Köklü Denklemler
Köklü ifade içinde bir değişkenin olduğu denklemlere köklü denklem denir.
Bu tanıma göre aşağıdaki ifadeler kök içinde değişken içerdikleri için birer köklü denklemdir.
\( \sqrt[3]{x - 4} = -2 \)
\( \sqrt{x + 1} = x - 1 \)
\( \sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2x - 6 \)
Aşağıdaki ifadeler ise kök içinde değişken içermedikleri için birer köklü denklem değildir.
\( \sqrt{2}x + 5 = 3x - 1 \)
\( (x - \sqrt{3})^2 = 3 \)
Köklü denklemleri ve çözüm yöntemlerini iki başlık altında inceleyeceğiz.
Tek Köklü İfade İçeren Denklemler
Bu denklemlerde değişken içeren tek bir köklü ifade vardır. Bu köklü ifade dışında denklemde değişken içeren ya da sabit başka terimler bulunabilir. Bu tipte denklemlere aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
\( 2\sqrt{3x + 4} - 8 = 0 \)
\( \sqrt{x + 3} = x + 1 \)
\( \sqrt[3]{x + 3} + 2 = 0 \)
Bu denklemler aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülebilir.
- Değişken içeren köklü ifade denklemde yalnız bırakılır.
- Eşitliğin iki tarafının köklü ifadeyi kök işaretinden kurtaracak derecede üssü alınır (köklü ifadenin derecesi 2 ise karesi, 3 ise küpü vb.).
- Üs alma işlemi sonrasında kök işareti denklemden kalktıktan sonra denklem derecesine göre uygun yöntemle çözülür.
- Elde edilen olası çözüm değerleri orijinal denklemde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilir. Denklemi sağlayan değerler çözüm kümesine dahil edilir.
Denklem çözümü sonunda bulunan değerlerin neden orijinal denklemde yerine konarak sağlamasının yapılması gerektiğini ve bulunan bazı değerlerin denklemi neden sağlamayabileceğini bir sonraki bölümde inceleyeceğiz.
\( \sqrt{x - 2} - 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Köklü ifadeyi denklemde yalnız bırakalım.
\( \sqrt{x - 2} = 1 \)
Köklü ifadenin derecesi iki olduğu için iki tarafın karesini alalım.
\( (\sqrt{x - 2})^2 = 1^2 \)
\( x - 2 = 1 \Longrightarrow x = 3 \)
Bulduğumuz değeri orijinal denklemde yerine koyarak gerçek bir çözüm olup olmadığını kontrol edelim.
\( \sqrt{3 - 2} - 1 \stackrel{?}{=} 0 \)
\( 0 = 0 \)
Denklem sağlandığı için \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x = 3 \)
\( \sqrt{7x + 15} - x = 1 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Köklü ifadeyi denklemde yalnız bırakalım.
\( \sqrt{7x + 15} = x + 1 \)
Köklü ifadenin derecesi iki olduğu için iki tarafın karesini alalım.
\( (\sqrt{7x + 15})^2 = (x + 1)^2 \)
\( 7x + 15 = x^2 + 2x + 1 \)
Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemde tüm terimleri tek tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 7) = 0 \)
\( x = -2 \) ya da \( x = 7 \)
Bu iki değeri orijinal denklemde yerine koyarak denklemi sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edelim.
\( x = -2 \) için:
\( \sqrt{7(-2) + 15} - (-2) \stackrel{?}{=} 1 \)
\( \sqrt{1} + 2 \stackrel{?}{=} 1 \)
\( 3 \ne 1 \)
Denklem sağlanmadığı için \( x = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 7 \) için:
\( \sqrt{7(7) + 15} - 7 \stackrel{?}{=} 1 \)
\( \sqrt{64} - 7 \stackrel{?}{=} 1 \)
\( 1 = 1 \)
Denklem sağlandığı için \( x = 7 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x = 7 \)
İki ve Daha Fazla Köklü İfade İçeren Denklemler
Bu denklemlerde değişken içeren en az iki köklü ifade vardır. Bu köklü ifadeler dışında denklemde değişken içeren ya da sabit başka terimler bulunabilir. Bu tipte denklemlere aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
\( \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 10} = 5 \)
\( \sqrt{2x + 6} = \sqrt{5 - 4x} + x \)
\( \sqrt[3]{3x - 7} - \sqrt{x - 1} = 0 \)
Bu denklemler aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülebilir.
- Değişken içeren köklü ifadelerden herhangi biri denklemde yalnız bırakılır.
- Eşitliğin iki tarafının yalnız bırakılan köklü ifadeyi kök işaretinden kurtaracak derecede üssü alınır.
- Yalnız bırakılan köklü ifadenin kök işareti denklemden kalktıktan sonra eşitliğin diğer tarafında hala değişken içeren bir köklü ifade varsa bu ifade denklemde yalnız bırakılarak yukarıdaki adımlar tekrarlanır.
- Denklemde köklü ifade kalmadığı noktada elde edilen denklem derecesine göre uygun yöntemle çözülür.
- Elde edilen olası çözüm değerleri orijinal denklemde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilir. Denklemi sağlayan değerler çözüm kümesine dahil edilir.
\( \sqrt{2x + 6} - \sqrt{x + 4} = 1 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemdeki köklü ifadelerden rastgele seçtiğimiz birincisini yalnız bırakalım.
\( \sqrt{2x + 6} = \sqrt{x + 4} + 1 \)
Yalnız bıraktığımız köklü ifadenin derecesi iki olduğu için iki tarafın karesini alalım.
\( (\sqrt{2x + 6})^2 = (\sqrt{x + 4} + 1)^2 \)
\( 2x + 6 = (\sqrt{x + 4})^2 + 2\sqrt{x + 4} + 1^2 \)
\( 2x + 6 = x + 4 + 2\sqrt{x + 4} + 1 \)
Elde ettiğimiz eşitlikte hala bir köklü ifade olduğu için işleme onu yalnız bırakarak devam edelim.
\( 2\sqrt{x + 4} = x + 1 \)
Yalnız bıraktığımız köklü ifadenin derecesi iki olduğu için yine iki tarafın karesini alalım.
\( (2\sqrt{x + 4})^2 = (x + 1)^2 \)
\( 4(x + 4) = x^2 + 2x + 1 \)
Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemde tüm terimleri tek tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 5) = 0 \)
\( x = -3 \) ya da \( x = 5 \)
Bu iki değeri orijinal denklemde yerine koyarak denklemi sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edelim.
\( x = -3 \) için:
\( \sqrt{2(-3) + 6} - \sqrt{-3 + 4} \stackrel{?}{=} 1 \)
\( \sqrt{0} - \sqrt{1} \stackrel{?}{=} 1 \)
\( -1 \ne 1 \)
Denklem sağlanmadığı için \( x = -3 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 5 \) için:
\( \sqrt{2 \cdot 5 + 6} - \sqrt{5 + 4} \stackrel{?}{=} 1 \)
\( \sqrt{16} - \sqrt{9} \stackrel{?}{=} 1 \)
\( 4 - 3 = 1 \)
Denklem sağlandığı için \( x = 5 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x = 5 \)
Sonsuza Giden Köklü İfadeler
Belirli bir örüntü dahilinde iç içe sonsuza kadar giden köklü ifadelerin değerini nasıl bulabileceğimizi bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}}} = x \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Kök içindeki sayıların ve işlemlerin aynı şekilde sonsuza kadar tekrarladığını görüyoruz.
Tüm işlemin sonucuna \( x \) dersek kök içinde ifadenin ilk tekrarından itibaren olan kısma da \( x \) diyebiliriz, çünkü sonsuz kez tekrar eden bir işlemden bir terimin çıkarılması sonucu değiştirmeyecektir.
\( \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}}}_{x}} = x \)
\( \sqrt{2 + x} = x \)
İki tarafın karesini alalım.
\( (\sqrt{2 + x})^2 = x^2 \)
\( 2 + x = x^2 \)
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 2) = 0 \)
\( x = -1 \) ya da \( x = 2 \)
Köklü ifadenin sonucu negatif değer alamayacağı için ifadenin değeri \( x = 2 \) olarak bulunur.
\( \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 3^x \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 3^x \)
\( 9\sqrt{3} = 3^x \)
\( 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^x \)
\( 3^{2 + \frac{1}{2}} = 3^x \)
\( 3^{\frac{5}{2}} = 3^x \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( x = \dfrac{5}{2} \) bulunur.
\( \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{75} = \sqrt{x} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterKök içlerindeki tam kare sayıları katsayı olarak kök dışına alalım.
\( \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = \sqrt{x} \)
\( 8\sqrt{3} = \sqrt{x} \)
Kökün katsayısını kök içine alalım.
\( \sqrt{8^2 \cdot 3} = \sqrt{x} \)
\( \sqrt{192} = \sqrt{x} \)
\( x = 192 \) bulunur.
\( \sqrt{4^\frac{x - 1}{3}} = \sqrt[3]{16^{1 - x}} \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^\frac{x - 1}{3 \cdot 2} = 16^\frac{1 - x}{3} \)
16 tabanını 4 tabanına çevirelim.
\( 4^\frac{x - 1}{6} = (4^{2})^\frac{1 - x}{3} \)
\( 4^\frac{x - 1}{6} = 4^{\frac{2(1 - x)}{3}} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( \dfrac{x - 1}{6} = \dfrac{2(1 - x)}{3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 3(x - 1) = 12(1 - x) \)
\( 3x - 3 = 12 - 12x \)
\( x = 1 \) bulunur.
\( \sqrt{x^2 - y^2 - 21} + \sqrt[4]{x - y - 3} = 0 \) olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÇift dereceli köklü ifadelerin sonucu negatif olamaz. Buna göre verilen işlemin sonucunun sıfır olabilmesi için her iki köklü ifadenin de içi sıfır olmalıdır.
\( x^2 - y^2 - 21 = 0 \) ve \( x - y - 3 = 0 \)
\( x^2 - y^2 = 21 \) ve \( x - y = 3 \)
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 21 \)
\( 3(x + y) = 21\)
\( x + y = 7 \)
\( x \) ve \( y \) arasındaki iki eşitliği ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( x = 5, \quad y = 2 \)
Buna göre \( xy = 5 \cdot 2 = 10 \) olarak bulunur.
\( \sqrt{x^2 - 16} = x - 8 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (\sqrt{x^2 - 16})^2 = (x - 8)^2 \)
\( x^2 - 16 = x^2 - 16x + 64 \)
\( 16x = 80 \)
\( x = 5 \)
Denklem çözümünde iki tarafın karesini aldığımız için geçersiz bir çözüm oluşmuş olabilir. Bulduğumuz değeri orijinal denklemde yerine koyup denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
\( \sqrt{5^2 - 16} = 5 - 8 \)
\( \sqrt{9} \ne -3 \)
Eşitlik sağlanmadığı için \( x = 5 \) denklemin bir çözümü değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} = 3 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x - 1 \) için kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{(\sqrt{x})^2 - 1^2}{\sqrt{x} + 1} = 3 \)
\( \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = 3 \)
\( \sqrt{x} = -1 \) olamayacağı için pay ve paydadaki çarpanları sadeleştirebiliriz.
\( \sqrt{x} - 1 = 3 \)
\( \sqrt{x} = 4 \)
\( x = 16 \) bulunur.
\( \sqrt{4 + \dfrac{4}{x}} + \sqrt{9 + \dfrac{9}{x}} + \sqrt{16 + \dfrac{16}{x}} = 18 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( \sqrt{\dfrac{4x + 4}{x}} + \sqrt{\dfrac{9x + 9}{x}} + \sqrt{\dfrac{16x + 16}{x}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{4(x + 1)}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{9(x + 1)}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{16(x + 1)}}{\sqrt{x}} \)
\( = \dfrac{2\sqrt{x + 1} + 3\sqrt{x + 1} + 4\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} \)
\( = \dfrac{9\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} = 18\)
\( \sqrt{x + 1} = 2\sqrt{x} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( (\sqrt{x + 1})^2 = (2\sqrt{x})^2 \)
\( x + 1 = 4x \)
\( x = \dfrac{1}{3} \)
Çözüm adımlarında eşitliğin iki tarafının karesini aldığımız için geçersiz bir çözüm oluşmuş olabilir, \( x = \frac{1}{3} \) değerini orijinal denklemde yerine koyarak çözümün sağlamasını yapalım.
\( \sqrt{4 + \dfrac{4}{\frac{1}{3}}} + \sqrt{9 + \dfrac{9}{\frac{1}{3}}} + \sqrt{16 + \dfrac{16}{\frac{1}{3}}} = 18 \)
\( \sqrt{4 + 12} + \sqrt{9 + 27} + \sqrt{16 + 48} = 18 \)
\( 4 + 6 + 8 = 18 \)
Eşitlik sağlandığı için \( x = \frac{1}{3} \) geçerli bir çözümdür.
\( x \neq 1 \) olmak üzere,
\( (x + 3) \cdot \sqrt{x - 3} = \sqrt{4x + 12} \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterKöklü ifadeleri aynı tarafta toplayalım.
\( x + 3 = \dfrac{\sqrt{4x + 12}}{\sqrt{x - 3}} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x + 3)^2 = \dfrac{4x + 12}{x - 3} \)
\( (x + 3)^2 = \dfrac{4(x + 3)}{x - 3} \)
\( x = -3 \) değeri \( \sqrt{x - 3} \) ifadesinin içini negatif yaptığı için denklemin bir çözümü olamaz, dolayısıyla \( x + 3\) çarpanlarını sadeleştirebiliriz.
\( x + 3 = \dfrac{4}{x - 3} \)
\( (x + 3)(x - 3) = 4 \)
\( x^2 - 9 = 4 \)
\( x^2 = 13 \)
\( x = \pm \sqrt{13} \)
\( x = -\sqrt{13} \) değeri verilen denklemdeki \( \sqrt{x - 3} \) ifadesinin içini negatif yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = \sqrt{13} \)
\( x \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt[3]{3x\sqrt{2}} = \sqrt{6\sqrt[3]{x^3}} \) eşitliğini sağlayan \( x \) sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKök dışındaki bir çarpan kökün derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine alınabilir.
\( \sqrt[3]{\sqrt{9x^2 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{6^3 \cdot x^3}} \)
\( \sqrt[3 \cdot 2]{9x^2 \cdot 2} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^3 \cdot x^3} \)
\( \sqrt[6]{18x^2} = \sqrt[6]{216x^3} \)
Eşitliğin her iki tarafının 6. kuvvetini alalım.
\( 18x^2 = 216x^3 \)
\( 216x^3 - 18x^2 = 0\)
\( 18x^2(12x - 1) = 0\)
\( x \) pozitif olduğu için sıfır olamaz.
\( 12x - 1 = 0\)
\( x = \dfrac{1}{12} \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 4x + 5y + y\sqrt{7} = 2x\sqrt{7} - 28 \) olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 4x + 5y = 2x\sqrt{7} - y\sqrt{7} - 28 \)
\( 4x + 5y = \sqrt{7}(2x - y) - 28 \)
\( x \) ve \( y \) tam sayı oldukları için eşitliğin sol tarafı tam sayı olur. Eşitliğin sağ tarafının da tam sayı olabilmesi için \( \sqrt{7} \) irrasyonel sayısının katsayısı sıfır olmalıdır, bu da \( 2x = y \) olduğunda sağlanır.
\( y = 2x \) yazalım.
\( 4x + 10x = \sqrt{7}(2x - 2x) - 28 \)
\( 14x = -28 \)
\( x = -2 \)
\( y = 2x = -4 \)
\( xy = (-2)(-4) = 8 \) bulunur.
\( \sqrt[3]{36 \cdot \sqrt[3]{36 \cdot \ldots}} + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \ldots}} = \sqrt{x - \sqrt{x - \ldots}} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt[3]{36 \cdot \sqrt[3]{36 \ldots}} = a \) diyelim.
İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( a \) olur.
\( \sqrt[3]{36a} = a \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( 36a = a^3 \)
\( a^3 - 36a = 0 \)
\( a(a^2 - 36) = 0 \)
\( a(a - 6)(a + 6) = 0 \)
Pozitif sayıların çarpımından oluşan bu ifadenin sonucu sıfır ya da negatif olamaz.
\( a = 6 \)
\( \sqrt{20 + \sqrt{20 + \ldots}} = b \) diyelim.
İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( b \) olur.
\( \sqrt{20 + b} = b \)
İki tarafın karesini alalım.
\( 20 + b = b^2 \)
\( b^2 - b - 20 = 0 \)
\( (b + 4)(b - 5) = 0 \)
Pozitif sayıların çarpımından oluşan bu ifadenin sonucu sıfır ya da negatif olamaz.
\( b = 5 \)
\( a + b = \sqrt{x - \sqrt{x - \ldots}} \)
\( 11 = \sqrt{x - \sqrt{x - \ldots}} \)
İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( 11 \) olur.
\( 11 = \sqrt{x - 11} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( 121 = x - 11 \)
\( x = 132 \) bulunur.