İse Bağlacı

\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme ya da "\( p \) ise \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Rightarrow q \)" biçiminde gösterilir.

"\( p \) ise \( q \)" önermesi, \( p \) önermesini doğru kabul ediyorsak, \( q \) önermesini de doğru kabul etmemiz gerektiği anlamına gelir.

\( p \Rightarrow q \) önermesi, \( p \) doğru ve \( q \) yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

\( p \Rightarrow q \) önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

\( p \) \( q \) \( p \Rightarrow q \)
\( 1 \) \( 1 \) \( 1 \)
\( 1 \) \( 0 \) \( 0 \)
\( 0 \) \( 1 \) \( 1 \)
\( 0 \) \( 0 \) \( 1 \)

Bir Örnekle İse Bağlacı

"İse" bağlacını bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Bileşik Önerme Açıklama
\( 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) Buna göre günlerden pazardır ve kahvaltıda omlet yemişizdir, dolayısıyla "Günlerden pazar ise kahvaltıda omlet yeriz." önermesi doğru olur.
\( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \) Buna göre günlerden pazardır ama kahvaltıda omlet yememişizdir, dolayısıyla "Günlerden pazar ise kahvaltıda omlet yeriz." önermesi yanlış olur.
\( 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) Buna göre günlerden pazar değildir ve kahvaltıda omlet yemişizdir. Verilen önerme pazar günleri dışında ne yediğimizle ilgili birşey söylemediği için bu önermeyle çelişen bir durum söz konusu değildir, dolayısıyla önerme doğru olur.
\( 0 \Rightarrow 0 \equiv 1 \) Buna göre günlerden pazar değildir ve kahvaltıda omlet yememişizdir. Verilen önerme pazar günleri dışında ne yediğimizle ilgili birşey söylemediği için bu önermeyle çelişen bir durum söz konusu değildir, dolayısıyla önerme doğru olur.

"İse" bağlacının "veya" bağlacı cinsinden yazıldığı indirgenmiş hali aşağıdaki gibidir.

İse Bağlacının Değili

"İse" bileşik önermesinin değilini, yukarıdaki "veya" bileşik önermesini ve De Morgan kuralını kullanarak bulabiliriz.

İse Bağlacı İşlem Özellikleri

"İse" işleminin değişme özelliği yoktur.

"İse" işleminin birleşme özelliği yoktur.

"İse" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.

"İse" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.

"İse" işleminin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

İse Bağlacı İşlem Kuralları

"İse" bağlacı ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir.

SORU:

Aşağıdaki bileşik önermenin her zaman doğru olduğunu gösterelim.

\( (p \Rightarrow q) \lor (p \lor q) \)

Çözümü Göster


SORU:

\( p \): "Düzgün beşgenin iç açıları ölçüleri toplamı \( 540° \)'dir."

\( q \): "Karenin dört köşegeni vardır."

önermeleri için \( p \Rightarrow q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( (q \Rightarrow p)' \land q' \)

bileşik önermesinin en sade şekli nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( (p \Rightarrow q')' \land r \equiv 1 \) ise,

\( p \), \( q \), ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( (p \Rightarrow q)' \lor (q' \Rightarrow p)' \)

bileşik önermesinin en sade şekli nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( p: \) “51 asal sayıdır.”

\( q: \) “Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.”

olmak üzere,

\( p \Rightarrow q, \quad q \Rightarrow p, \quad p' \Rightarrow q', \quad q' \Rightarrow p' \)

bileşik önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( p \) ve \( q \) herhangi iki önerme olmak üzere,

\( (q \Rightarrow p)' \Rightarrow q \equiv 1 \)

olduğunu doğruluk tablosu kullanmadan gösteriniz.

Çözümü Göster


SORU:

\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) olduğuna göre,

\( (p \Rightarrow q) \lor [q \Rightarrow (q \land p)] \) ifadesinin doğruluk değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( [r \Rightarrow (p \lor q)] \lor p \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

(a) \( p \equiv 0, q \equiv 0, r \equiv 1 \)

(b) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 1 \)

(c) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 0 \)

(d) \( p \equiv 1, q \equiv 0, r \equiv 1 \)

(e) \( p \equiv 1, q \equiv 1, r \equiv 1 \)

Çözümü Göster


SORU:

\( (p \veebar p) \Rightarrow (q \veebar q') \) bileşik önermesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) ve \( y \) gerçel sayıları için,

\( p: x \neq 1 \)

\( q: y = 2 \)

\( r: xy - y = 2x - 2 \)

\( t: y \in \mathbb{R} \)

olduğuna göre,

I. \( (p \land r) \Rightarrow q \)

II. \( (p' \land r) \Rightarrow t \)

III. \( (q \land r) \Rightarrow p \)

önermelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) bir gerçel sayı olmak üzere,

\( p: x \in \mathbb{Z} \)

\( q: \abs{x} \ge 4 \)

\( r: x \lt -1 \)

önermeleri veriliyor.

\( (p \Rightarrow q) \lor r \) önermesi yanlış olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

p: 90 sayısı 2'ye tam bölünür.

q: 90 sayısı 3'e tam bölünür.

r: 90 sayısı 6'ya tam bölünür.

olduğuna göre \( (p \land q) \Rightarrow r \) önermesinin sözel ifadesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

"\( x \) sayısının mutlak değeri 1 ise \( x \)'in değeri 1'dir veya -1'dir." ifadesi mantık sembolleri ile nasıl yazılabilir?

Çözümü Göster


SORU:

"x ve y birer doğal sayı ise x + y toplamı bir doğal sayıdır." ifadesi mantık sembolleri ile nasıl yazılabilir?

Çözümü Göster

Koşullu Önermelerin Tersi/Karşıtı/Karşıt Tersi

Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler yer değiştirir, karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır. Buna göre, bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi aşağıdaki gibidir.

Bir koşulluk önerme, karşıt tersine denktir.

Ters, karşıt ve karşıt ters önermelere aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.

Bir önermenin karşıt tersine denk olması kuralının burada da geçerli olduğunu görebiliriz. Bir şekil kare ise o şekil aynı zamanda bir dörtgendir. Bu önermenin tersi ve karşıtı olan önermeler her zaman doğru olmasa da, karşıt tersi her zaman doğrudur, yani bir şekil dörtgen değilse, o şeklin bir kare de olamayacağını söyleyebiliriz.

SORU:

\( (x \ge 0) \Rightarrow (\abs{x} = x)\)

koşullu önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin tersi, karşıtı ve karşıt tersi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( p \Rightarrow (q' \land r) \) önermesinin tersi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

I. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin tersi \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.

II. \( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin karşıtı \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.

III. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin karşıt tersi \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir.

IV. Bir koşullu önerme ile karşıtı birbirine denktir.

Yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?

Çözümü Göster


SORU:

\( (x = -2) \Rightarrow (x^2 = 4) \) önermesinin karşıt tersi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( p \Rightarrow q \) önermesinin karşıtı \( r \) ve karşıt tersi \( s \) önermesi olduğuna göre, \( r \lor s \) ifadesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( p: (a \ge b) \Rightarrow (c \ge d) \)

\( q: (a \ge b) \lor (m \lt n) \)

Yukarıdaki önermelerin doğru olduğu biliniyorsa aşağıdaki hükümlerden hangisi ya da hangileri çıkarılabilir?

I. \( (a \lt b) \Rightarrow (c \gt d) \)

II. \( (c \lt d) \Rightarrow (m \lt n) \)

III. \( (c \ge d) \Rightarrow (m \gt n) \)

IV. \( (m \lt n) \Rightarrow (a \gt b) \)

V. \( (m \ge n) \Rightarrow (c \lt d) \)

Çözümü Göster

Gerektirme

Doğruluk değeri 1 olan koşullu önermelere gerektirme denir.

SORU:

Aşağıdakilerden hangisi bir gerektirmedir?

(a) Terli su içersen hasta olursun.

(b) Bugün cuma ise yarın cumartesidir.

(c) Bir sayı asal ise tek sayıdır.

(d) Çok çalışırsanız çok para kazanırsınız.

(e) Markete gittiyse süt almıştır.

Çözümü Göster

Yeterli ve Gerekli Koşullar

Bir "\( p \) ise \( q \)" koşullu önermesinde \( p \)'ye \( q \) için yeterli koşul, \( q \)'ya \( p \) için gerekli koşul denir.

Buna örnek olarak aşağıdaki koşullu önermeyi verebiliriz.

Bu bileşik önermeden aşağıdaki iki koşulu çıkarabiliriz.

  • \( a \) sayısının 9'a tam bölünebilmesi 3'e tam bölünebilmesi için yeterli bir koşuldur. Bir diğer ifadeyle, \( a \) sayısının 9'a tam bölünebildiğini biliyorsak, kontrol etmemize gerek kalmadan 3'e tam bölünebildiğini doğru kabul edebiliriz.
  • \( a \) sayısının 3'e tam bölünebilmesi 9'a tam bölünebilmesi için gerekli bir koşuldur. Bir diğer ifadeyle, \( a \) sayısının 3'e tam bölünebilmesi 9'a tam bölünebilmesi için yeterli değildir, ama gereklidir. Dolayısıyla bir sayının 3'e tam bölünmediğini biliyorsak, kontrol etmemize gerek kalmadan 9'a tam bölünemeyeceğini söyleyebiliriz.

Yeterli ve gerekli koşulları aşağıdaki şekilde özetleyebiliriz.

  • Bir \( p \) önermesi diğer bir \( q \) önermesi için yeterli bir koşul ise \( p \) önermesinin doğru olması \( q \) önermesinin de doğru olması anlamına gelir.
  • Bir \( q \) önermesi diğer bir \( p \) önermesi için gerekli bir koşul ise \( q \) önermesinin yanlış olması \( p \) önermesinin de yanlış olması anlamına gelir.

« Önceki
Ya Da Bağlacı
Sonraki »
Ancak ve Ancak Bağlacı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır