Köklü Eşitsizlikler
Köklü ifade içinde değişken içeren eşitsizliklere köklü eşitsizlik denir. Önceki bölümlerde bahsettiğimiz eşitsizlik özellikleri köklü eşitsizlikler için de geçerlidir.
Çift dereceli köklü ifadelerde kök içi negatif olamaz, dolayısıyla eşitsizliklerdeki her çift dereceli köklü ifade için kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir.
\( \sqrt{x} \gt c \) Formundaki Eşitsizlikler
Karekök içindeki bir ifade ve sabit bir sayı arasındaki eşitsizliklerin çözüm kümesini her iki tarafın karesini alarak bulabiliriz. Karekök içindeki ifadenin içi negatif olamayacağı için bu ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir. Eşitsizliğin çözüm aralığı ana eşitsizlik ve kök içinin sıfır/pozitif olma durumu için bulacağımız çözüm kümelerinin kesişimi olur.
\( \sqrt{x - 5} \lt 3 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Ana eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için iki tarafın karesini alalım.
\( \sqrt{x - 5}^2 \lt 3^2 \)
\( x - 5 \lt 9 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \lt 14} \)
Köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( x - 5 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 5} \)
Her iki koşulu da sağlayan çözüm kümesi, bulduğumuz iki aralığın kesişimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in [5, 14) \)
Karekök içindeki bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için, köklü bir ifadenin negatif bir sayıdan küçük olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi boş küme olur.
\( \sqrt{x} \le -2 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ \} \)
Aynı sebeple köklü ifadenin negatif bir sayıdan büyük olduğu eşitsizliklerde sadece kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemiz yeterlidir.
\( \sqrt{x - 1} \ge -2 \)
Çözüm kümesi: \( x - 1 \ge 0 \)
Yukarıda paylaştığımız yöntemi tüm çift dereceli köklü ifadelere uygulayabiliriz.
\( \sqrt[4]{2x - 6} \le 2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Ana eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için iki tarafın 4. kuvvetini alalım.
\( \sqrt[4]{2x - 6}^4 \le 2^4 \)
\( 2x - 6 \le 16 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \le 11} \)
Köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 2x - 6 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 3} \)
Her iki koşulu da sağlayan çözüm kümesi, bulduğumuz iki aralığın kesişimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in [3, 11] \)
Tek dereceli köklü ifadelerde de köklü ifadeyi kökten kurtaracak şekilde tarafların kuvvetini almamız gerekir, ancak tek dereceli ifadelerde kök içi ve köklü ifadenin sonucu negatif olabileceği için kök içindeki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemize gerek yoktur.
\( \sqrt[3]{x - 7} \gt 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Köklü ifadeden kurtulmak için iki tarafın küpünü alalım.
\( \sqrt[3]{x - 7}^3 \gt 4^3 \)
\( x - 7 \gt 64 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \gt 71} \)
Köklü ifadenin içi için ek bir koşula gerek yoktur.
Çözüm kümesi: \( x \gt 71 \)
\( 4\sqrt{x - 1} \le 12 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( 4\sqrt{x - 1} \le 12 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini grafiksel olarak gösterin.
Çözümü Göster
\( \sqrt{x + 2} \ge -1 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt{x} \gt \sqrt{y} \) Formundaki Eşitsizlikler
Karekök içindeki iki ifade arasındaki eşitsizlikleri her iki tarafın karesini alarak çözebiliriz. Karekök içindeki ifadelerin içi negatif olamayacağı için bu iki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumlarını da çözüme ek birer koşul olarak eklememiz gerekir. Çözüm kümesi bu üç eşitsizliğin (ana eşitsizlik ve iki kök içinin sıfır/pozitif olma durumları) çözüm kümelerinin kesişimi olur.
\( \sqrt{x - 1} \gt \sqrt{2x - 6} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Ana eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için iki tarafın karesini alalım.
\( \sqrt{x - 1}^2 \gt \sqrt{2x - 6}^2 \)
\( x - 1 \gt 2x - 6 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \lt 5} \)
1. köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( x - 1 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 1} \)
2. köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 2x - 6 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 3} \)
Her üç koşulu da sağlayan çözüm kümesi, bulduğumuz üç aralığın kesişimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in [3, 5) \)
Aynı yöntemi derecesi ikiden büyük tüm çift dereceli köklü ifadelere uygulayabiliriz.
Tek dereceli köklü ifadelerde yine köklü ifadeyi kökten kurtaracak şekilde tarafların kuvvetini almamız gerekir, ancak tek dereceli ifadelerde kök içi ve köklü ifadenin sonucu negatif olabileceği için kök içindeki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemize gerek yoktur.
Eşitsizliğin tarafları farklı derecelerde köklü ifadelerden oluşuyorsa her iki ifadeyi de kökten kurtaracak derecede (derecelerin EKOK'u) tarafların kuvvetini almamız gerekir. Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamayacağı için bu ifadelerin sıfır ya da pozitif olma durumlarını da çözüme ek birer koşul olarak eklememiz gerekir.
\( \sqrt[4]{2x} \le \sqrt[3]{x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Köklü ifadelerin derecelerinin EKOK'u 12 olduğu için her iki taraftaki kök işaretinden kurtulmak için tarafların 12. kuvvetini alalım.
\( \sqrt[4]{2x}^{12} \le \sqrt[3]{x}^{12} \)
\( (2x)^{\frac{12}{4}} \le x^{\frac{12}{3}} \)
\( (2x)^3 \le x^4 \)
\( 8x^3 \le x^4 \)
İfadeleri eşitsizliğin aynı tarafında toplayalım.
\( x^4 - 8x^3 \ge 0 \)
\( x^3(x - 8) \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( x = 0 \) ve \( x = 8 \) noktalarının dışında kalan aralıktır.
\( \textcolor{red}{x \in (-\infty, 0] \cup [8, \infty)} \)
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( \sqrt[4]{2x} \) ifadesi için:
\( 2x \ge 0\Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 0} \)
Her iki koşulu da sağlayan çözüm kümesi, bulduğumuz iki aralığın kesişimidir.
Çözüm kümesi: \( \{ 0 \} \cup x \ge 8 \)
\( \sqrt{3x - 6} \lt \sqrt{2x + 4} \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt{3x - 6} \lt \sqrt{2x + 4} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini grafiksel olarak gösterin.
Çözümü Göster
\( \sqrt{x} \gt y \) Formundaki Eşitsizlikler
Köklü eşitsizliklerde tarafların karesini alırken her iki tarafın da işaretinin pozitif olduğundan emin olmamız gerekir, aksi takdirde aşağıdaki örnekte olduğu gibi yanlış sonuç elde edilebilir.
\( \sqrt{x} \ge -2 \)
\( \sqrt{x}^2 \ge (-2)^2 \)
\( x \ge 4 \)
Çözüm kümesi olarak \( x \ge 4 \) bulmuş olsak da köklü ifade hiçbir zaman negatif olamayacağı ve verilen eşitsizlik her zaman sağlanacağı için gerçek çözüm kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır. Dolayısıyla yukarıda "\( \sqrt{x} \gt c \) Formundaki Eşitsizlikler" bölümünde belirttiğimiz gibi bu tip eşitsizlikleri \( \sqrt{x} \ge 0 \) şekline getirerek çözmemiz gerekir.
Bu sebeple \( \sqrt{x} \gt y \) formundaki eşitsizliklerde kök içinde olmayan taraf pozitif ve negatif değer alabileceği için problemi ikiye bölüp ayrı ayrı çözmemiz gerekir.
\( \sqrt{x} \gt y \) formundaki bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için,
Köklü ifadenin tanımlı olma koşulu: Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( x \ge 0 \)
Durum 1: Eşitsizliğin sağ tarafı sıfır ya da pozitif:
\( \sqrt{x} \gt y \) eşitsizliği \( y \ge 0 \) koşulu ile birlikte çözülür.
Durum 2: Eşitsizliğin sağ tarafı negatif:
\( \sqrt{x} \gt 0 \) eşitsizliği \( y \lt 0 \) koşulu ile birlikte çözülür.
Bu iki durumdan elde edilen çözümlerin birleşim kümesi ile köklü ifadenin tanımlı olma koşulunun \( x \ge 0 \) çözümünün kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( \sqrt{x - 2} \ge x - 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Köklü ifadenin tanımlı olma koşulu: Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( x - 2 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 2} \)
Durum 1: Eşitsizliğin sağ tarafı sıfır ya da pozitif:
\( x - 4 \ge 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \ge 4} \)
Kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım.
\( \sqrt{x - 2}^2 \ge (x - 4)^2 \)
\( x - 2 \ge x^2 - 8x + 16 \)
\( x^2 - 9x + 18 \le 0 \)
\( (x - 3)(x - 6) \le 0 \)
\( 3 \le x \le 6 \)
Bu durumun ana koşulu \( x \ge 4 \) olduğu için çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Durum 1 için çözüm kümesi: \( \textcolor{red}{4 \le x \le 6} \)
Durum 2: Eşitsizliğin sağ tarafı negatif:
\( x - 4 \lt 0 \Longrightarrow \textcolor{red}{x \lt 4} \)
Bu durumda yukarıda hatalı örnekte belirttiğimiz sebeple çözmemiz gereken eşitsizlik aşağıdaki gibi olur.
\( \sqrt{x - 2} \ge 0 \)
\( x - 2 \ge 0 \)
\( x \ge 2 \)
Bu durumun ana koşulu \( x \lt 4 \) olduğu için çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Durum 2 için çözüm kümesi: \( \textcolor{red}{2 \le x \lt 4} \)
Bu iki durumdan elde edilen çözümlerin birleşim kümesi ile köklü ifadenin tanımlı olma koşulunun \( x \ge 2 \) çözümünün kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( 2 \le x \le 6 \)
Aynı eşitsizliğin çözüm kümesini grafiksel olarak bulalım.
Eşitsizliğin her iki tarafını birer fonksiyon gibi düşünürek ayrı ayrı grafiklerini çizelim.
\( f(x) = \sqrt{x - 2} \) fonksiyonunun grafiğini \( \sqrt{x} \) grafiğine \( f(x + c) \) dönüşümünü uygulayarak çizebiliriz (fonksiyon grafiklerinin dönüşümleri için: Fonksiyonların Dönüşümü).
\( g(x) = x - 4 \) fonksiyonunun grafiği bir doğrudur.
Bu iki fonksiyonun grafiklerinde eşitsizliğin sağlandığı aralık \( f(x) \) grafiğinin \( g(x) \) grafiğinin üzerinde kaldığı ya da ona eşit olduğu aralıktır, bu aralık da grafikte \( x \) ekseni üzerinde yeşil çizgi ile gösterilen \( [2, 6] \) aralığıdır.