Köklü ifade içinde değişken içeren eşitsizliklere köklü eşitsizlik denir. Önceki bölümlerde bahsettiğimiz eşitsizlik özellikleri köklü eşitsizlikler için de geçerlidir.
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz, dolayısıyla eşitsizliklerdeki her çift dereceli köklü ifade için kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir.
\( \sqrt{x} \gt c \) Formundaki Eşitsizlikler
Karekök içindeki bir ifade ve sabit bir sayı arasındaki eşitsizlikleri her iki tarafın karesini alarak çözebiliriz. Karekök içindeki ifadenin içi negatif olamayacağı için bu ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu da çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir. Çözüm kümesi bu iki eşitsizliğin (ana eşitsizlik ve kök içinin sıfır/pozitif olma durumu) çözüm kümelerinin kesişimi olacaktır.
ÖRNEK:
\( \sqrt{x - 5} \lt 3 \)
\( \sqrt{x - 5}^2 \lt 3^2 \)
\( x - 5 \lt 9 \Longrightarrow x \lt 14 \)
Kök içinin negatif olamama koşulu:
\( x - 5 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 5 \)
Çözüm kümesi: \( 5 \le x \lt 14 \)
Karekök içindeki bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için köklü ifadenin negatif bir sayıdan küçük olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi boş kümedir.
ÖRNEK:
\( \sqrt{x} \le -2 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ \} \)
Aynı sebeple köklü ifadenin negatif bir sayıdan büyük olduğu eşitsizliklerde sadece kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemiz yeterlidir.
ÖRNEK:
\( \sqrt{x} \ge -2 \)
Çözüm kümesi: \( x \ge 0 \)
Aynı yöntemi tüm çift dereceli köklü ifadelere uygulayabiliriz.
ÖRNEK:
\( \sqrt[4]{2x - 6} \le 2 \)
\( \sqrt[4]{2x - 6}^4 \le 2^4 \)
\( 2x - 6 \le 16 \Longrightarrow x \le 11 \)
Kök içinin negatif olamama koşulu:
\( 2x - 6 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)
Çözüm kümesi: \( 3 \le x \le 11 \)
Tek dereceli köklü ifadelerde de köklü ifadeyi kökten kurtaracak şekilde tarafların kuvvetini almamız gerekir, ancak tek dereceli ifadelerin kök içi ve sonucu negatif olabileceği için kök içindeki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemize gerek yoktur.
Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( \sqrt{x - 1}^2 \le 3^2 \)
\( x - 1 \le 9 \)
\( \textcolor{red}{x \le 10} \)
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz, dolayısıyla her çift dereceli köklü ifade için kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir.
\( x - 1 \ge 0 \)
\( \textcolor{red}{x \ge 1} \)
Yukarıda renkli işaretli iki aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.
\( g(x) = 12 \) fonksiyonunun grafiği yatay bir doğrudur.
Bu iki fonksiyonun grafiklerinde eşitsizliğin sağlandığı aralık \( g(x) \) grafiğinin \( f(x) \) grafiğinin üzerinde kaldığı ya da ona eşit olduğu aralıktır, bu aralık da grafikte \( x \) ekseni üzerinde yeşil çizgi ile gösterilen \( [1, 10] \) aralığıdır.
Bu şekilde önceki soruda cebirsel olarak bulduğumuz çözüm aralığını grafiksel olarak da elde etmiş olduk.
Verilen eşitsizlikte kareköklü ifade negatif bir sayıdan büyüktür. Çift dereceli köklü bir ifadenin sonucu sadece sıfır ya da pozitif olabileceği için karekök içi sıfır ya da pozitif olduğu sürece bu eşitsizlik her zaman sağlanacaktır. Dolayısıyla sadece kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemiz yeterlidir.
\( x + 2 \ge 0 \)
\( \textcolor{red}{x \ge -2} \)
Çözüm kümesi: \( x \ge -2 \)
Önemli bir not:
Verilen eşitsizlikte kareköklü ifadenin negatif bir sayıdan büyük olma detayını dikkate almayıp her iki tarafın karesini aldığımızı varsayalım.
\( (\sqrt{x + 2})^2 \ge (-1)^2 \)
\( x + 2 \ge 1 \)
\( \textcolor{red}{x \ge -1} \)
Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi \( x \ge -2 \) değil, her iki aralığın kesişimi olan \( x \ge -1 \) olacaktır, ancak örneğin \( x = -2 \) koyduğumuzda eşitsizliğin sağlandığını görebiliriz.
\( \sqrt{-2 + 2} \ge -1 \)
\( 0 \ge -1 \)
Dolayısıyla \( x \ge -1 \) aralığı eşitsizliğin en geniş çözüm aralığı olmamaktadır. Bu yüzden çift dereceli bir köklü ifadenin negatif bir sayıdan büyük olduğu eşitsizliklerde sadece kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumu için eşitsizliği çözmemiz önem taşımaktadır.
\( \sqrt{x} \) ifadesinin eşitsizliğin iki tarafında da aynı olduğunu ve sadeleşebileceğini görüyoruz.
\( x^2 + \sqrt{x} \le \sqrt{x} + 4 \)
\( x^2 \le 4 \)
\( \textcolor{red}{-2 \le x \le 2} \)
Her ne kadar \( \sqrt{x} \) ifadelerini sadeleştirmiş olsak da bu ifadeler orijinal eşitsizliğin bir parçasıdır ve çözüm kümesindeki tüm değerler bu ifadeyi de içerecek şekilde orijinal eşitsizliği sağlamalıdır.
Bu yüzden bu ifadeyi sadeleştirmeden önce kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir.
\( \textcolor{red}{x \ge 0} \)
Yukarıda renkli işaretli iki aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( 0 \le x \le 2 \)
İlk bulduğumuz \( -2 \le x \le 2 \) aralığında bir değer olan \( x = -1 \) değerini orijinal eşitsizlikte yerine koyduğumuzda köklü ifadenin tanımsız olduğunu ve eşitsizliğin sağlanmadığını görebiliriz.
Karekök içindeki iki ifade arasındaki eşitsizlikleri her iki tarafın karesini alarak çözebiliriz. Karekök içindeki ifadelerin içi negatif olamayacağı için bu iki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumlarını da çözüme ek birer koşul olarak eklememiz gerekir. Çözüm kümesi bu üç eşitsizliğin (ana eşitsizlik ve iki kök içinin sıfır/pozitif olma durumları) çözüm kümelerinin kesişimi olacaktır.
ÖRNEK:
\( \sqrt{x - 1} \gt \sqrt{2x - 6} \)
\( \sqrt{x - 1}^2 \gt \sqrt{2x - 6}^2 \)
\( x - 1 \gt 2x - 6 \Longrightarrow x \lt 5 \)
1. köklü ifadenin içinin negatif olamama koşulu:
\( x - 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 1 \)
2. köklü ifadenin içinin negatif olamama koşulu:
\( 2x - 6 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)
Çözüm kümesi: \( 3 \le x \lt 5 \)
Aynı yöntemi derecesi ikiden büyük tüm çift dereceli köklü ifadelere uygulayabiliriz.
Tek dereceli köklü ifadelerde yine köklü ifadeyi kökten kurtaracak şekilde tarafların kuvvetini almamız gerekir, ancak tek dereceli ifadelerin kök içi ve sonucu negatif olabileceği için kök içindeki ifadenin sıfır ya da pozitif olma durumunu kontrol etmemize gerek yoktur.
Eşitsizliğin tarafları farklı derecelerde köklü ifadelerden oluşuyorsa her iki ifadeyi de kökten kurtaracak derecede (derecelerin EKOK'u) tarafların kuvvetini almamız gerekir. Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamayacağı için bu ifadelerin sıfır ya da pozitif olma durumlarını da çözüme ek birer koşul olarak eklememiz gerekir.
Kök işaretlerinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( (\sqrt{3x - 6})^2 \lt (\sqrt{2x + 4})^2 \)
\( 3x - 6 \lt 2x + 4 \)
\( \textcolor{red}{x \lt 10} \)
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz, dolayısıyla eşitsizlikteki her iki köklü ifade için kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek birer koşul olarak eklememiz gerekir.
\( 3x - 6 \ge 0 \)
\( \textcolor{red}{x \ge 2} \)
\( 2x + 4 \ge 0 \)
\( \textcolor{red}{x \ge -2} \)
Yukarıda renkli işaretli üç aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.
Bu iki fonksiyonun grafiklerinde eşitsizliğin sağlandığı aralık \( g(x) \) grafiğinin \( f(x) \) grafiğinin üzerinde kaldığı aralıktır, bu aralık da grafikte \( x \) ekseni üzerinde yeşil çizgi ile gösterilen \( [2, 10] \) aralığıdır.
Bu şekilde önceki soruda cebirsel olarak bulduğumuz çözüm aralığını grafiksel olarak da elde etmiş olduk.
Köklü ifadelerin derecelerinin EKOK'u 12 olduğu için her iki taraftaki kök işaretinden kurtulmak için tarafların 12. kuvvetini alalım.
\( \sqrt[4]{2x}^{12} \le \sqrt[3]{x}^{12} \)
\( (2x)^{\frac{12}{4}} \le x^{\frac{12}{3}} \)
\( (2x)^3 \le x^4 \)
\( 8x^3 \le x^4 \)
İfadeleri eşitsizliğin aynı tarafında toplayalım.
\( x^4 - 8x^3 \ge 0 \)
\( x^3(x - 8) \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi kritik noktalar olan \( x = 0 \) ve \( x = 8 \) noktalarının dışında kalan aralıktır.
\( \textcolor{red}{x \le 0} \) ya da \( \textcolor{red}{x \ge 8} \)
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz, dolayısıyla eşitsizlikteki çift dereceli köklü ifade için kök içinin sıfır ya da pozitif olma durumunu çözüme ek bir koşul olarak eklememiz gerekir.
\( \sqrt[4]{2x} \) ifadesi için:
\( 2x \ge 0 \)
\( \textcolor{red}{x \ge 0} \)
Yukarıda renkli işaretli iki aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \ge 8 \)
\( \sqrt{x} \gt y \) Formundaki Eşitsizlikler
Köklü eşitsizliklerde tarafların karesini alırken her iki tarafın da işaretinin pozitif olduğundan emin olmamız gerekir, aksi takdirde aşağıdaki örnekte olduğu gibi yanlış sonuç elde edilebilir.
ÖRNEK:
\( \sqrt{x} \ge -2 \)
\( \sqrt{x}^2 \ge (-2)^2 \)
\( x \ge 4 \)
Çözüm kümesi olarak \( x \ge 4 \) bulsak da köklü ifade hiçbir zaman negatif olamayacağı ve verilen eşitsizlik her zaman sağlanacağı için gerçek çözüm kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır. Dolayısıyla yukarıda "\( \sqrt{x} \gt c \) Formundaki Eşitsizlikler" bölümünde belirttiğimiz gibi bu tip eşitsizlikleri \( \sqrt{x} \ge 0 \) şekline getirerek çözmemiz gerekir.
\( \sqrt{x} \gt y \) formundaki eşitsizliklerde kök içinde olmayan taraf pozitif ve negatif değer alabileceği için problemi ikiye bölüp ayrı ayrı çözmemiz gerekir.
\( \sqrt{x} \gt y \)
Çift dereceli köklü ifadeler için genel koşul: \( x \ge 0 \)
Durum 1 (sağ taraf sıfır ya da pozitif): \( y \ge 0 \)
\( \sqrt{x} \gt y \) eşitsizliği \( y \ge 0 \) koşulu ile birlikte çözülür.
Durum 2 (sağ taraf negatif): \( y \lt 0 \)
\( \sqrt{x} \gt 0 \) eşitsizliği \( y \lt 0 \) koşulu ile birlikte çözülür.
Bu iki durumdan elde edilen çözümlerin birleşim kümesi ile genel \( x \ge 0 \) koşulunun kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( g(x) = x - 4 \) fonksiyonunun grafiği bir doğrudur.
Bu iki fonksiyonun grafiklerinde eşitsizliğin sağlandığı aralık \( f(x) \) grafiğinin \( g(x) \) grafiğinin üzerinde kaldığı ya da ona eşit olduğu aralıktır, bu aralık da grafikte \( x \) ekseni üzerinde yeşil çizgi ile gösterilen \( [2, 6] \) aralığıdır.
Bu şekilde önceki soruda cebirsel olarak bulduğumuz çözüm aralığını grafiksel olarak da elde etmiş olduk.
