Doğruluk değeri içerdiği bir ya da birden fazla değişkene bağlı olarak belirlenen önermelere açık önerme ya da önerme fonksiyonu denir.
Açık önermeler herhangi bir sayıda değişkene bağlı olarak tanımlanabilir.
\( P(x) \)
\( Q(x, y) \)
\( R(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( P(x): x \text{ asal sayıdır.} \)
\( P(7) \equiv 1 \)
\( P(15) \equiv 0 \)
\( Q(x, y): x \text{ şehri } y \text{ ülkesinin başkentidir.} \)
\( Q(\text{Londra}, \text{İngiltere}) \equiv 1 \)
\( Q(\text{Hamburg}, \text{Almanya}) \equiv 0 \)
Her fonksiyonda olduğu gibi, açık önermelerin her değişkeninin bir tanım kümesi vardır ve değer kümeleri 0 ve 1 değerlerinden oluşur.
Bir açık önerme kendi başına bir önerme değildir ve doğruluk değeri yoktur, ancak değişkenleri birer değer aldığında bir önerme olur ve doğruluk değerine sahip olur.
Bir açık önermeyi doğrulayan değerler kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi (çözüm kümesi) denir. Buna göre; bir \( x = a \) değeri \( P(x) \) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise \( P(a) = 1 \), değilse \( P(a) = 0 \) olur.
Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önerme ve çözüm kümeleri bu açık önermelerin doğruluk kümeleri olarak düşünülebilir.
\( P(x, y): 2x - 3y \ge 13 \)
açık önermesi için \( P(5, -2) \) ve \( P(1, 2) \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster\( P(x): x^3 - 2x \gt 0 \) açık önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(a) \( P(1) \equiv 1 \)
(b) \( P(0) \equiv 1 \)
(c) \( P(2) \equiv 0 \)
(d) \( P(-1) \equiv 1 \)
(e) \( P(3) \equiv 0 \)
Çözümü Göster\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x): x \le 3 \)
\( Q(x): x + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
açık önermeleri için aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
I. \( Q(1) \)
II. \( P'(3) \)
III. \( P(7) \lor Q(7) \)
IV. \( P(3) \land Q(4) \)
V. \( (P(-4) \lor Q(-3))' \)
VI. \( P'(-4) \land Q'(-3) \)
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x, y): xy = 10 \) açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster