Belirli sayıda köklü ifadeyi sayısal değerlerine göre sıralamak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.
Köklü ifadelerin dereceleri eşitse kök dışındaki katsayılar kök içine alınır. Bu işlem sonucunda kök içindeki değeri büyük olan ifade daha büyüktür.
Köklü ifadelerin dereceleri farklı ise ifadelerin dereceleri EKOK değerlerinde eşitlenecek şekilde kök içlerinin üssü alınır. Bu işlem sonucunda kök içindeki değeri büyük olan ifade daha büyüktür.
Köklü ifadeleri üslü ifadeye çevirerek de sıralama yapabiliriz.
Buna göre, tabanları eşit ve 1'den büyük olan ifadelerden üssü daha büyük olan daha büyüktür. Tabanları eşit ve \( (0, 1) \) aralığında olan ifadelerden üssü daha büyük olan daha küçüktür.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe sıralayın.
\( a = \sqrt{29} + \sqrt{7} \)
\( b = \sqrt{15} + \sqrt{21} \)
\( c = \sqrt{30} + \sqrt{6} \)
Çözümü Göster
İfadelerin karesini alalım.
\( a^2 = (\sqrt{29} + \sqrt{7})^2 \)
\( = (\sqrt{29})^2 + 2\sqrt{29}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 \)
\( = 36 + 2\sqrt{203} \)
\( b^2 = (\sqrt{15} + \sqrt{21})^2 \)
\( = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{15}\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 \)
\( = 36 + 2\sqrt{315} \)
\( c^2 = (\sqrt{30} + \sqrt{6})^2 \)
\( = (\sqrt{30})^2 + 2\sqrt{30}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = 36 + 2\sqrt{180} \)
Elde ettiğimiz sayıların tümü \( 36 + 2\sqrt{a} \) şeklinde olduğu için köklü ifadenin içi daha büyük olan daha büyüktür.
Buna göre sıralama aşağıdaki şekilde olur.
\(c \lt a \lt b\)
SORU 2:
\( x \gt x^2 \) olmak üzere,
\( a = \sqrt[4]{x^5}, \quad b = \sqrt[3]{x^4}, \quad c = \sqrt[6]{x^7} \)
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
Köklü ifadelerin derecelerini mevcut derecelerin EKOK'u olan 24'te eşitleyelim.
\( a = \sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4 \cdot 6]{x^{5 \cdot 6}} = \sqrt[24]{x^{30}} \)
\( b = \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3 \cdot 8]{x^{4 \cdot 8}} = \sqrt[24]{x^{32}} \)
\( c = \sqrt[6]{x^7} = \sqrt[6 \cdot 4]{x^{7 \cdot 4}} = \sqrt[24]{x^{28}} \)
\( x \gt x^2 \) olduğuna göre \( x \) sayısı \( (0, 1) \) aralığındadır. Bu aralıkta \( x \)'in üssü büyüdükçe sayının değeri azalır.
Buna göre verilen ifadelerin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( b \lt a \lt c \)
SORU 3:
\( a = \sqrt{18} - \sqrt{15} \)
\( b = \sqrt{33} - \sqrt{30} \)
\( c = \sqrt{24} - \sqrt{21} \)
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
3 sayıyı da \( \sqrt{3} \) parantezine alalım.
\( a = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5}) \)
\( b = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{10}) \)
\( c = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{7}) \)
Köklü sayılar arasındaki çıkarma işleminde kök içindeki sayılar arasındaki fark sabit kalmak koşuluyla, kök içindeki sayı daha küçük olan ifade daha büyüktür.
Örnek: \( (\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0,32) \lt (\sqrt{2} - 1 \approx 0,41) \)
\( \sqrt{11} - \sqrt{10} \lt \sqrt{8} - \sqrt{7} \lt \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( b \lt c \lt a \)
SORU 4:
\( z \lt y \lt x \) olmak üzere,
\( a = \sqrt[y]{5\sqrt[x]{\sqrt[z]{5}}} \)
\( b = \sqrt[z]{5\sqrt[x]{\sqrt[y]{5}}} \)
\( c = \sqrt[x]{5\sqrt[y]{\sqrt[z]{5}}} \)
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
Köklü ifadelerin derecelerini eşitleyelim.
\( a = \sqrt[y]{5\sqrt[x]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[yx]{5^x\sqrt[z]{5}} \) \( = \sqrt[yxz]{5^{xz} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{xz + 1}} \)
\( b = \sqrt[z]{5\sqrt[x]{\sqrt[y]{5}}} = \sqrt[zx]{5^x \sqrt[y]{5}} \) \( = \sqrt[zxy]{5^{xy} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{xy + 1}} \)
\( c = \sqrt[x]{5\sqrt[y]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[xy]{5^y\sqrt[z]{5}} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{yz} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{yz + 1}} \)
Köklü ifadelerin dereceleri eşit olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan ifade daha büyük olur.
\( yz + 1 \lt xz + 1 \lt xy + 1 \) olduğu için,
Sıralama \( c \lt a \lt b \) şeklinde olur.
SORU 5:
\( a = 2\sqrt{5} - 4 \)
\( b = 4 - \sqrt{12} \)
\( c = \sqrt{12} - \sqrt{8} \)
sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.
Çözümü Göster
İfadeleri düzenleyerek birbirine benzetelim.
\( a = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{4} = 2(\sqrt{5} - \sqrt{4}) \)
\( b = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{4} - \sqrt{3}) \)
\( c = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)
Bu ifadelerden tüm sayıların pozitif olduğunu görebiliriz.
İfadelerde ortak terimler olduğu için terimler arasında çıkarma değil toplama işlemi olsaydı karşılaştırma yapmak daha kolay olurdu.
\( \sqrt{5} + \sqrt{4} \gt \sqrt{4} + \sqrt{3} \gt \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
İşlemleri toplamaya çevirmek için ifadelerin çarpmaya göre tersini alıp eşlenikleri ile çarpalım.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2(\sqrt{5} - \sqrt{4})} \)
\( \dfrac{2}{a} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{4}}{(\sqrt{5} - \sqrt{4})(\sqrt{5} + \sqrt{4})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{4})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{4} \)
\( \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2(\sqrt{4} - \sqrt{3})} \)
\( \dfrac{2}{b} = \dfrac{\sqrt{4} + \sqrt{3}}{(\sqrt{4} - \sqrt{3})(\sqrt{4} + \sqrt{3})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{4} + \sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} + \sqrt{3} \)
\( \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( \dfrac{2}{c} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
Elde ettiğimiz ifadeler arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.
\( \sqrt{5} + \sqrt{4} \gt \sqrt{4} + \sqrt{3} \gt \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \dfrac{2}{a} \gt \dfrac{2}{b} \gt \dfrac{2}{c} \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'ye böldüğümüzde eşitsizlik aynı kalır.
\( \dfrac{1}{a} \gt \dfrac{1}{b} \gt \dfrac{1}{c} \)
Tüm ifadeler pozitif olduğu için eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( a \lt b \lt c \)
SORU 6:
\( \sqrt{0,4} \) sayısının değeri 0,2, 0,04, 0,8, 1,6 sayılarından hangisine en yakındır?
Çözümü Göster
Tüm sayıların karesini alalım.
\( \sqrt{0,4}^2 = 0,4 \)
\( (0,2)^2 = 0,04 \)
\( (0,04)^2 = 0,0016 \)
\( (0,8)^2 = 0,64 \)
\( (1,6)^2 = 2,56 \)
Buna göre \( \sqrt{0,4} \) sayısının en yakın olduğu sayı \( 0,8 \)'dir
SORU 7:
\( a = \sqrt{13} + \sqrt{3} \)
\( b = \sqrt{10} + \sqrt{6} \)
\( c = \sqrt{5} + \sqrt{11} \)
ifadelerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması nedir?
Çözümü Göster
Dikkat edilirse her ifadede kök içindeki sayıların toplamı sabit ve 16'dır.
Üç ifadenin de karesini alalım.
\( a^2 = 13 + 2\sqrt{13 \cdot 3} + 3 = 16 + 2\sqrt{39} \)
\( b^2 = 10 + 2\sqrt{10 \cdot 6} + 6 = 16 + 2\sqrt{60} \)
\( c^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 11} + 11 = 16 + 2\sqrt{55} \)
İfadelerin tümü \( 16 + 2\sqrt{a} \) formunda olduğu için kök içi daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( a \lt c \lt b \)
SORU 8:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi daha büyüktür?
\( a = \sqrt{5} + \sqrt{6} \)
\( b = \sqrt{11} \)
Çözümü Göster
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 0 \lt b \lt a \) ise \( b^n \lt a^n \)
Birinci ifadenin karesini alalım.
\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 \)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = 11 + 2\sqrt{30}\)
İkinci ifadenin karesini alalım.
\( b^2 = (\sqrt{11})^2 = 11 \)
\( 11 + 2\sqrt{30} \gt 11 \) olduğu görülür.
Buna göre \( a \) daha büyüktür.
SORU 9:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi daha büyüktür?
\( a = \sqrt{5} + \sqrt{2} \)
\( b = \sqrt{10 + 2\sqrt{10}} \)
Çözümü Göster
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 0 \lt b \lt a \) ise \( b^n \lt a^n \)
Birinci ifadenin karesini alalım.
\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} + (\sqrt{2})^2 \)
\( = 7 + 2\sqrt{10}\)
İkinci ifadenin karesini alalım.
\( b^2 = (\sqrt{10 + 2\sqrt{10}})^2 = 10 + 2\sqrt{10} \)
\( 10 + 2\sqrt{10} \gt 7 + 2\sqrt{10} \) olduğu görülür.
Buna göre \( b \) daha büyüktür.
SORU 10:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi daha büyüktür?
\( a = \sqrt[3]{3} \)
\( b = \sqrt[4]{4} \)
\( c = \sqrt[6]{6} \)
Çözümü Göster
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 0 \lt b \lt a \) ise \( b^n \lt a^n \)
Birinci ifadenin 12. kuvvetini alalım.
\( a^{12} = (\sqrt[3]{3})^{12} = (3^{\frac{1}{3}})^{12} \)
\( = 3^4 = 81 \)
İkinci ifadenin 12. kuvvetini alalım.
\( b^{12} = (\sqrt[4]{4})^{12} = (4^{\frac{1}{4}})^{12} \)
\( = 4^3 = 64 \)
Üçüncü ifadenin 12. kuvvetini alalım.
\( c^{12} = (\sqrt[6]{6})^{12} = (6^{\frac{1}{6}})^{12} \)
\( = 6^2 = 36 \)
\( 81 \gt 64 \gt 36 \) olduğu görülür.
Buna göre \( a \) daha büyüktür.
SORU 11:
\( \sqrt{2}, \quad \sqrt[5]{5}, \quad \sqrt[10]{10}, \quad \sqrt[4]{3} \)
ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)
\( \sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}} \)
\( \sqrt[10]{10} = 10^{\frac{1}{10}} \)
\( \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} \)
Tabanlar 1'den büyük olduğu için tüm ifadelerin aynı pozitif tam sayı üssünü aldığımızda sıralama değişmez.
Sayıların 20. üssünü alalım.
\( (2^{\frac{1}{2}})^{20} = 2^{10} = 1024 \)
\( (5^{\frac{1}{5}})^{20} = 5^4 = 625 \)
\( (10^{\frac{1}{10}})^{20} = 10^2 = 100 \)
\( (3^{\frac{1}{4}})^{20} = 3^5 = 243 \)
Buna göre sıralama aşağıdaki gibi olur.
\( 100 \lt 243 \lt 625 \lt 1024 \)
\( \sqrt[10]{10} \lt \sqrt[4]{3} \lt \sqrt[5]{5} \lt \sqrt{2} \)
SORU 12:
\( 0 \lt x \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{\sqrt{x}}, \dfrac{1}{x^2}, \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}}, \dfrac{1}{x} \)
ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \)
\( \dfrac{1}{x^2} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} = \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \)
\( \dfrac{1}{x} \)
\( (0, 1) \) aralığındaki bir sayının daha büyük üssü daha küçüktür.
\( x^2 \lt x^{\frac{4}{3}} \lt x \lt x^{\frac{1}{2}} \)
Bu ifadelerin çarpmaya göre tersi alındığında sıralama tersine döner.
\( \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)