÖRNEK:
\( x \) çift sayıdır, ancak ve ancak \( x + 2 \) çift sayı ise. (\( 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \) ya da \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \))
Bir çokgenin üç kenarı vardır, ancak ve ancak çokgen üçgen ise. (\( 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \) ya da \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \))
SORU:
\( p: x = 1 \)
\( q: x^2 = 1 \)
\( r: x^3 = 1 \)
önermelerine göre aşağıdakilerden hangileri bir çift yönlü gerektirmedir?
I. \( p \Leftrightarrow r \)
II. \( p \Leftrightarrow q \)
III. \( q \Leftrightarrow r \)
Çözümü Göster
I. önerme \( x \)'in her değeri için doğru olduğu için bir çift yönlü gerektirmedir.
II. önerme \( x = -1 \) için yanlıştır, dolayısıyla bir çift yönlü gerektirme değildir.
III. önerme \( x = -1 \) için yanlıştır, dolayısıyla bir çift yönlü gerektirme değildir.
Buna göre sadece I. önerme bir çift yönlü gerektirmedir.