Köklü ifadelerin reel sayılarda tanımlı oldukları aralıklar ifadenin derecesinin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.
Bir köklü ifadenin derecesi tek sayı ise köklü ifadenin içi pozitif, negatif ya da sıfır olabilir.
Bir reel sayının tek sayıda kuvvetinin sonucu pozitif ise bu sayı sadece pozitif olabilir, dolayısıyla pozitif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu tanımlı ve pozitiftir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x^{2n + 1} = (+) \Longrightarrow x \) pozitiftir.
\( \sqrt[2n + 1]{(+)} = (+) \)
\( \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4 \cdot 4 \cdot 4} = 4 \)
Bir reel sayının tek sayıda kuvvetinin sonucu negatif ise bu sayı sadece negatif olabilir, dolayısıyla negatif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu tanımlı ve negatiftir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x^{2n + 1} = (-) \Longrightarrow x \) negatiftir.
\( \sqrt[2n + 1]{(-)} = (-) \)
\( \sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)(-4)(-4)} = -4 \)
Bir köklü ifadenin derecesi çift sayı ise köklü ifadenin içi pozitif ya da sıfır olabilir, negatif olamaz.
Pozitif ve negatif reel sayıların çift sayıda kuvvetinin sonucu her zaman pozitiftir, dolayısıyla negatif sayıların çift dereceli kökleri reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x^{2n} = (-) \Longrightarrow x \)'in reel sayılar kümesinde çözümü yoktur.
\( \sqrt[2n]{(-)} \Longrightarrow \) Reel sayılarda tanımsız
\( \sqrt{-4} \Longrightarrow \) Reel sayılarda tanımsız
Bunun bir sonucu olarak, çift dereceli köklü ifadelerin içini negatif yapan değişken değerleri denklemlerde çözüm kümesinin, fonksiyonlarda tanım kümesinin dışında tutulmalıdır.
\( \sqrt{x} \Longrightarrow x \ge 0 \)
\( \sqrt{4 - x} \Longrightarrow 4 - x \ge 0 \Longrightarrow x \le 4 \)
\( \sqrt{x^2 - 4x + 3} \Longrightarrow x^2 - 4x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \in \mathbb{R} - (1, 3) \)
Pozitif ve negatif reel sayıların çift sayıda kuvvetinin sonucu her zaman pozitiftir. Buradan pozitif bir sayının çift dereceli köklerinin sonucunun hem pozitif hem de negatif olabileceği sonucu çıkabilir, ancak tanım gereği pozitif bir sayının çift dereceli kökünün sonucu sadece pozitif olabilir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt[2n]{(+)} = (+) \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
\( \sqrt{9} \ne -3 \)
Bunun bir sonucu olarak, değerinin pozitif mi negatif mi olduğu bilinmeyen bir değişkenin karesinin karekökünü (ya da \( n \) çift olmak üzere \( n \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökünü) aldığımızda sonuç \( x \) değil, \( \abs{x} \) olur. Mutlak değer konusunda göreceğimiz üzere, aşağıdaki birinci ifade aynı zamanda mutlak değerin tanımlarından biridir.
\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
\( \sqrt[2n]{x^{2n}} = \abs{x} \)
\( \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = \abs{5} = +5 \)
\( \sqrt{25} = \sqrt{(-5)^2} = \abs{-5} = +5 \)
\( \sqrt[4]{(-3)^4} = \abs{-3} = +3 \)
Burada benzer iki ifade arasındaki ayrıma dikkat çekmemiz önem taşımaktadır. Aşağıdaki üslü eşitliğin çözüm kümesi 5 ve -5 olur, çünkü her iki değeri de \( x \) yerine koyduğumuzda eşitlik sağlanmaktadır.
\( x^2 = 25 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -5, 5 \} \)
Ancak aşağıdaki köklü eşitliğin çözüm kümesi mutlak değer işleminden dolayı sadece 5'tir.
\( x = \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = \abs{5} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 5 \} \)
Çözüm kümesi: \( x \notin \{ -5, 5 \} \)
\(\ \sqrt{5 - x} + \sqrt{6 + x} + \sqrt{(x - 3)^2}\) ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?
Çözümü Göster\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{3 - x}} \) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulun.
Çözümü Göster\( a \lt 0 \lt b \) olmak üzere,
\( \sqrt{(b - a)^2} - \sqrt{(2a - b)^2} + \sqrt{b^2} - \sqrt{a^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( x \lt 0 \lt y \) olmak üzere,
\( \sqrt{x^2 - 2xy + y^2} - \sqrt[3]{(-y)^3} - \sqrt[4]{x^4} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster