Totoloji ve Çelişki
Totoloji
Bir bileşik önerme, önermeyi oluşturan önermelerin tüm doğruluk değerleri için her zaman doğru (1) oluyorsa bu önermeye totoloji denir. Buna göre bir bileşik önermenin totoloji olabilmesi için belirli doğruluk değerleri için doğru olması yeterli değildir, hiçbir durumda yanlış olmamalıdır.
Bir bileşik önermenin totoloji olduğunu göstermek için sadeleştirme yöntemi ya da bir doğruluk tablosu ile doğruluk değerinin her zaman 1 olduğunu göstermemiz gerekir.
Aşağıdaki bileşik önermeler totolojilere örnek olarak verilebilir. Her bir örneğin tüm durumlarda 1'e denk olduğu bir doğruluk tablosunda gösterilmiştir.
\( p \lor p' \equiv 1 \) (Bugün bayramdır VEYA bugün bayram değildir.)
\( p \Rightarrow (q \Rightarrow p) \equiv 1 \)
\( p \lor (p \land q)' \equiv 1 \)
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor p' \) | \( p \Rightarrow (q \Rightarrow p) \) | \( p \lor (p \land q)' \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Çelişki
Bir bileşik önerme, önermeyi oluşturan önermelerin tüm doğruluk değerleri için her zaman yanlış (0) oluyorsa bu önermeye çelişki denir. Buna göre bir bileşik önermenin çelişki olabilmesi için belirli doğruluk değerleri için yanlış olması yeterli değildir, hiçbir durumda doğru olmamalıdır.
Bir bileşik önermenin çelişki olduğunu göstermek için sadeleştirme yöntemi ya da bir doğruluk tablosu ile doğruluk değerinin her zaman 0 olduğunu göstermemiz gerekir.
Aşağıdaki bileşik önermeler çelişkilere örnek olarak verilebilir. Her bir örneğin tüm durumlarda 0'e denk olduğu bir doğruluk tablosunda gösterilmiştir.
\( p \land p' \equiv 0 \) (Dışarıda kar yağıyor VE dışarıda kar yağmıyor.)
\( (1 \Rightarrow p) \land p' \equiv 0 \)
\( (p \land q) \land p' \equiv 0 \)
| \( p \) | \( q \) | \( p \land p' \) | \( (1 \Rightarrow p) \land p' \) | \( (p \land q) \land p' \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Olumsal Önerme
Bir bileşik önerme, önermeyi oluşturan önermelerin farklı doğruluk değerlerinde hem doğru hem yanlış olabiliyorsa bu önermeye olumsal önerme denir.
Aşağıdaki önermeler birer olumsal önermedir.
\( p \land q \)
\( p \Rightarrow q \)
\( (p \veebar p) \Rightarrow (q \veebar q') \) bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösterin.
Çözümü Göster\( (p \veebar p) \Rightarrow (q \veebar q') \)
"Ya da" işlemine ait özdeşlikleri kullanalım.
\( \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
Aşağıdaki önermelerden hangileri totolojidir?
I. \( p \Rightarrow p' \)
II. \( p \lor p' \)
III. \( p \land 1 \)
IV. \( p \veebar p' \)
Çözümü GösterI. \( p \Rightarrow p' \equiv p' \)
II. \( p \lor p' \equiv 1 \)
III. \( p \land 1 \equiv p \)
IV. \( p \veebar p' \equiv 1 \)
Buna göre II. ve IV. önermeler totolojidir.
Aşağıdaki önermelerden hangileri totolojidir?
I. \( 1 \lor p \)
II. \( 1 \Rightarrow p \)
III. \( p \Leftrightarrow p \)
IV. \( p \veebar 1 \)
Çözümü GösterI. \( 1 \lor p \equiv 1 \)
II. \( 1 \Rightarrow p \equiv p \)
III. \( p \Leftrightarrow p \equiv 1 \)
IV. \( p \veebar 1 \equiv p' \)
Buna göre I. ve III. önermeler totolojidir.
Aşağıdaki önermelerden hangileri totolojidir?
I. \( p \Rightarrow p \)
II. \( p \lor 0 \)
III. \( p \land p \)
IV. \( p \Leftrightarrow 1 \)
Çözümü GösterI. \( p \Rightarrow p \equiv 1 \)
II. \( p \lor 0 \equiv p \)
III. \( p \land p \equiv p \)
IV. \( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
Buna göre sadece I. önerme totolojidir.
Aşağıdaki önermelerden hangileri çelişkidir?
I. \( p \land 0 \)
II. \( p \Rightarrow 0 \)
III. \( p \land p' \)
IV. \( p \Leftrightarrow 0 \)
Çözümü GösterI. \( p \land 0 \equiv 0 \)
II. \( p \Rightarrow 0 \equiv p' \)
III. \( p \land p' \equiv 0 \)
IV. \( p \Leftrightarrow 0 \equiv p' \)
Buna göre I. ve III. önermeler çelişkidir.
Aşağıdaki önermelerden hangileri çelişkidir?
I. \( p \veebar 0 \)
II. \( p \Leftrightarrow p' \)
III. \( 0 \Rightarrow p \)
Çözümü GösterI. \( p \veebar 0 \equiv p \)
II. \( p \Leftrightarrow p' \equiv 0 \)
III. \( 0 \Rightarrow p \equiv 1 \)
Buna göre sadece II. önerme çelişkidir.
Aşağıdaki bileşik önermenin totoloji olduğunu bir doğruluk tablosu ile gösterin.
\( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p' \lor q) \)
Çözümü GösterAşağıdaki tabloda renkli işaretli sütun dört durumda da doğru olduğu için bu ifade bir totolojidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( p' \) | \( p' \lor q \) | \( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p' \lor q) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Aşağıdaki bileşik önermenin totoloji olduğunu gösterin.
\( (p \Rightarrow q) \lor (p \lor q) \)
Çözümü Göster\( (p \Rightarrow q) \lor (p \lor q) \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (p' \lor q) \lor (p \lor q) \)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için parantezleri kaldırıp önermelerin sırasını değiştirebiliriz.
\( \equiv p' \lor q \lor p \lor q \)
\( \equiv (p' \lor p) \lor (q \lor q) \)
\( \equiv 1 \lor q \equiv 1 \)
Aşağıdakilerden hangileri çelişkidir?
I. \( (p \Leftrightarrow q') \land (p' \Leftrightarrow q) \)
II. \( (p' \land q) \lor (p \land q') \)
III. \( (p' \land p) \lor (q \land q') \)
IV. \( (q \Rightarrow q') \lor (q' \Rightarrow q) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( p \Leftrightarrow q' \equiv r \) ise \( p' \Leftrightarrow q \equiv r \) olur.
\( r \land r \equiv r \) olduğu için bu önermenin doğruluk değeri hakkında kesin bir şey söylenemez.
II. öncül:
\( p' \land q \) ve \( p \land q' \) önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz, en az biri yanlış olur.
\( 1 \lor 0 \equiv 1 \) ve \( 0 \lor 0 \equiv 0 \) olduğu için bu önermenin doğruluk değeri hakkında kesin bir şey söylenemez.
III. öncül:
\( (p' \land p) \lor (q \land q') \equiv 0 \lor 0 \equiv 0 \)
Bu önerme bir çelişkidir.
IV. öncül:
Bu koşullu önermelerden biri doğru ise diğeri yanlıştır.
\( 1 \lor 0 \equiv 0 \lor 1 \equiv 1 \)
Bu önerme bir totolojidir.
Buna göre sadece III. önerme çelişkidir.
\( [(p' \lor q)' \Leftrightarrow (p \Rightarrow q)] \Rightarrow [(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p' \lor q)] \)
bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösterin.
Çözümü Göster"İse" bileşik önermelerini "veya" önermeleri olarak yazalım.
\( [(p' \lor q)' \Leftrightarrow (p' \lor q)] \Rightarrow [(p' \lor q) \Leftrightarrow (p' \lor q)] \)
\( (p' \lor q) \equiv r \) diyelim.
\( \equiv (r' \Leftrightarrow r) \Rightarrow (r \Leftrightarrow r) \)
\( \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
Buna göre verilen bileşik önerme totolojidir.