Köklü İfadelerin Sıralaması

Köklü ifadelerin katsayılarını kök içine alalım.

\( a = 3\sqrt{19} = \sqrt{9 \cdot 19} = \sqrt{171} \)

\( b = 10\sqrt{2} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{200} \)

\( c = 6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \)

\( d = 5\sqrt{7} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{175} \)

\( e = 8\sqrt{3} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{192} \)

Kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt d \lt c \lt e \lt b \)

Köklü ifadelerin derecelerini mevcut derecelerin EKOK'unda eşitleyelim.

\( EKOK(3, 4, 6) = 12 \)

\( a = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[12]{81} \)

\( b = \sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64} \)

\( c = \sqrt[6]{6} = \sqrt[6 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[12]{36} \)

Dereceleri aynı köklü ifadelerden kök içi daha büyük olan ifade daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt b \lt a \)

Köklü ifadelerin derecelerini mevcut derecelerin EKOK'unda eşitleyelim.

\( EKOK(4, 3, 6) = 12 \)

\( a = \sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4 \cdot 3]{x^{5 \cdot 3}} = \sqrt[12]{x^{15}} \)

\( b = \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3 \cdot 4]{x^{4 \cdot 4}} = \sqrt[12]{x^{16}} \)

\( c = \sqrt[6]{x^7} = \sqrt[6 \cdot 2]{x^{7 \cdot 2}} = \sqrt[12]{x^{14}} \)

Dereceleri aynı köklü ifadelerden kök içi daha büyük olan ifade daha büyüktür.

\( x \gt x^2 \) olduğuna göre \( x \) sayısı \( (0, 1) \) aralığındadır. Bu aralıkta \( x \)'in üssü büyüdükçe sayının değeri azalır.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt a \lt c \)

Köklü ifadelerin derecelerini mevcut derecelerin EKOK'unda eşitleyelim.

\( EKOK(2, 4, 5, 10) = 20 \)

\( a = \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 10]{2^{10}} = \sqrt[20]{1024} \)

\( b = \sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[20]{243} \)

\( c = \sqrt[5]{5} = \sqrt[5 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[20]{625} \)

\( d = \sqrt[10]{10} = \sqrt[10 \cdot 2]{10^2} = \sqrt[20]{100} \)

Dereceleri aynı köklü ifadelerden kök içi daha büyük olan ifade daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( d \lt b \lt c \lt a \)

Tüm sayıların karesini alalım.

\( (\sqrt{0,4})^2 = 0,4 \)

\( (0,2)^2 = 0,04 \)

\( (0,04)^2 = 0,0016 \)

\( (0,8)^2 = 0,64 \)

\( (1,6)^2 = 2,56 \)

Buna göre \( \sqrt{0,4} \) sayısının en yakın olduğu sayı \( 0,8 \)'dir.

Dikkat edilirse üç ifadede de kök içindeki sayıların toplamı aynı ve 36'dır.

Üç eşitlikte de tarafların karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{29} + \sqrt{7})^2 \)

\( = (\sqrt{29})^2 + 2\sqrt{29}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{203} \)

\( b^2 = (\sqrt{15} + \sqrt{21})^2 \)

\( = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{15}\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{315} \)

\( c^2 = (\sqrt{30} + \sqrt{6})^2 \)

\( = (\sqrt{30})^2 + 2\sqrt{30}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{180} \)

Elde ettiğimiz sayıların tümü \( 36 + 2\sqrt{a} \) formunda olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

Dikkat edilirse üç ifadede de kök içindeki sayıların toplamı aynı ve 16'dır.

Üç ifadenin de karesini alalım.

\( a^2 = 13 + 2\sqrt{13 \cdot 3} + 3 = 16 + 2\sqrt{39} \)

\( b^2 = 10 + 2\sqrt{10 \cdot 6} + 6 = 16 + 2\sqrt{60} \)

\( c^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 11} + 11 = 16 + 2\sqrt{55} \)

Elde ettiğimiz sayıların tümü \( 16 + 2\sqrt{a} \) formunda olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt c \lt b \)

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( 0 \lt x \lt y \) ise \( x^n \lt y^n \) olur.

Birinci ifadenin karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 \)

\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 6} + (\sqrt{6})^2 \)

\( = 11 + 2\sqrt{30}\)

İkinci ifadenin karesini alalım.

\( b^2 = (\sqrt{11})^2 = 11 \)

\( 11 \lt 11 + 2\sqrt{30} \)

Buna göre \( a \) daha büyüktür.

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( 0 \lt x \lt y \) ise \( x^n \lt y^n \) olur.

Birinci ifadenin karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)

\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} + (\sqrt{2})^2 \)

\( = 7 + 2\sqrt{10}\)

İkinci ifadenin karesini alalım.

\( b^2 = (\sqrt{8 + 2\sqrt{10}})^2 = 8 + 2\sqrt{10} \)

\( 7 + 2\sqrt{10} \lt 8 + 2\sqrt{10} \)

Buna göre \( b \) daha büyüktür.

3 sayıyı da \( \sqrt{3} \) parantezine alalım.

\( a = \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{5}) \)

\( b = \sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{10}) \)

\( c = \sqrt{3}(\sqrt{8} - \sqrt{7}) \)

Köklü sayılar arasındaki çıkarma işleminde, kök içindeki sayılar arasındaki fark sabit ise kök içindeki sayı daha küçük olan ifade daha büyüktür.

Örnek: \( (\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0,32) \lt (\sqrt{2} - 1 \approx 0,41) \)

\( \sqrt{11} - \sqrt{10} \lt \sqrt{8} - \sqrt{7} \lt \sqrt{6} - \sqrt{5} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt c \lt a \)

İfadeleri düzenleyerek birbirine benzetelim.

\( a = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{4} = 2(\sqrt{5} - \sqrt{4}) \)

\( b = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{4} - \sqrt{3}) \)

\( c = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

Köklü sayılar arasındaki çıkarma işleminde, kök içindeki sayılar arasındaki fark sabit ise kök içindeki sayı daha küçük olan ifade daha büyüktür.

Örnek: \( (\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0,32) \lt (\sqrt{2} - 1 \approx 0,41) \)

\( \sqrt{5} - \sqrt{4} \lt \sqrt{4} - \sqrt{3} \lt \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt b \lt c \)

Her sayı için önce köklü ifadenin, sonra tüm ifadenin hangi tam sayı aralığında olduğunu bulalım.

I. ifade:

\( 2 \lt \sqrt{7} \lt 3 \)

\( -3 \lt -\sqrt{7} \lt -2 \)

\( 9 \lt 12 - \sqrt{7} \lt 10 \)

II. ifade:

\( 1 \lt \sqrt{2} \lt 2 \)

\( 7 \lt 6 + \sqrt{2} \lt 8 \)

III. ifade:

\( \sqrt{64} \lt \sqrt{67} \lt \sqrt{81} \)

\( 8 \lt \sqrt{67} \lt 9 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt c \lt a \)

Köklü ifadelerin derecelerini eşitleyelim.

\( a = \sqrt[y]{5\sqrt[x]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[yx]{5^x\sqrt[z]{5}} = \sqrt[yxz]{5^{xz} \cdot 5} = \sqrt[xyz]{5^{xz + 1}} \)

\( b = \sqrt[z]{5\sqrt[x]{\sqrt[y]{5}}} = \sqrt[zx]{5^x \sqrt[y]{5}} = \sqrt[zxy]{5^{xy} \cdot 5} = \sqrt[xyz]{5^{xy + 1}} \)

\( c = \sqrt[x]{5\sqrt[y]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[xy]{5^y\sqrt[z]{5}} = \sqrt[xyz]{5^{yz} \cdot 5} = \sqrt[xyz]{5^{yz + 1}} \)

Elde ettiğimiz ifadelerin dereceleri eşit olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan ifade daha büyük olur.

\( z \lt y \lt x \) eşitsizliği veriliyor.

Bu üç sayı arasındaki ikili çarpımlarda, en büyük iki sayı arasındaki çarpımın değeri en büyük, en küçük iki sayı arasındaki çarpımın değeri en küçüktür.

\( yz \lt xz \lt xy \)

\( yz + 1 \lt xz + 1 \lt xy + 1 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \)

\( \dfrac{1}{x^2} \)

\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} = \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \)

\( \dfrac{1}{x} \)

\( (0, 1) \) aralığındaki bir sayının üssü büyüdükçe sayı küçülür.

\( x^2 \lt x^{\frac{4}{3}} \lt x \lt x^{\frac{1}{2}} \)

Bu ifadelerin çarpmaya göre tersi alındığında sıralama tersine döner.

\( \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)

\( a - b \) pozitif tam sayı olduğuna göre, \( a \gt b \) diyebiliriz.

\( 0 \lt b \lt a \)

Buna göre \( \frac{a}{b} \) ifadesi 1'den büyük, \( \frac{b}{a} \) ifadesi 1'den küçüktür.

1'den büyük bir ifadenin karesi karekökünden büyüktür.

\( 1 \lt \sqrt{\dfrac{a}{b}} \lt \dfrac{a^2}{b^2} \)

1'den küçük bir ifadenin karekökü kendisinden büyük, karesi kendisinden küçüktür.

\( 0 \lt \dfrac{b^2}{a^2} \lt \dfrac{b}{a} \lt \sqrt{\dfrac{b}{a}} \lt 1 \)

Buna göre verilen ifadelerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{b^2}{a^2} \lt \dfrac{b}{a} \lt \sqrt{\dfrac{b}{a}} \lt \sqrt{\dfrac{a}{b}} \lt \dfrac{a^2}{b^2} \)