Köklü İfade Tanımı

İfadeleri tam kare sayılar cinsinden yazalım.

\( \sqrt{\dfrac{144}{100}} - \sqrt{\dfrac{49}{100}} + \sqrt{\dfrac{81}{100}} \)

\( = \sqrt{\left( \dfrac{12}{10} \right)^2} - \sqrt{\left( \dfrac{7}{10} \right)^2} + \sqrt{\left( \dfrac{9}{10} \right)^2} \)

\( = \dfrac{12}{10} - \dfrac{7}{10} + \dfrac{9}{10} \)

\( = \dfrac{12 - 7 + 9}{10} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5} \)

\( 1331 = 11^3 \)

\( \sqrt[3]{0,000001331} = \sqrt[3]{1331 \cdot 10^{-9}} \)

\( = 11 \cdot 10^{-3} = 0,011 \) olarak bulunur.

\( \sqrt{147} =\sqrt{49 \cdot 3} \)

\( = 7\sqrt{3} \)

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} \)

\( = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} \)

\( = 5\sqrt{3} \)

Bu değerleri verilen ifadede yerlerine koyalım.

\( \dfrac{7\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 1 \) olarak bulunur.

İç içe olan köklü sayılarda hesaplamaya en içteki köklü ifadeden başlayıp dışa doğru gitmeliyiz.

\( = \sqrt[3]{24 + \sqrt{7 + \sqrt[4]{13 + 3}}} \)

\( = \sqrt[3]{24 + \sqrt{7 + 2}}\)

\( = \sqrt[3]{24 + 3}\)

\( = \sqrt[3]{27} = 3\)

İki tarafın karesini alalım.

\( 4 + 7\sqrt{1 + 2\sqrt{6 + 2\sqrt{x}}} = 25 \)

\( \sqrt{1 + 2\sqrt{6 + 2\sqrt{x}}} = 3 \)

İki tarafın tekrar karesini alalım.

\( 1 + 2\sqrt{6 + 2\sqrt{x}} = 9 \)

\( \sqrt{6 + 2\sqrt{x}} = 4 \)

İki tarafın tekrar karesini alalım.

\( 6 + 2\sqrt{x} = 16 \)

İki tarafın tekrar karesini alalım.

\( \sqrt{x} = 5 \)

\( x = 25 \) bulunur.

\( a \) bir tam kare ve \( b \) bir tam küp sayı ise bu sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( a = m^2 \)

\( b = n^3 \)

\( m \) sayısının bir tam küp ve \( n \) sayısının bir tam kare sayı olduğunu varsayalım.

\( p, q \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( m = p^3 \)

\( n = q^2 \)

Bu durumda \( a \) ve \( b \) sayılarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( a = m^2 = (p^3)^2 = p^6 \)

\( b = n^3 = (q^2)^3 = q^6 \)

\( a \cdot b \) çarpımı aşağıdaki gibi olur.

\( a \cdot b = m^2 \cdot n^3 = p^6 \cdot q^6 = (p \cdot q)^6 \)

Elde ettiğimiz bu sayı hem tam kare hem de tam küp olmuş olur.

\( a \cdot b = ((p \cdot q)^3)^2 = ((p \cdot q)^2)^3 \)

Dolayısıyla \( a \cdot b \) çarpımı hem tam kare hem tam küp olabilir, ancak \( m \) ve \( n \) sayılarının yukarıdaki koşulu sağlamadığı durumlarda (örneğin iki sayının asal olması durumunda) \( a \cdot b \) çarpımı tam kare veya tam küp olmayabilir.

Buna göre doğru seçenek "(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir." olur.

\( \sqrt{28} + \sqrt{45}\) ifadesini düzenleyelim.

\( \sqrt{28} + \sqrt{45} = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} \)

\( 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} \) ifadesinden \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \) ifadesini çıkararak ikinci ifadenin birinciden ne kadar eksik olduğunu bulabiliriz.

\( 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} - (\sqrt{7} + \sqrt{5}) \)

\( = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} - \sqrt{7} - \sqrt{5} \)

\( = \sqrt{7} + 2\sqrt{5} \)

Buna göre \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \) ifadesi \( \sqrt{28} + \sqrt{45} \) ifadesinden \( \sqrt{7} + 2\sqrt{5} \) kadar eksiktir.

Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( \sqrt{(\dfrac{5}{7})^2 + (\dfrac{7}{11})^2 - \dfrac{10}{11}} \)

Kök içindeki üçüncü terim parantez karesi açılımındaki ikinci terime karşılık gelir.

\( \dfrac{10}{11} = 2 \cdot \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{7}{11} \)

\( = \sqrt{(\dfrac{5}{7} - \dfrac{7}{11})^2} = \dfrac{5}{7} - \dfrac{7}{11} \)

\( = \dfrac{55}{77} - \dfrac{49}{77} = \dfrac{6}{77} \) bulunur.

Bir karekök ifadesinin sonucu tam sayı ise kök içindeki sayı bir tam sayının karesidir.

Buna göre sonucu tam sayı olan 15 terim, 1'den 15'e kadar olan tam sayıların karelerinin kareköküdür.

\( \sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \ldots, \sqrt{225} \)

Sayı dizisi \( \sqrt{15^2} = \sqrt{225} \) terimini içermeli, sonraki tam kare ifade olan \( \sqrt{16^2} = \sqrt{256} \) terimini içermemelidir.

Buna göre \( a \)'nın alabileceği en büyük değer 255 olur.

İki basamaklı sayıların çözümlemesini yapalım.

\( \sqrt{(ab) + (ba)} = \sqrt{(10a + b) + (10b + a)} \)

\( = \sqrt{11(a + b)} \)

Bu ifadenin tam sayı olması için \( a + b = 11 \) olmalıdır (\( a \) ve \( b\) birer rakamdır).

\( a + b = 11 \)

Toplamı 11 olan \( (a, b) \) rakam ikililerini bulalım.

\( (a, b) \in \{(2, 9), (3, 8), (4, 7), \ldots, (8, 3), (9, 2)\} \)

Buna göre verilen ifadeyi tam sayı yapan 8 tane \( (a, b) \) ikilisi vardır.

Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için sayı asal çarpanlarının üsleri biçiminde yazılır. Üslerin bir fazlasının çarpımı pozitif tam bölen sayısını verir.

Örneğin, \( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \) sayısının pozitif tam bölen sayısı \( (3 + 1) \cdot (1 + 1) = 8 \) olur.

Bir sayının pozitif tam bölen sayısı 3 ise o sayının tek bir asal çarpanı vardır ve üssü 2'dir (\( A = x^2 \)), bu da o sayının bir asal sayının karesi olduğu anlamına gelir.

Bu yüzden \( \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \) ifadesinin sonucunun en küçük olması için \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarını karekök değerleri birer asal sayı olan en küçük tam kare sayılardan seçmeliyiz.

\( a = 2^2 = 4 \)

\( b = 3^2 = 9 \)

\( c = 5^2 = 25 \)

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri \( \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{25} = 10 \) olur.

İşleme en alttaki bölme işleminden başlayalım.

\( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \dfrac{1}{\dfrac{3}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \dfrac{1}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{2\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} \)

\( = \dfrac{2}{3} \) bulunur.

Bir sayının tam kare olması için, sayı tüm çarpanlarının kuvveti çift sayı olacak şekilde yazılabilmelidir.

(a) seçeneğinde örneğin 23 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.

(b) seçeneğinde 17 sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.

\( 16! \cdot 17! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \)

\( = (16!)^2 \cdot 17 \)

(c) seçeneğinde örneğin 17 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.

\( 16! \cdot 25! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 25 \)

(d) seçeneği yukarıda verdiğimiz tanıma uygun şekilde yazılabildiği için tam kare sayıdır.

\( 35! \cdot 36! = 35! \cdot 35! \cdot 36 \)

\( = (35!)^2 \cdot 6^2 \)

(e) seçeneğinde örneğin 73 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.

\( 25! \cdot 75! \)

Bu tip soruları verilen işlemleri yaparak çözebilecek olsak da, daha hızlı bir çözüm için sayıları sadeleşecek bir forma getirmeye çalışırız.

Kök içindeki 4 sayıyı tam ortalarında bulunan sayı olan 200 cinsinden yazalım.

\( \sqrt{(200 + 4)(200 - 4) - (200 - 5)(200 + 5)} \)

\( a = 200 \) diyelim.

\( \sqrt{(a + 4)(a - 4) - (a - 5)(a + 5)} \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( \sqrt{(a^2 - 16) - (a^2 - 25)} \)

\( \sqrt{ a^2 - 16 - a^2 + 25} \)

\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.

Bu tip soruları verilen işlemleri yaparak çözebilecek olsak da, daha hızlı bir çözüm için sayıları sadeleşecek bir forma getirmeye çalışırız.

Kök içindeki sayılardan herhangi birine \( a \) diyelim. Biz burada \( a = 1453 \) olarak seçelim.

\( \sqrt{(a + 4) \cdot (a + 16) - a \cdot (a + 20)} \)

Parantez içindeki ifadeleri çarpalım.

\( = \sqrt{(a^2 + 20a + 64) - (a^2 + 20a)} \)

\( = \sqrt{a^2 + 20a + 64 - a^2 - 20a} \)

\( = \sqrt{64} = 8 \) bulunur.

İfadeyi bir parantez karesi açılımına benzetelim.

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

Soruda verilen ifadeyi buna benzer şekilde yazalım.

\( (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 3a + b^2 \)

\( 4ab = 3a \)

\( b = \dfrac{3}{4} \) olarak bulunur.