Reel Olmayan Çözümler

Önceki bölümdeki soruların çözümü sonucunda bulduğumuz değerleri orijinal denklemde yerine koyduğumuzda bazı değerlerin eşitliği sağlamadığını görmüş ve bu değerleri çözüm kümesi dışında bırakmıştık. Bu bölümde bu tip değerlerin nasıl oluştuğunu anlamaya çalışacağız.

Reel olmayan çözümler bir denklemin çözümü sonucunda bulduğumuz, ancak verilen orijinal denklemi sağlamayan değerlerdir ve bu yüzden çözüm kümesine dahil etmememiz gerekir.

Bir denklemin çözümünde reel olmayan bir çözüm elde etmiş olmamız, denklemi yanlış çözdüğümüzü ya da yanlış bir yöntem izlediğimizi göstermez, kullandığımız yöntemin reel olmayan çözüm üretebilecek bir yöntem olmasından kaynaklanır. Bu yüzden hangi durumlarda reel olmayan çözümlerin ortaya çıkabileceğini bilmemiz önemlidir.

Şimdi reel olmayan çözümlere yol açabilecek bazı durumları inceleyelim.

Sorunun Doğası İle İlgili Kısıtlamalar

Bazı durumlarda denklem çözümünde kullandığımız yöntem ve bulduğumuz çözüm matematiksel olarak doğrudur, ancak bulduğumuz çözüm soruda özellikle belirtilmese de, sorunun doğası ile ilgili bazı kısıtlamaları sağlamıyor olabilir. Buna iki örnek vereceğiz.

Gördüğümüz gibi, yazdığımız denklem ve uyguladığımız çözüm adımlarında matematiksel açıdan bir hata olmasa da, bulduğumuz değerlerden biri soruda açıkça yazılmasa da aslında sorunun parçası olan bir kısıtlamayı sağlamamaktadır ve çözüm kümesinden çıkartılması gerekir.

Denklemin İki Tarafını Bir Değişkenle Çarpma

Bir denklemin her iki tarafına aynı işlemi uygulamamız (aynı sayı ile toplama, çıkarma, çarpma ya da bölme) eşitliği bozmaz. Ancak her iki tarafı sabit bir değer yerine bir değişkenle ya da değişken içeren bir ifade ile çarpmamızın çözüm kümesini etkileyen bazı etkileri olabilir. Bunu bir örnekle inceleyelim.

Denklem çözümlerinde pay ve paydadaki değişken içeren bazı çarpanları sadeleştirmek ya da paydanın bir değişken içerdiği durumlarda denklemin iki tarafındaki terimler arasında içler-dışlar çarpımı yapmak da denklemin her iki tarafını bir değişkenle çarpma işlemidir, dolayısıyla bu durumlarda da elde ettiğimiz değerleri ilk denklemde yerine koyarak denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etmeliyiz.

Denklemin Her İki Tarafının Karesini Alma

Önceki bölümde karşılaştığımız köklü denklemlerin çözümünde uyguladığımız işlem yukarıdakilerden farklı olarak denklemin her iki tarafının karesini almaktı. Bir denklemde her iki tarafın karesini almak da reel olmayan çözüm üretebilecek işlemlerden biridir, dolayısıyla böyle bir işlem sonrasında mutlaka çözüm sonucunda elde edilen değerleri ilk denklemde yerine koyarak kontrol etmeliyiz.

Reel Olmayan Çözümler Neden Oluşur?

Son iki adımda gördüğümüz denklemin her iki tarafını bir değişkenle çarpma ve denklemin her iki tarafının karesini alma işlemlerinin ortak yanı, her ikisinde de denklemin derecesini artırıyor olmamızdır. Bir denklemin sonsuz çözümünün olduğu özel durumları saymazsak, \( n \). dereceden bir denklemin en fazla \( n \) reel çözümü olabilir.

Dolayısıyla, bir denklemin her iki tarafını değişken içeren bir ifade ile çarpmamız ya da karesini almamız, aynı zamanda denklemin derecesini artırmamız ve denkleme aslında dahil olmaması gereken bazı değerler eklememiz anlamına gelir. Bu yüzden de, bu gibi durumlarda elde ettiğimiz tüm değerleri kontrol etmemiz ve ilk denklemi sağlamayan değerleri çözüm kümesine dahil etmememiz gerekir.