Paydayı Rasyonel Hale Getirme
Kesirli ifadelerin paydalarında köklü ifadeler bulunmasında matematiksel açıdan bir yanlışlık olmasa da, birkaç sebeple paydada sadece rasyonel ifadelerin bulunması tercih edilir.
- Tutarlılık: Bir sayının (örneğin bir problemin doğru cevabının) farklı gösterimleri bu şekilde standart bir forma getirilir (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) yerine \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)).
- İşlem kolaylığı: Paydaları eşitlemek \( \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \) işlemi için \( \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \) işlemine göre daha kolaydır.
- Yaklaşık değer ile hesaplama: \( \sqrt{3} \) ifadesinin yaklaşık değerini kullanarak \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) ifadesini hesaplamak ya da sonucunu tahmin etmek \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) ifadesini hesaplamaktan daha kolaydır.
Paydayı rasyonel hale getirme, bir diğer ifadeyle paydayı kökten kurtarma işlemini paydanın farklı formları için farklı şekillerde gerçekleştirebiliriz.
Paydada Tek Terimli İfade
Paydada \( \sqrt{a} \) şeklinde tek terimli ve 2. dereceden köklü bir ifade varsa payı ve paydayı bu ifadeyle çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( \textcolor{red}{\sqrt{3}} \) ifadesi ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{3}}}{\textcolor{red}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \)
\( \dfrac{2}{\sqrt{125}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Önce paydadaki ifadede kök içini sadeleştirelim.
\( \dfrac{2}{\sqrt{125}} = \dfrac{2}{5\sqrt{5}} \)
Payı ve paydayı paydadaki \( \textcolor{red}{\sqrt{5}} \) ifadesi ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( = \dfrac{2}{5\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{5}}}{\textcolor{red}{\sqrt{5}}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{25} \)
Alternatif olarak, sadeleştirme yapmadan ve payı/paydayı \( \sqrt{125} \) ile çarparak da paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt{a + b}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( \textcolor{red}{\sqrt{a + b}} \) ifadesi ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt{a + b}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{a + b}}}{\textcolor{red}{\sqrt{a + b}}} = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a + b} \)
Paydada \( \sqrt[n]{a} \) şeklinde tek terimli ve n. dereceden (\( n \gt 2 \)) köklü bir ifade varsa payı ve paydayı, bu ifadenin kök içinin üssünü köklü ifadenin derecesine eşitleyecek ya da bu derecenin bir tam sayı katına getirecek bir ifade ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( \sqrt[3]{5} \) ifadesinin içinin üssünü ifadenin derecesine eşitleyecek şekilde \( \textcolor{red}{\sqrt[3]{5^2}} \) ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt[3]{5^2}}}{\textcolor{red}{\sqrt[3]{5^2}}} = \dfrac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^3}} = \dfrac{\sqrt[3]{5^2}}{5} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt[4]{32}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
\( \dfrac{1}{\sqrt[4]{32}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2^5}} \)
Payı ve paydayı paydadaki \( \sqrt[4]{2^5} \) ifadesinin içinin üssünü ifadenin derecesinin bir tam sayı katına getirecek şekilde \( \textcolor{red}{\sqrt[4]{2^3}} \) ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2^5}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt[4]{2^3}}}{\textcolor{red}{\sqrt[4]{2^3}}} = \dfrac{\sqrt[4]{2^3}}{\sqrt[4]{2^8}} = \dfrac{\sqrt[4]{2^3}}{2^2} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt[5]{a^6b^2}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( \sqrt[5]{a^6b^2} \) ifadesinin içindeki çarpanların üssünü ifadenin derecesine eşitleyecek ya da bu derecenin bir tam sayı katına getirecek şekilde \( \textcolor{red}{\sqrt[5]{a^4b^3}} \) ile çarparak paydayı kökten kurtarabilir ve rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt[5]{a^6b^2}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt[5]{a^4b^3}}}{\textcolor{red}{\sqrt[5]{a^4b^3}}} = \dfrac{\sqrt[5]{a^4b^3}}{\sqrt[5]{a^{10}b^5}} = \dfrac{\sqrt[5]{a^4b^3}}{a^2b} \)
Paydada İki Terimli İfade
İki terimli ifadeleri rasyonel hale getirmek için kullanabileceğimiz özdeşlikler için özdeşlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Paydada biri ya da ikisi karekök içinde olan iki terimli bir ifade varsa payı ve paydayı paydadaki ifadenin eşleniği ile çarparak \( a^2 - b^2 \) özdeşliği elde edebilir, bu şekilde paydada kök içindeki terimleri kökten kurtarabilir ve paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \) ifadesinin eşleniği olan \( \textcolor{red}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \) ile çarparak paydada kök içindeki terimleri kökten kurtarabilir ve paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}}{\textcolor{red}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3} \)
\( \dfrac{6}{3 + \sqrt{7}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı paydadaki \( 3 + \sqrt{7} \) ifadesinin eşleniği olan \( \textcolor{red}{3 - \sqrt{7}} \) ile çarparak paydada kök içindeki terimleri kökten kurtarabilir ve paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{6}{3 + \sqrt{7}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{3 - \sqrt{7}}}{\textcolor{red}{3 - \sqrt{7}}} \)
\( = \dfrac{6(3 - \sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = 3(3 - \sqrt{7}) \)
Paydada biri ya da ikisi küp kök içinde olan iki terimli bir ifade varsa payı ve paydayı \( a^3 - b^3 \) ya da \( a^3 + b^3 \) özdeşliği elde edebileceğimiz bir çarpan ile çarparak paydada kök içindeki terimleri kökten kurtarabilir ve paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
Bu iki özdeşlik aşağıda hatırlatma olarak verilmiştir.
\( a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 \)
\( = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{ab} + (\sqrt[3]{b})^2) \)
\( a + b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 \)
\( = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{ab} + (\sqrt[3]{b})^2) \)
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getirelim.
Payı ve paydayı \( \textcolor{red}{(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2} \) ile çarparak paydada kök içindeki terimleri kökten kurtarabilir ve paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}}{\textcolor{red}{(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{3})^3} \) \( = \dfrac{(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}{8} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6}} \) ifadesinin paydasını rasyonel hale getiriniz.
Çözümü Göster\( \dfrac{1}{\sqrt{400} + \sqrt{401}} + \dfrac{1}{\sqrt{401} + \sqrt{402}} \) \( + \dfrac{1}{\sqrt{402} + \sqrt{403}} + \ldots \) \( + \dfrac{1}{\sqrt{899} + \sqrt{900}} \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterAhmet \( \sqrt{15} - \sqrt{10} \) ifadesini eşleniği ile çarpmak yerine yanlışlıkla bölmüştür.
Buna göre Ahmet'in bulması gereken sayı bulduğu sayıdan kaç fazladır?
Çözümü Göster\( \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{5} - 1} = A \) olduğuna göre,
\( \dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{3} - 1} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster