"Her" sözcüğü bir kümenin "tüm elemanlarını" ifade eder ve "\( \forall \)" sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici de denir.
Bir \( p(x) \) açık önermesi ve \( x \)'in tanım kümesi olarak \( A \) verilmiş olsun.
\( A \) kümesinin her elemanı için \( p(x) \) doğru oluyorsa,
\( \forall x \in A, p(x) \equiv 1 \) yazabiliriz.
Her reel sayının karesi sıfır ya da pozitiftir:
\( \forall a \in \mathbb{R}, a^2 \ge 0 \)
\( A \) çift sayılar kümesi olmak üzere, her iki çift sayının çarpımı çifttir:
\( \forall a, b \in A, ab \in A \)
Her iki reel sayı için toplama işleminin değişme özelliği vardır:
\( \forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x \)
"Bazı" sözcüğü bir kümenin "en az bir elemanını" ifade eder ve "\( \exists \)" sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici de denir.
Bir \( p(x) \) açık önermesi ve \( x \)'in tanım kümesi olarak \( A \) verilmiş olsun.
\( A \) kümesinin en az bir elemanı için \( p(x) \) doğru oluyorsa,
\( \exists x \in A, p(x) \equiv 1 \) yazabiliriz.
Bazı sayılar karesinden büyüktür (\( \frac{1}{2} \gt \frac{1}{4} \)):
\( \exists x \in \mathbb{R}, x \gt x^2 \)
Bazı tam sayılar 7'ye tam bölünür:
\( \exists a \in \mathbb{Z}, \frac{a}{7} \in \mathbb{Z} \)
Niceleyici içeren önermeleri bağlaçlarla birleştirerek bileşik önermeler oluşturabiliriz.
\( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \lor \exists x \in \mathbb{Z}, 2x - 1 \ge 5 \)
Niceleyici içeren önermelerin de olumsuz önermelerini alabiliriz.
\( \forall \) niceleyicisi içeren bir önermenin değilini almak için niceleyici \( \exists \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin değili alınır.
\( (\forall x, p(x))' \equiv \exists x, p'(x) \)
"Her reel sayının 1'le çarpımı kendisine eşittir." niceleyicisinin değili "Bazı reel sayıların 1'le çarpımı kendisine eşit değildir." olur:
\( (\forall a \in \mathbb{R}, a \cdot 1 = a)' \)
\( \equiv \exists a \in \mathbb{R}, a \cdot 1 \ne a \)
\( \exists \) niceleyicisi içeren bir önermenin değilini almak için niceleyiciyi \( \forall \) niceleyicisine çevrilir ve önermenin değili alınır.
\( (\exists x, p(x))' \equiv \forall x, p'(x) \)
"Bazı pozitif tam sayıların karekökü pozitif tam sayı değildir." niceleyicisinin değili "Her pozitif tam sayının karekökü pozitif tam sayıdır." olur:
\( (\exists x \in \mathbb{Z^+},\sqrt{x} \notin \mathbb{Z^+})' \)
\( \equiv \forall x \in \mathbb{Z^+},\sqrt{x} \in \mathbb{Z^+} \)
Bunun dışında, De Morgan kurallarında gördüğümüz aşağıdaki iki kuralı da bu işlemlerde kullanmamız gerekebilir.
Bir "ve" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "veya" bileşik önermesine denktir.
\( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
Bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
Bir niceleyicinin içerebileceği aşağıdaki mantıksal ve matematiksel semboller birbirlerinin değilidir.
| Sembol 1 | Sembol 2 |
|---|---|
| \( \forall \) | \( \exists \) |
| \( \land \) | \( \lor \) |
| \( = \) | \( \neq \) |
| \( \lt \) | \( \ge \) |
| \( \le \) | \( \gt \) |
Niceleyicilerin değillerini aşağıdaki şekilde örneklendirebiliriz:
| Önerme | Önermenin Değili |
|---|---|
| \( \forall x \in \mathbb{Z}, 2x \text{ çift sayıdır.} \) | \( \exists x \in \mathbb{Z}, 2x \text{ çift sayı değildir.} \) |
| \( \exists x \in \mathbb{R}, x \gt x^2 \) | \( \forall x \in \mathbb{R}, x \le x^2 \) |
| \( \forall x, x \text{ bir dikdörtgendir} \) veya \( \exists x, x \text{ bir karedir.} \) | \( \exists x, x \text{ bir dikdörtgen değildir} \) ve \( \forall x, x \text{ bir kare değildir.} \) |
"Bazı tam sayıların 3 katı 7'den küçüktür." önermesinin değili mantık sembolleri kullanarak nasıl yazılır?
Çözümü Göster
I. \( \exists x \in \mathbb{R}, p(x): x^2 + 4 = 0 \)
II. \( \forall x \in \mathbb{R}, q(x): x^2 - 1 \ge 0 \)
III: \( \exists x \in \mathbb{R}, r(x): x \gt x^2 \)
önermelerinden hangileri doğrudur?
Çözümü Göster
\( p: \exists x \in \mathbb{Z}, \frac{\pi}{4} \lt x \lt \frac{\pi}{3} \)
\( q: \forall x \in \mathbb{R}, \dfrac{2x}{x} = 2 \)
\( r: \forall x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2} = x \)
olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0'dır?
(a) \( p \Rightarrow q \)
(b) \( r \Rightarrow q \)
(c) \( q \Leftrightarrow r \)
(d) \( p' \Leftrightarrow q \)
(e) \( p \Leftrightarrow r' \)
Çözümü Göster
\( \exists x \in \mathbb{R}, p(x): \abs{x + 3} \gt 7 \) ifadesinin değili nedir?
Çözümü Göster
\( \forall x \in \mathbb{R}, (x \gt 1) \land (x \le 10) \) önermesinin değili nedir?
Çözümü Göster