Niceleyiciler
Konu tekrarı için: Bileşik Önerme | Açık Önerme
"Ve", "veya", "ise" gibi bağlaçlar kullanılarak oluşturulan bileşik önermeler, önermelerin sayısı arttıkça oldukça uzun ifadelere dönüşebilmektedir. Örnek olarak, "bir sınıftaki her öğrencinin bir üniversiteye yerleştiğini" ifade eden bir önermeyi sembolik formda yazmak istediğimizi düşünelim.
\( A = \{\text{Ali}, \text{Ezo}, \ldots, \text{Tan}\} \)
\( s(A) = 30 \)
\( P(x): x \text{ bir üniversiteye yerleşti.} \)
\( \underbrace{P(\text{Ali}) \land P(\text{Ezo}) \land \ldots \land P(\text{Tan})}_\text{30 önerme} \)
Bir bileşik önermenin sonsuz sayıda önerme içerdiği durumlar da olabilir. Örnek olarak, "karesi kendisine eşit olan en az bir doğal sayı bulunduğunu" ifade eden bir önermeyi sembolik formda yazmak istediğimizi düşünelim.
\( Q(x): x = x^2 \)
\( Q(0) \lor Q(1) \lor Q(2) \lor Q(3) \lor \ldots \)
Niceleyeciler, bu tarz sonlu ya da sonsuz sayıda elemandan oluşan kümelerin her bir elemanı için ayrı bir önerme içeren bileşik önermeleri kısa ve pratik bir gösterim kullanarak oluşturmamıza imkan sağlar.
En sık kullanılan iki niceleyici, aşağıda detaylı inceleyeceğimiz "her" ve "bazı" niceleyicileridir.
Her Niceleyicisi (\( \forall \))
"Her" niceleyicisi, bir kümenin "her bir elemanı/tüm elemanları için" belirli bir önermenin doğru olduğunu göstermek için kullanılır ve "\( \forall \)" sembolü ile gösterilir (ters "A" harfi). Bu niceleyiciye evrensel niceleyici de denir.
\( \forall x \in A, P(x) \)
önermesi, \( A \) kümesinin elemanı olan her \( x \) değeri için \( P(x) \) açık önermesinin doğru olduğunu ifade eder.
Her reel sayının ters işaretlisi ile toplamı 0'dır.
\( \forall x \in \mathbb{R}, x + (-x) = 0 \)
\( A \) tüm kuşların kümesi olmak üzere,
Her kuşun kanatları vardır.
\( \forall a \in A, a \text{'nın kanatları vardır.} \)
Her tam sayı tek veya çifttir.
\( \forall x \in \mathbb{Z}, (a \text{ tektir} \lor a \text{ çifttir.}) \)
Bir niceleyicinin değişkeninin alabileceği tüm değerleri belirleyen kümeye niceleyicinin çalışma evreni, bu kümenin her elemanı için doğru olduğu ifade edilen açık önermeye niceleyicinin yüklemi denir.
Bir "her" niceleyicisi; yüklemi çalışma evrenindeki tüm elemanlar için doğru olduğunda doğru olur, elemanlardan en az biri için yanlış olduğunda ise yanlış olur. Buna göre bir "her" niceleyicisinin yanlış olduğunu göstermek için tek bir eleman için yanlış olduğunu göstermemiz yeterlidir.
"Her" niceleyicisi çalışma evreninin her elemanı için yüklem doğru olduğunda doğru olduğu için, açılımı "ve" bağlacı ile birbirine bağlı önermeler şeklinde yazılabilir.
\( A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \)
\( \forall x \in A, P(x) \)
\( \equiv P(a_1) \land P(a_2) \land \ldots \land P(a_n) \)
Tüm kedigiller memelidir.
\( K = \{\text{Puma}, \text{Kaplan}, \ldots, \text{Çita}\} \)
\( P(x) = x \text{ memelidir.} \)
\( \forall x \in K, P(x) \)
\( \equiv P(\text{Puma}) \land P(\text{Kaplan}) \land \ldots \land P(\text{Çita}) \)
"Her" niceleyicisinin "ve" işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
"Her" niceleyicisinin aşağıdaki iki gösterimi birbirine denktir.
\( \forall x \in A, P(x) \)
\( \forall x, (x \in A \Rightarrow P(x)) \)
Bazı Niceleyicisi (\( \exists \))
"Bazı" niceleyicisi, bir kümenin "en az bir elemanı/bazı elemanları için" belirli bir önermenin doğru olduğunu göstermek için kullanılır ve "\( \exists \)" sembolü ile gösterilir (ters "E" harfi). Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici de denir.
\( \exists x \in A, P(x) \)
önermesi, \( A \) kümesinin elemanı olan en az bir \( x \) değeri için \( P(x) \) açık önermesinin doğru olduğunu ifade eder.
Bazı reel sayılar karesinden büyüktür.
\( \exists x \in \mathbb{R}, x \gt x^2 \)
\( A \) bir sınıftaki öğrencilerin kümesi olmak üzere,
Sınıftaki bazı öğrenciler gözlük kullanır.
\( \exists a \in A, a \text{ gözlük kullanır.} \)
Bazı tam sayılar 5'e ve 7'ye tam bölünür.
\( \exists x \in \mathbb{Z}, (5 \mid x \land 7 \mid x) \)
Bir "bazı" niceleyicisi; yüklemi çalışma evrenindeki en az bir eleman için doğru olduğunda doğru olur, elemanların tümü için yanlış olduğunda ise yanlış olur. Buna göre bir "bazı" niceleyicisinin doğru olduğunu göstermek için tek bir eleman için doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir.
"Bazı" niceleyicisi çalışma evreninin en az bir elemanı için yüklem doğru olduğunda doğru olduğu için, açılımı "veya" bağlacı ile birbirine bağlı önermeler şeklinde yazılabilir.
\( A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \)
\( \exists x \in A, P(x) \)
\( \equiv P(a_1) \lor P(a_2) \lor \ldots \lor P(a_n) \)
Mısra haftanın bazı günleri spora gider.
\( A = \{\text{Pazartesi}, \text{Salı}, \ldots, \text{Pazar}\} \)
\( P(x) = x \text{ günü Mısra spora gider.} \)
\( \exists x \in A, P(x) \)
\( \equiv P(\text{Pazartesi}) \lor P(\text{Salı}) \lor \ldots \lor P(\text{Pazar}) \)
"Bazı" niceleyicisinin "veya" işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
"Bazı" niceleyicisinin aşağıdaki iki gösterimi birbirine denktir.
\( \exists x \in A, P(x) \)
\( \exists x, (x \in A \land P(x)) \)
Niceleyecilere bu ismin verilme sebebi, kendi başlarına doğruluk değeri olmayan yüklemlerin değişkenlerine birer değer ataması yaparak (nicelik katarak) yüklemlere doğruluk değeri kazandırmalarıdır.
Benzersizlik Niceleyicisi (\( \exists! \))
Benzersizlik niceleyicisi, bir kümenin "yalnızca bir elemanı için" belirli bir önermenin doğru olduğunu göstermek için kullanılır ve "\( \exists! \)" sembolü ile gösterilir.
\( \exists! x \in A, P(x) \)
önermesi, \( A \) kümesinin elemanı olan yalnız bir \( x \) değeri için \( P(x) \) açık önermesinin doğru olduğunu ifade eder.
2 katı 4 olan tek bir sayı vardır.
\( \exists! x \in \mathbb{R}, 2x = 4 \)
Bir benzersizlik niceleyicisi; yüklemi çalışma evrenindeki yalnız bir eleman için doğru olduğunda doğru olur, sıfır ya da birden fazla eleman için doğru olduğunda ise yanlış olur.
Niceleyicilerin Değili
Bir \( \forall \) önermesinin değilini almak için niceleyici \( \exists \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin yükleminin değili alınır.
Bir \( \exists \) önermesinin değilini almak için niceleyici \( \forall \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin yükleminin değili alınır.
Niceleyicilerin değili alınırken çalışma evrenindeki "elemanıdır" sembolü "elemanı değildir" sembolüne çevrilmemelidir.
\( \forall x \in A, P(x) \) önermesinin değili:
DOĞRU: \( \exists x \textcolor{red}{\in} A, P'(x) \)
HATALI: \( \exists x \textcolor{red}{\notin} A, P'(x) \)
Niceleyicilerin değillerine aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
| Önerme | Değili |
|---|---|
|
\( \forall a \in \mathbb{R}, a \cdot 1 = a \) Her reel sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. |
\( \exists a \in \mathbb{R}, a \cdot 1 \ne a \) En az bir reel sayının 1 ile çarpımı kendisine eşit değildir. |
|
\( \exists x \in \mathbb{Z}, x = \abs{x} \) Bazı tam sayılar mutlak değerine eşittir. |
\( \forall x \in \mathbb{Z}, x \ne \abs{x} \) Her tam sayı mutlak değerinden farklıdır. |
|
\( \exists x \in A, (x \text{'in cep telefonu var} \land x \text{'in tableti var}) \) Sınıfta bazı kişilerin cep telefonu ve tableti var. |
\( \forall x \in A, (x \text{'in cep telefonu var} \land x \text{'in tableti var})' \) \( \equiv \forall x \in A, (x \text{'in cep telefonu yok} \lor x \text{'in tableti yok}) \) Sınıfta herkesin cep telefonu yok veya tableti yok. |
|
\( \forall x \in \mathbb{R}, (x = 0 \lor x^2 \gt 0) \) Her reel sayı ya sıfıra eşittir ya da karesi pozitiftir. |
\( \exists x \in \mathbb{R}, (x = 0 \lor x^2 \gt 0)' \) \( \equiv \exists x \in \mathbb{R}, (x \ne 0 \land x^2 \le 0) \) Bazı reel sayılar sıfırdan farklıdır ve karesi pozitif değildir. |
\( \forall x, (P(x) \Rightarrow Q(x)) \) önermesinin değilini bulalım.
Önermenin değilini alalım.
\( (\forall x, (P(x) \Rightarrow Q(x)))' \)
Bir \( \forall \) önermesinin değilini almak için niceleyici \( \exists \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin yükleminin değili alınır.
\( \equiv \exists x, (P(x) \Rightarrow Q(x))' \)
"İse" önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv \exists x, (P'(x) \lor Q(x))' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv \exists x, (P(x) \land Q'(x)) \)
Çoklu Niceleyiciler
Birden fazla niceleyici birlikte kullanılarak çok değişkenli yüklemler içeren önermeler oluşturulabilir.
\( \forall x \in A, \forall y \in B, P(x, y) \)
\( \exists x \in A, \exists y \in B, P(x, y) \)
\( \forall x \in A, \exists y \in B, P(x, y) \)
\( \exists x \in A, \forall y \in B, P(x, y) \)
\( A = \{a, b\}, \quad B = \{1, 2\} \) olmak üzere,
\( \textcolor{red}{\forall x \in A}, \textcolor{blue}{\forall y \in B}, P(x, y) \)
\( \equiv (P(a, 1) \textcolor{blue}{\land} P(a, 2)) \textcolor{red}{\land} (P(b, 1) \textcolor{blue}{\land} P(b, 2)) \)
\( \textcolor{red}{\exists x \in A}, \textcolor{blue}{\exists y \in B}, P(x, y) \)
\( \equiv (P(a, 1) \textcolor{blue}{\lor} P(a, 2)) \textcolor{red}{\lor} (P(b, 1) \textcolor{blue}{\lor} P(b, 2)) \)
\( \textcolor{red}{\forall x \in A}, \textcolor{blue}{\exists y \in B}, P(x, y) \)
\( \equiv (P(a, 1) \textcolor{blue}{\lor} P(a, 2)) \textcolor{red}{\land} (P(b, 1) \textcolor{blue}{\lor} P(b, 2)) \)
\( \textcolor{red}{\exists x \in A}, \textcolor{blue}{\forall y \in B}, P(x, y) \)
\( \equiv (P(a, 1) \textcolor{blue}{\land} P(a, 2)) \textcolor{red}{\lor} (P(b, 1) \textcolor{blue}{\land} P(b, 2)) \)
Çoklu niceleyicilere aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
| Önerme | Açıklama |
|---|---|
| \( \forall a \in A, \forall b \in B, (a \text{ } b \text{'yi tanır.}) \) | A şubesindeki herkes B şubesindeki herkesi tanır. |
| \( \exists a \in A, \exists b \in B, (a \text{ } b \text{'yi tanır.}) \) | A şubesinden en az bir kişi B şubesinden en az bir kişiyi tanır. |
| \( \forall a \in A, \exists b \in B, (a \text{ } b \text{'yi tanır.}) \) | A şubesindeki herkes B şubesinden en az bir kişiyi tanır. |
| \( \exists a \in A, \forall b \in B, (a \text{ } b \text{'yi tanır.}) \) | A şubesinden en az bir kişi B şubesindeki herkesi tanır. |
| \( \forall x \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z}, (2x + 2y \text { çifttir.}) \) | Her \( x \) ve \( y \) tam sayısı için \( 2x + 2y \) çifttir. |
| \( \exists a \in A, \exists b \in B, (a \text{ } b \text{ kulübüne üyedir.}) \) | Bir sınıfta (\( A \) kümesi) en az bir öğrenci vardır ki, okuldaki kulüplerden (\( B \) kümesi) en az birine üyedir. |
| \( \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, (x^2 + y = 4) \) | Her \( x \) reel sayısı için, \( x^2 + y = 4 \) eşitliğini sağlayan en az bir \( y \) reel sayısı vardır. |
Aynı tipteki niceleyicilerin aralarında yer değiştirmesi ifadenin anlamını ve doğruluk değerini değiştirmez.
\( \textcolor{red}{\forall x}, \textcolor{blue}{\forall y}, P(x, y) \equiv \textcolor{blue}{\forall y}, \textcolor{red}{\forall x}, P(x, y) \)
\( \textcolor{red}{\exists x}, \textcolor{blue}{\exists y}, P(x, y) \equiv \textcolor{blue}{\exists y}, \textcolor{red}{\exists x}, P(x, y) \)
İSPATI GÖSTER
Farklı tipteki niceleyicilerin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilen ifade ise ilk ifadeye denk değildir.
\( \textcolor{red}{\forall x}, \textcolor{blue}{\exists y}, P(x, y) \not\equiv \textcolor{blue}{\exists y}, \textcolor{red}{\forall x}, P(x, y) \)
\( \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}}, \textcolor{blue}{\exists y \in \mathbb{R}}, x + y = 0 \)
Her \( x \) reel sayısı için, \( x \) ile toplamı 0 olan en az bir \( y \) reel sayısı vardır (DOĞRU).
\( \textcolor{blue}{\exists y \in \mathbb{R}}, \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}}, x + y = 0 \)
En az bir \( y \) reel sayısı vardır ki, her \( x \) reel sayısı ile toplamı 0'dır (YANLIŞ).
Çoklu niceleyici içeren önermelerin değilini almak için \( \forall \) niceleyicileri \( \exists \) niceleyicisine, \( \exists \) niceleyicileri \( \forall \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin yükleminin değili alınır.
\( (\forall x, \forall y, P(x, y))' \equiv \exists x, \exists y, P'(x, y) \)
\( (\exists x, \exists y, P(x, y))' \equiv \forall x, \forall y, P'(x, y) \)
\( (\forall x, \exists y, P(x, y))' \equiv \exists x, \forall y, P'(x, y) \)
\( (\exists x, \forall y, P(x, y))' \equiv \forall x, \exists y, P'(x, y) \)
"Sınıftaki tüm öğrenciler iyi İngilizce konuşur." önermesinin değili nedir?
Çözümü GösterI. \( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 4 = 0 \)
II. \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \gt 0 \)
III: \( \exists x \in \mathbb{R}, x \gt x^2 \)
önermelerinden hangileri doğrudur?
Çözümü Göster"Bazı tam sayıların 3 katı 7'den küçüktür." önermesini ve değilini mantık sembolleri kullanarak yazın.
Çözümü Göster\( p: \exists x \in \mathbb{Z}, \frac{\pi}{4} \lt x \lt \frac{\pi}{3} \)
\( q: \forall x \in \mathbb{R}, \frac{2x}{x} = 2 \)
\( r: \forall x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2} = x \)
olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0'dır?
(a) \( p \Rightarrow q \)
(b) \( r \Rightarrow q \)
(c) \( q \Leftrightarrow r \)
(d) \( p' \Leftrightarrow q \)
(e) \( p \Leftrightarrow r' \)
Çözümü Göster\( \exists x \in \mathbb{R}, \abs{x + 4} \gt 2 \) önermesinin değili nedir?
Çözümü Göster\( \forall x \in \mathbb{R}, (x \gt 1) \land (x \le 10) \) önermesinin değili nedir?
Çözümü Göster\( p: \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 + 2 \lt 11 \)
\( q: \exists x \in \mathbb{Z}, \abs{x + 2} \lt 3 \)
önermeleri veriliyor.
\( q \Rightarrow p' \equiv 0 \) koşulunu sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü GösterAşağıda verilen sözlü koşullu önermelerin tersini, karşıtını ve karşıt tersini bulun.
(a) Kanatlı tüm hayvanlar uçabiliyorsa bazı iki ayaklı hayvanlar yüzemez.
(b) Sınavda Kübra sınıftaki en yüksek notu aldıysa sınıftaki herkesten çok çalışmıştır.
(c) İnci'nin üç kardeşi de kendisinden büyükse evin en küçüğüdür.
Çözümü GösterAşağıda verilen sözlü önermelerin değillerini bulun.
(a) Ahmet her yemekten sonra tatlı yer ve çay veya kahve içer.
(b) Bazı insanlar geceleri en az üç kez tuvalete kalkar.
(c) Tüm kediler oyuncu ve meraklıdır.
Çözümü GösterAşağıda verilen sözlü önermelerin değillerini bulun.
(a) Bazı yunuslar nehirlerde yaşar ve her köpek balığı etoburdur.
(b) Bazı insanlar haftanın her günü spor yaparlar.
(c) Her sınıfta bazı öğrenciler takdir alır.
Çözümü Göster