Köklü Denklemler

İki tarafın karesini alalım.

\( x^2 - 16 = x^2 - 16x + 64 \)

\( 16x = 80 \)

\( x = 5 \)

Denklem çözümünde iki tarafın karesini aldığımız için geçersiz bir çözüm oluşmuş olabilir. Bulduğumuz değeri orijinal denklemde yerine koyup denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

\( \sqrt{5^2 - 16} = 5 - 8 \)

\( \sqrt{9} \ne -3 \)

Eşitlik sağlanmadığı için \( x = 5 \) denklemin bir çözümü değildir.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \) bulunur.

\( \sqrt[3]{36 \cdot \sqrt[3]{36 \ldots}} = a \) diyelim.

İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( a \) olur.

\( \sqrt[3]{36 \cdot a} = a \)

İki tarafın küpünü alalım.

\( 36 \cdot a = a^3 \)

\( a^3 - 36a = 0 \)

\( a(a + 6)(a - 6) = 0 \)

Bu ifadenin sonucu sıfır ya da negatif olamayacağı için geçerli çözüm değeri \( a = 6 \) olur.

\( a = 6 \)

\( \sqrt{20 + \sqrt{20 + \ldots}} = b \) diyelim.

İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( b \) olur.

\( \sqrt{20 + b} = b \)

İki tarafın karesini alalım.

\( 20 + b = b^2 \)

\( b^2 - b - 20 = 0 \)

\( (b + 4)(b - 5) = 0 \)

Kareköklü ifadenin sonucu negatif olamayacağı için geçerli çözüm değeri \( b = 5 \) olur.

\( b = 5 \)

\( a + b = \sqrt{x - \sqrt{x - \ldots}} \)

\( 11 = \sqrt{x - \sqrt{x - \ldots}} \)

İç içe sonsuza giden ifadede kök içindeki ifade de \( 11 \) olur.

\( 11 = \sqrt{x - 11} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( 121 = x - 11 \)

\( x = 132 \) bulunur.

İlk olarak köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.

\( 4^\frac{x - 1}{3 \cdot 2} = 16^\frac{1 - x}{3} \)

16 tabanını 4 tabanına çevirelim.

\( 4^\frac{x - 1}{6} = (4^{2})^\frac{1 - x}{3} \)

\( 4^\frac{x - 1}{6} = 4^{\frac{2(1 - x)}{3}} \)

Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.

\( \dfrac{x - 1}{6} = \dfrac{2(1 - x)}{3} \)

İçler dışlar çarpımı yapalım.

\( 3(x - 1) = 12(1 - x) \)

\( 3x - 3 = 12 - 12x \)

\( x = 1 \) bulunur.

Çift dereceli köklü ifadelerin sonucu negatif olamaz. Buna göre verilen işlemin sonucunun sıfır olabilmesi için her iki köklü ifadenin de içi sıfır olmalıdır.

\( x^2 - y^2 - 21 = 0 \) ve \( x - y - 3 = 0 \)

\( x^2 - y^2 = 21 \) ve \( x - y = 3 \)

\( x^2 - y^2 = (x - y) \cdot (x + y) = 21 \)

\( 3 \cdot (x + y) = 21\)

\( x + y = 7 \)

\( x \) ve \( y \) arasındaki iki eşitliği ortak çözelim.

\( x = 5, \quad y = 2 \)

Buna göre \( x \cdot y = 5 \cdot 2 = 10 \) olarak bulunur.

Köklü ifadeleri aynı tarafta toplayıp her iki tarafın karesini alalım.

\( (x + 3) = \dfrac{\sqrt{4x+12}}{\sqrt{x-3}} \)

\( (x + 3)^2 = \dfrac{4x + 12}{x - 3} \)

\( (x + 3)^2 = \dfrac{4(x + 3)}{x - 3} \)

\( x + 3\) çarpanları sadeleşir.

\( x + 3 = \dfrac{4}{x - 3} \)

\( (x + 3)(x - 3) = 4 \)

\( x^2 - 9 = 4 \)

\( x^2 = 13 \)

\( x = -\sqrt{13} \) değeri soruda verilen \( \sqrt{x - 3} \) ifadesinin içini negatif yapacağı için geçerli bir çözüm değildir.

\( x = \sqrt{13} \) bulunur.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( 4x + 5y = \sqrt{7} \cdot (x - y) - 18 \)

\( x \) ve \( y \) tam sayı oldukları için eşitliğin sol tarafı tam sayı olur. Eşitliğin sağ tarafının da tam sayı olabilmesi için \( \sqrt{7} \) irrasyonel sayısının katsayısı sıfır olmalıdır, bu da \( x = y \) olduğunda sağlanır.

\( y = x \) koyalım.

\( 4x + 5x = \sqrt{7} \cdot (x - x) - 18 \)

\( 9x = -18 \)

\( x = y = -2 \)

\( x \cdot y = (-2) \cdot (-2) = 4 \) bulunur.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( x\sqrt{5} + x - 8 = y\sqrt{20} \)

\( x\sqrt{5} - y\sqrt{20} = 8 - x \)

\( x\sqrt{5} - 2y\sqrt{5} = 8 - x \)

\( (x - 2y) \cdot \sqrt{5} = 8 - x \)

\( x \) ve \( y \) tam sayı olduğu için \( x - 2y \) ve \( 8 - x \) ifadeleri de tam sayıdır. Bir tam sayı ile irrasyonel sayının çarpımı tam sayı olamayacağı için \( \sqrt{5} \) katsayısı, dolayısıyla eşitliğin her iki tarafı sıfır olmalıdır.

\( 8 - x = 0 \Longrightarrow x = 8 \)

\( x - 2y = 0 \Longrightarrow y = 4 \)

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \sqrt{\dfrac{4x}{x} + \dfrac{4}{x}} + \sqrt{ \dfrac{9x}{x} + \dfrac{9}{x}} + \sqrt{\dfrac{16x}{x} + \dfrac{16}{x}} \)

\( = \sqrt{\dfrac{4x + 4}{x}} + \sqrt{\dfrac{9x + 9}{x}} + \sqrt{\dfrac{16x + 16}{x}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{4(x + 1)}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{9(x + 1)}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{16(x + 1)}}{\sqrt{x}} \)

\( = \dfrac{2\sqrt{x + 1} + 3\sqrt{x + 1} + 4\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} \)

\( = \dfrac{9\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} = 18\)

\( 9\sqrt{x + 1} = 18\sqrt{x} \)

\( \sqrt{x + 1} = 2\sqrt{x} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( (\sqrt{x + 1})^2 = (2\sqrt{x})^2 \)

\( x + 1 = 4x \)

\( x = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Çözüm adımlarında eşitliğin iki tarafının karesini aldığımız için geçersiz bir çözüm oluşmuş olabilir, \( x = \frac{1}{3} \) değerini orijinal denklemde yerine koyarak çözümün sağlamasını yapalım.

\( \sqrt{4 + \dfrac{4}{\frac{1}{3}}} + \sqrt{9 + \dfrac{9}{\frac{1}{3}}} + \sqrt{16 + \dfrac{16}{\frac{1}{3}}} = 18 \)

\( \sqrt{4 + 12} + \sqrt{9 + 27} + \sqrt{16 + 48} = 18 \)

\( 4 + 6 + 8 = 18 \)

Eşitlik sağlandığı için \( x = \frac{1}{3} \) geçerli bir çözümdür.

\( x - 1 \) için kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( \dfrac{(\sqrt{x})^2 - 1^2}{\sqrt{x} + 1} = 3 \)

\( \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = 3 \)

Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.

\( \sqrt{x} - 1 = 3 \)

\( \sqrt{x} = 4 \)

\( (\sqrt{x})^2 = 4^2 \)

\( x = 16 \) bulunur.