\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme ya da "\( p \) ise \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Rightarrow q \)" şeklinde gösterilir.
"\( p \) ise \( q \)" bileşik önermesi, \( p \) önermesini doğru kabul ediyorsak \( q \) önermesini de doğru kabul etmemiz gerektiği anlamına gelir.
\( p \Rightarrow q \) önermesi; \( p \) doğru ve \( q \) yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
\( p \Rightarrow q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
"İse" bağlacının farklı doğruluk durumlarını bir örnek üzerinden inceleyelim.
Bir "ise" bileşik önermesi aşağıdaki şekilde "veya" bileşik önermesine dönüştürülebilir. Buna göre bu iki bileşik önerme birbirine denktir.
"İse" bileşik önermesinin değili, denk olduğu "veya" bileşik önermesi ve De Morgan kuralı kullanılarak bulunabilir.
"İse" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.
"İse" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.
"İse" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
SORU 2:
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) olduğuna göre,
\( (p \Rightarrow q) \lor [q \Rightarrow (q \land p)] \) ifadesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster
Verilen doğruluk değerlerini verilen ifadede yerine koyalım.
\( (p \Rightarrow q) \lor [q \Rightarrow (q \land p)] \)
\( \equiv (1 \Rightarrow 0) \lor [0 \Rightarrow (0 \land 1)] \)
\( \equiv 0 \lor (0 \Rightarrow 0) \)
\( \equiv 0 \lor 1 \equiv 1 \) bulunur.
SORU 3:
\( p \): "Dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar."
\( q \): "Karenin dört köşegeni vardır."
önermeleri için \( p \Rightarrow q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlerde köşegenler birbirini ortaladığı için \( p \) önermesi doğrudur.
Karenin iki köşegeni olduğu için \( q \) önermesi yanlıştır.
\( (p \Rightarrow q) \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \) bulunur.
SORU 4:
\( p: \) “51 asal sayıdır.”
\( q: \) “Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.”
olmak üzere,
\( p \Rightarrow q, \quad q \Rightarrow p, \quad p' \Rightarrow q', \quad q' \Rightarrow p' \)
bileşik önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster
51 sayısı 3 ile tam bölünebildiği için asal değildir, dolayısıyla \( p \) önermesi yanlıştır.
Ardışık iki tam sayıdan biri çift olacağı için çarpımları çift sayı olur, dolayısıyla \( q \) önermesi doğrudur.
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadelerde yerine koyalım.
\( p \Rightarrow q \equiv (0 \Rightarrow 1) \equiv 1 \)
\( q \Rightarrow p \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \)
\( p' \Rightarrow q' \equiv (0' \Rightarrow 1') \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \)
\( q' \Rightarrow p' \equiv (1' \Rightarrow 0') \equiv (0 \Rightarrow 1) \equiv 1 \)
SORU 5:
\( (p \land q) \Rightarrow r \)
bileşik önermesinin değilinin doğruluk değeri 1 olduğuna göre,
\( p \), \( q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster
\( (p \land q) \Rightarrow r \) bileşik önermesinin değilinin doğruluk değeri 1 ise kendisinin doğruluk değeri 0'dır.
\( (p \land q) \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \land q \equiv 1, \quad r \equiv 0 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 1 \)
Buna göre üç önermenin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv q \equiv 1, \quad r \equiv 0 \)
SORU 6:
\( [r \Rightarrow (p \lor q)] \lor p \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
(a) \( p \equiv 0, q \equiv 0, r \equiv 1 \)
(b) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 1 \)
(c) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 0 \)
(d) \( p \equiv 1, q \equiv 0, r \equiv 1 \)
(e) \( p \equiv 1, q \equiv 1, r \equiv 1 \)
Çözümü Göster
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( r \Rightarrow (p \lor q) \equiv 0 \) ve \( p \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( r \equiv 1 \) ve \( p \lor q \equiv 0 \)
\( p \equiv 0 \) olduğu için \( q \equiv 0 \) olmalıdır.
\( p \equiv q \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)
Buna göre doğru cevap (a) olur.
SORU 7:
p: 90 sayısı 2'ye tam bölünür.
q: 90 sayısı 3'e tam bölünür.
r: 90 sayısı 6'ya tam bölünür.
olduğuna göre, \( (p \land q) \Rightarrow r \) önermesinin sözel ifadesi nedir?
Çözümü Göster
90 sayısı 2'ye ve 3'e tam bölünüyorsa 6'ya tam bölünür.
SORU 8:
"\( x \) sayısının mutlak değeri 1 ise \( x \)'in değeri 1 veya -1'dir." ifadesini mantık sembolleri kullanarak yazın.
Çözümü Göster
\( (\abs{x} = 1) \Rightarrow [(x = 1) \lor (x = -1)] \)
SORU 9:
"\( x \) ve \( y \) birer doğal sayı ise \( x + y \) toplamı bir doğal sayıdır." ifadesini mantık sembolleri kullanarak yazın.
Çözümü Göster
\( [(x \in \mathbb{N}) \land (y \in \mathbb{N})] \Rightarrow (x + y) \in \mathbb{N} \)
SORU 10:
\( (q \Rightarrow p)' \land q' \) bileşik önermesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (q \Rightarrow p)' \land q' \equiv (q' \lor p)' \land q' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q \land p') \land q' \)
"Ve" işleminin birleşme ve değişme özellikleri olduğu için parantezi kaldırıp önermelerin sırasını değiştirebiliriz.
\( \equiv q \land q' \land p' \)
\( \equiv 0 \land p' \equiv 0 \)
SORU 11:
\( (p \Rightarrow q')' \land r \equiv 1 \) ise,
\( p \), \( q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Rightarrow q')' \equiv 1 \) ve \( r \equiv 1 \)
\( (p \Rightarrow q')' \equiv 1 \) ise:
\( p \Rightarrow q' \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 1 \) ve \( q' \equiv 0 \)
\( q \equiv 1 \)
Buna göre önermelerin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv q \equiv r \equiv 1 \)
SORU 12:
\( (p \Rightarrow q)' \lor (q' \Rightarrow p)' \) bileşik önermesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster
"İse" bileşik önermelerini "veya" önermeleri olarak yazalım.
\( (p \Rightarrow q)' \lor (q' \Rightarrow p)' \equiv (p' \lor q)' \lor (q \lor p)' \)
Her iki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (p \land q') \lor (q' \land p') \)
"Ve" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (q' \land p) \lor (q' \land p') \)
Bu ifade "ve" işleminin "veya" işlemi üzerine dağılma özelliğinin uygulanmış hali olduğu için ifadeyi \( q' \) parantezine alalım.
\( \equiv q' \land (p \lor p') \)
\( \equiv q' \land 1 \equiv q' \)
SORU 13:
\( (q \Rightarrow p)' \Rightarrow q \equiv 1 \) olduğunu doğruluk tablosu kullanmadan gösteriniz.
Çözümü Göster
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (q \Rightarrow p)' \Rightarrow q \equiv (q' \lor p)' \Rightarrow q \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q \land p') \Rightarrow q \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (q \land p')' \lor q \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q' \lor p) \lor q \)
"Veya" işleminin birleşme ve değişme özellikleri olduğu için parantezi kaldırıp işlem sırasını değiştirebiliriz.
\( \equiv p \lor q' \lor q \)
\( \equiv p \lor 1 \equiv 1 \)
SORU 14:
\( p: x \in \mathbb{Z} \)
\( q: \abs{x} \ge 4 \)
\( r: x \lt -1 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p \Rightarrow q) \lor r \) önermesi yanlış olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \Rightarrow q \equiv 0 \) ve \( r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerlerine göre verilen önermeleri inceleyelim.
\( p \equiv 1 \) olduğu için \( x \in \mathbb{Z} \) olur.
\( q \equiv 0 \) olduğu için \( \abs{x} \lt 4 \) olur.
\( r \equiv 0 \) olduğu için \( x \ge -1 \) olur.
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ -1, 0, 1, 2, 3 \} \)
\( x \)'in alabileceği değerler toplamı 5'tir.
SORU 15:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( p: x + y = 1 \)
\( q: x \cdot y = 0 \)
\( r: x^2 - y^2 = 1 \)
önermeleri veriliyor.
\((q \land r) \Rightarrow p \) önermesinin yanlış olduğu bilindiğine göre, \( (x, y) \) sıralı ikilisini bulunuz.
Çözümü Göster
\( (q \land r) \Rightarrow p \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (q \land r) \equiv 1 \) ve \( p \equiv 0 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( q \equiv 1, \quad r \equiv 1 \)
Bu doğruluk değerlerine göre verilen önermeleri inceleyelim.
\( p \equiv 0 \) olduğu için \( x + y \ne 1 \) olur.
\( q \equiv 1 \) olduğu için \( x \cdot y = 0 \) olur.
\( r \equiv 1 \) olduğu için \( x^2 - y^2 = 1 \) olur.
Bu bilgiler doğrultusunda \( x \) ve \( y \) tam sayılarından en az biri 0'dır. Kareleri farkı 1 ise \( x^2 = 1 \) ve \( y = 0 \) olmalıdır. Toplamları 1 olmadığına göre \( x = -1 \) olur.
Buna göre, \( (x, y) = (-1, 0) \) bulunur.
SORU 16:
\( p: x \cdot y \cdot z \lt 0 \)
\( q: x^3 \cdot y^2 \gt 0 \)
\( r: x^2 \cdot z \gt 0 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p \Rightarrow q')' \land r \) önermesi doğru olduğuna göre, \( x, y, z \)'nin işaretleri nedir?
Çözümü Göster
\( (p \Rightarrow q')' \land r \equiv 1 \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (p' \lor q')' \land r \equiv 1 \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( (p \land q) \land r \equiv 1 \)
"Ve" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "ve" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( p \land q \land r \equiv 1 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv q \equiv r \equiv 1 \)
\( q \) doğru olduğuna göre \( x \) pozitiftir, \( r \) doğru olduğuna göre \( z \) pozitiftir, \( p \) doğru olduğuna göre \( y \) negatiftir.
\( x \gt 0, \quad y \lt 0, \quad z \gt 0 \)
SORU 17:
\( p' \lor r \equiv 1 \)
\( s \Rightarrow 0 \equiv 0 \)
önermeleri veriliyor.
\( [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor s) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( s \Rightarrow 0 \equiv 0 \) olduğuna göre \( s \) önermesi doğrudur.
\( s \equiv 1 \)
Doğruluk değeri sorulan önermeyi sadeleştirelim.
\( [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor s) \)
\( \equiv [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor 1) \)
\( \equiv [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land 1 \)
\( \equiv (p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)\)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (p' \lor q) \lor (q \lor r)\)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( \equiv p' \lor q \lor q \lor r \)
\( \equiv (q \lor q) \lor (p' \lor r) \)
\( \equiv q \lor 1 \equiv 1 \)
SORU 18:
\( (p' \lor q) \Rightarrow r \) önermesinin yanlış olduğu biliniyor.
Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( p \lor q \)
II. \( q \Rightarrow r \)
III. \( r \Rightarrow p \)
Çözümü Göster
\( (p' \lor q) \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \lor q \equiv 1 \) ve \( r \equiv 0 \)
\( p \) ve \( q \)'nun üç farklı doğruluk durumunda \( p' \lor q \equiv 1 \) olur.
\( (p \equiv q \equiv 1), (p \equiv q \equiv 0), (p \equiv 0, q \equiv 1) \)
Sorudaki önermelerin doğruluk değerlerini bu üç durum için değerlendirelim.
I. önerme ikinci durumda yanlış olur.
II. önerme \( q \equiv 1 \) olduğunda yanlış olur.
III. önerme \( r \equiv 0 \) olduğu için her zaman doğrudur.
Buna göre III. önerme her zaman doğrudur.
SORU 19:
\( (AB) \) iki basamaklı bir doğal sayıdır.
\( p \): \( (AB) \) bir asal sayıdır.
\( q \): \( (AB) \) bir çift sayıdır.
\( r \): \( A + B = 17 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p' \lor r') \lor (p \Rightarrow q) \equiv 0 \) olduğuna göre, \( 2A + 3B \) kaçtır?
Çözümü Göster
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (p' \lor r') \lor (p \Rightarrow q) \equiv 0 \) ise,
\( p' \lor r' \equiv 0 \) ve \( p \Rightarrow q \equiv 0 \)
\( p' \equiv 0, \quad p \equiv 1 \)
\( r' \equiv 0 , \quad r \equiv 1 \)
\( (p \Rightarrow q) \equiv (1 \Rightarrow q) \equiv 0 \)
\( q \equiv 0 \)
\( p \) ve \( r \) önermeleri doğru, \( q \) önermesi yanlıştır.
Buna göre, \( (AB) \) asal sayıdır ve tektir, ayrıca \( A + B = 17 \) olur.
Toplamları 17 olan iki rakam 9 ve 8'dir.
Verilen koşulları sağlayan \( (AB) \) sayısı \( 89 \) olur.
\( A = 8, \quad B = 9 \)
\( 2A + 3B = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 43 \) bulunur.
SORU 20:
Atakan, Berkay, Sena ve Kutay; babaannelerinin misafirler için yaptığı pastayı kimlerin yediği ile ilgili olarak aşağıdakileri söylüyorlar.
\( p \): Atakan: "Yiyenlerden biri Berkay'dı."
\( q \): Berkay: "Yiyenlerden biri Atakan'dı."
\( r \): Sena: "Yiyenler 2 kişiydi."
\( s \): Kutay: "Ben yemedim."
\( p' \lor s \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0 \) olduğuna göre, pastayı kimler yemiştir?
Çözümü Göster
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \lor s \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0 \) ise,
\( p' \equiv 0, \quad p \equiv 1 \)
\( s \equiv 0 \)
\( q' \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( q' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
\( r \equiv 0 \)
Verilen önermelerin doğruluk değerleri özetle aşağıdaki gibidir.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv r \equiv s \equiv 0 \)
Buna göre Atakan doğru söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biri Berkay'dır.
Berkay yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biri Atakan değildir.
Sena yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyen kişi sayısı 2 değildir.
Kutay yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biridir.
Berkay ve Kutay'ın pastadan yediği ve yiyen kişi sayısının 2 olmadığı bilindiğine göre, Sena da pastadan yemiştir.
O halde pastayı yiyenler Berkay, Sena ve Kutay'dır.
SORU 21:
Aşağıdaki ifadenin \( (p \land q) \Rightarrow r \) ifadesine denk olduğunu gösterin.
\( (p \land r') \Rightarrow q' \)
Çözümü Göster
\( (p \land r') \Rightarrow q' \)
"İse" ifadesini "veya" ifadesi şeklinde yazalım.
\( (p \land r')' \lor q' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( p' \lor (r')' \lor q' \)
\( p' \lor r \lor q' \)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p' \lor q') \lor r \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını tersten uygulayalım.
\( (p \land q)' \lor r \)
"Veya" ifadesini "ise" ifadesi şeklinde yazalım.
\( (p \land q) \Rightarrow r \)
Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi; koşullu önermeden türetilen üç farklı koşullu önermedir.
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler aralarında yer değiştirir, karşıt tersinde ise önermeler hem aralarında yer değiştirir, hem de önermelerin değilleri alınır.
Aşağıdaki tabloda bir koşullu önerme, tersi, karşıtı ve karşıt tersi için doğruluk değerleri verilmiştir.
Bu tablodan da görülebileceği üzere, bir koşulluk önerme karşıt tersine denktir.
Yukarıda verdiğimiz örneği kullanırsak, bir şekil kare ise o şekil aynı zamanda bir dörtgendir. Bu önermenin tersi ve karşıtı olan önermeler her zaman doğru olmasa da, karşıt tersi her zaman doğrudur, yani bir şekil dörtgen değilse şekil bir kare olamaz.
SORU 22:
Aşağıda verilen sözlü koşullu önermelerin tersini, karşıtını ve karşıt tersini bulun.
(a) Eğer çimleri biçersen sana 100 TL veririm.
(b) İyilik yaparsan iyilik bulursun.
(c) Kar yağıyorsa mevsim kıştır.
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler aralarında yer değiştirir, karşıt tersinde ise önermeler hem aralarında yer değiştirir, hem de önermelerin değilleri alınır.
(a) seçeneği:
Önerme: Eğer çimleri biçersen sana 100 TL veririm.
Tersi: Eğer çimleri biçmezsen sana 100 TL vermem.
Karşıtı: Eğer sana 100 TL verirsem çimleri biçersin.
Karşıt tersi: Eğer sana 100 TL vermezsem çimleri biçmezsin.
(b) seçeneği:
Önerme: İyilik yaparsan iyilik bulursun.
Tersi: İyilik yapmazsan iyilik bulmazsın.
Karşıtı: İyilik bulursan iyilik yaparsın.
Karşıt tersi: İyilik bulmazsan iyilik yapmazsın.
(c) seçeneği:
Önerme: Kar yağıyorsa mevsim kıştır.
Tersi: Kar yağmıyorsa mevsim kış değildir.
Karşıtı: Mevsim kışsa kar yağıyordur.
Karşıt tersi: Mevsim kış değilse kar yağmıyordur.
SORU 23:
\( (x \ge 0) \Rightarrow (\abs{x} = x)\)
koşullu önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız.
Çözümü Göster
Koşullu önermenin tersi ön ve art bileşenlerin değilleri alınarak elde edilir.
Tersi: \( (x \lt 0) \Rightarrow (\abs{x} \ne x) \)
Koşullu önermenin karşıtı ön ve art bileşenlerin aralarında yer değiştirilmesiyle elde edilir.
Karşıtı: \( (\abs{x} = x) \Rightarrow (x \ge 0) \)
Koşullu önermenin karşıt tersi önermenin hem tersi hem de karşıtı alınarak elde edilir.
Karşıt tersi: \( (\abs{x} \ne x) \Rightarrow (x \lt 0) \)
SORU 24:
\( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin tersi, karşıtı ve karşıt tersi nedir?
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır.
\( p \Rightarrow q' \)
Bir koşullu önermenin karşıtında önermeler yer değiştirir.
\( q \Rightarrow p' \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( q' \Rightarrow p \)
SORU 25:
\( p \Rightarrow (q' \land r) \) önermesinin tersi nedir?
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır.
\( p' \Rightarrow (q' \land r)' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( p' \Rightarrow (q \lor r') \)
SORU 26:
I. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin tersi \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.
II. \( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin karşıtı \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.
III. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin karşıt tersi \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir.
IV. Bir koşullu önerme ile karşıtı birbirine denktir.
Yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler yer değiştirir, karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin tersi \( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesidir. I. önerme yanlıştır.
\( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin karşıtı \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir. II. önerme yanlıştır.
\( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin karşıt tersi \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir. III. önerme doğrudur.
Bir koşullu önerme ile karşıtı değil, karşıt tersi birbirine denktir. IV. önerme yanlıştır.
Buna göre sadece III. önerme doğrudur.
SORU 27:
\( (x = -2) \Rightarrow (x^2 = 4) \) önermesinin karşıt tersi nedir?
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( (x^2 = 4)' \Rightarrow (x = -2)' \)
\( (x^2 \ne 4) \Rightarrow (x \ne -2) \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersine denk olduğunu yukarıdaki iki önermeyi sözel ifade ederek de teyit edebiliriz.
Koşullu önerme: \( x = -2 \) ise karesi 4'tür.
Karşıt tersi: \( x \)'in karesi 4 değilse \( x = -2 \) değildir.
SORU 28:
\( p \Rightarrow q \) önermesinin karşıtı \( r \) ve karşıt tersi \( s \) önermesi olduğuna göre, \( r \lor s \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Bir koşullu önermenin karşıtında önermeler yer değiştirir.
\( r \equiv q \Rightarrow p \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( s \equiv q' \Rightarrow p' \)
Buna göre \( r \lor s \) ifadesi aşağıdaki gibi olur.
\( r \lor s \equiv (q \Rightarrow p) \lor (q' \Rightarrow p') \)
Bu bileşik önermenin doğruluk tablosunu oluşturduğumuzda sonucun her zaman 1 olduğunu görürüz.
| \( p \) |
\( q \) |
\( q \Rightarrow p \) |
\( q' \Rightarrow p' \) |
\( (q \Rightarrow p) \lor (q' \Rightarrow p') \) |
| \( 1 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
| \( 1 \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
| \( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
| \( 0 \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
\( 1 \) |
SORU 29:
\( p: (a \ge b) \Rightarrow (c \ge d) \)
\( q: (a \ge b) \lor (m \lt n) \)
Yukarıdaki iki önermenin doğru olduğu biliniyorsa aşağıdaki önermelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( (a \lt b) \Rightarrow (c \lt d) \)
II. \( (c \lt d) \Rightarrow (m \lt n) \)
III. \( (c \ge d) \Rightarrow (m \ge n) \)
IV. \( (m \lt n) \Rightarrow (a \ge b) \)
V. \( (m \ge n) \Rightarrow (c \lt d) \)
Çözümü Göster
Verilen iki önerme doğru olduğuna göre aşağıdaki iki durumdan biri geçerlidir.
- \( a \ge b \equiv 1 \): Bu durumda \( c \ge d \) doğru olur, \( m \lt n \) doğru ya da yanlış olabilir.
- \( a \ge b \equiv 0 \): Bu durumda \( c \ge d \) doğru ya da yanlış olabilir, \( m \lt n \) doğru olur.
Verilen öncülleri her iki durum için inceleyelim.
I. öncül: \( (a \lt b) \Rightarrow (c \lt d) \)
Birinci durumda \( a \lt b \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( a \lt b \) doğru olur, \( c \lt d \) doğru ya da yanlış olabilir, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre I. öncül her zaman doğru olmaz.
II. öncül: \( (c \lt d) \Rightarrow (m \lt n) \)
Birinci durumda \( c \lt d \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( m \lt n \) doğru olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
Buna göre II. öncül her zaman doğru olur.
III. öncül: \( (c \ge d) \Rightarrow (m \ge n) \)
Birinci durumda \( c \ge d \) doğru olur, \( m \ge n \) doğru ya da yanlış olabilir, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
İkinci durumda \( c \ge d \) doğru ya da yanlış olabilir, \( m \ge n \) yanlış olur, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre III. öncül her zaman doğru olmaz.
IV. öncül: \( (m \lt n) \Rightarrow (a \ge b) \)
Birinci durumda \( a \ge b \) doğru olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( m \lt n \) doğru, \( a \ge b \) yanlış olur, dolayısıyla öncül yanlış olur.
Buna göre IV. öncül her zaman doğru olmaz.
V. öncül: \( (m \ge n) \Rightarrow (c \lt d) \)
Birinci durumda \( m \ge n \) doğru ya da yanlış olabilir, \( c \lt d \) yanlış olur, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
İkinci durumda \( m \ge n \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
Buna göre V. öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
Yeterli ve gerekli koşullara aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
Bu bileşik önermeden aşağıdaki iki koşulu çıkarabiliriz.