\( p \) ile \( q \) önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye "\( p \) veya \( q \)" önermesi denir ve "\( p \lor q \)" şeklinde gösterilir.
"Veya" bileşik önermesi; bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış, bu önermelerin en az biri doğru olduğunda doğru olur.
\( p \lor q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( p \lor q \) bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
| Bileşik Önerme | Doğruluk Değeri | Açıklama |
|---|---|---|
| Eiffel kulesi Paris'tedir VEYA Paris Fransa'nın başkentidir. | \( 1 \lor 1 \equiv 1 \) | Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme de doğrudur. |
| \( 8 \cdot 4 = 32 \) VEYA \( 2 \cdot 2 = 5 \) | \( 1 \lor 0 \equiv 1 \) | Önermelerden en az biri doğru olduğu için "veya" bileşik önermesi de doğrudur. |
| Dünya Ay'ın uydusudur VEYA Ay Dünya'nın uydusudur. | \( 0 \lor 1 \equiv 1 \) | Önermelerden en az biri doğru olduğu için "veya" bileşik önermesi de doğrudur. |
| Bir hafta 5 gündür VEYA Haftanın ilk günü çarşambadır. | \( 0 \lor 0 \equiv 0 \) | Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır. |
Üç önermeden oluşan \( p \lor q \lor r \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \lor q \lor r \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir. Bu kural aynı zamanda De Morgan kuralları olarak bilinen kurallardan biridir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
\( (p \lor q \lor r)' \equiv p' \land q' \land r' \)
\( p \): Ece Almanya'da doğdu.
\( q \): Ece'nin annesi Alman.
\( p \lor q \): Ece Almanya'da doğdu veya annesi Alman.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \): Ece Almanya'da doğmadı ve annesi Alman değil.
"Veya" işleminin değişme özelliği vardır.
"Veya" işleminin birleşme özelliği vardır.
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p \lor q) \lor (r \lor s) \)
\( \equiv p \lor (q \lor r) \lor s \)
\( \equiv p \lor q \lor r \lor s \)
\( \equiv s \lor q \lor p \lor r \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \)
\( (p \land q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (q \lor r) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde dağılma özelliği aşağıdaki dört önermeli durumda da geçerlidir.
\( (p \land q) \lor (r \land s) \equiv \) \( (p \lor r) \land (p \lor s) \land (q \lor r) \land (q \lor s) \)
"Veya" işleminin "ya da" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \lor (q \veebar r) \not\equiv (p \lor q) \veebar (p \lor r) \)
\( (p \veebar q) \lor r \not\equiv (p \lor r) \veebar (q \lor r) \)
"Veya" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
"Veya" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
\( p \lor p \equiv p \)
\( p \lor p' \equiv 1 \)
\( p \lor 1 \equiv 1 \)
\( p \lor 0 \equiv p \)
"Ve" ve "veya" bağlaçlarını birlikte içeren bir bileşik önermede parantezlerin yeri önemlidir ve parantezler kaldırılarak işlem sırası değiştirilemez. Aşağıda parantezlerin yerinin değiştirilmesinin önermenin doğruluk değerini değiştirebileceğine dair bir örnek verilmiştir.
\( p \equiv 0, \quad q \equiv r \equiv 1 \) ise,
\( (p \land q) \lor r \equiv (0 \land 1) \lor 1 \equiv 1 \)
\( p \land (q \lor r) \equiv 0 \land (1 \lor 1) \equiv 0 \)
\( (p \lor q') \lor r' \equiv 0 \) ise,
\( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster\( (p' \lor q) \land p \) önermesi doğru olduğuna göre,
\( p \lor q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster\( p \lor q' \equiv 0 \) olduğuna göre,
\( p' \land q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster\( p' \land q' \equiv 1 \) olduğuna göre,
\( p \land (p' \lor q) \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster\( p \land q' \equiv 1 \)
\( p' \lor r \equiv 0 \)
olduğuna göre, \( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster\( [p' \land (q' \lor q)]' \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( p \land q' \equiv 1 \) ve \( r' \lor s \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerini bulunuz.
(a) \( (p \land q) \lor r \)
(b) \( (p \land q) \lor (r \land s) \)
Çözümü GösterAşağıdaki bileşik önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?
I. \( 1 \land 1 \land \ldots \land 1 \land 0 \)
II. \( 0 \land 0 \land \ldots \land 0 \land 1 \)
III. \( 1 \lor 1 \lor \ldots \lor 1 \lor 0 \)
IV. \( 0 \lor 0 \lor \ldots \lor 0 \lor 1 \)
Çözümü Göster\( (p \land q')' \lor (p' \lor q') \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
(a) \( (p \lor p') \land p \)
(b) \( (p \lor p')' \land p \)
(c) \( (p \land p') \lor (q \land q') \)
(d) \( p \lor (0 \land q)' \)
(e) \( (p' \lor q)' \land p \)
Çözümü Göster\( p: x = 3 \)
\( q: x^2 = 9 \)
olduğuna göre, \( p \lor q \) önermesinin olumsuzu nedir?
Çözümü Göster\( p: x = 0 \)
\( q: y = 0 \)
olduğuna göre,
\( r: \abs{x} + \abs{y} \gt 0 \)
\( s: x \cdot y = 0 \)
önermelerinden hangileri her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için \( p \lor q \) önermesine denktir?
Çözümü Göster\( [p' \lor (p \land q')] \land (p \land q')' \) önermesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir masada bir yeşil, bir mor ve bir mavi boncuk vardır. Bu boncuklar 1, 2 ve 3 numaralı torbalara her torbada bir boncuk olacak şekilde konuluyor ve aşağıdaki önermeler veriliyor.
\( p \): 1. torbada yeşil boncuk yoktur.
\( q \): 2. torbada mor boncuk vardır.
\( r \): 3. torbada mavi boncuk yoktur.
\( p \land (q \lor r)' \) önermesi doğru olduğuna göre, 1., 2. ve 3. torbalarda sırasıyla hangi renk boncuklar vardır?
Çözümü Göster