Tek ve Çift Fonksiyonlar

Fonksiyonlar gösterdikleri bazı simetri özelliklerine göre tek ya da çift fonksiyon olarak adlandırılırlar.

Çift Fonksiyonlar

Tanım Olarak Çift Fonksiyon

Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(-x) = f(x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.

\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,

\( f(-x) = f(x) \) ise,

\( f \) bir çift fonksiyondur.

ÖRNEK:

\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \)

\( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 \) \( = x^4 - 2x^2 + 2 \)

\( f(-x) = f(x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.

\( g(x) = \abs{x} - 2 \)

\( g(-x) = \abs{-x} - 2 \) \( = \abs{x} - 2 \)

\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) bir çift fonksiyondur.

Çift fonksiyonlar için yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

\( f(x) - f(-x) = 0 \)

Grafik Olarak Çift Fonksiyon

Yukarıdaki tanıma göre, bir çift fonksiyonun tanım aralığındaki her \( x \) ve \( x \)'in negatif işaretlisi için fonksiyon değerleri birbirine eşittir, bu da çift fonksiyonların grafiklerinin \( y \) eksenine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir çift fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.

Aşağıdaki fonksiyonlar birer çift fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki çift fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.

Fonksiyon	Örnek
Sabit fonksiyonlar	\( f(x) = 3 \)
Çift dereceli kuvvet fonksiyonları	\( f(x) = 2x^4 \)
Tek ve çift fonksiyonların mutlak değeri	\( f(x) = \abs{x} \)
Kosinüs fonksiyonu	\( f(x) = \cos{x} \)
Sekant fonksiyonu	\( f(x) = \sec{x} \)
Sadece çift dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları (sabit terim dahil)	\( f(x) = 2x^8 - x^4 + 3x^2 - 1 \)
Sonlu sayıda çift fonksiyonun toplamı/farkı	\( f(x) = x^6 + 3x^2 - 2\cos{x} - 4\abs{x^3} + 5 \)

Tek Fonksiyonlar

Tanım Olarak Tek Fonksiyon

Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(-x) = -f(x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.

\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,

\( f(-x) = -f(x) \) ise,

\( f \) bir tek fonksiyondur.

ÖRNEK:

\( f(x) = 3x^3 + x \)

\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) \) \( = -3x^3 - x \) \( = -(3x^3 + x) \)

\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.

\( g(x) = x + \sin{x} \)

\( g(-x) = (-x) + \sin(-x) \) \( = -x - \sin{x} \) \( = -(x + \sin{x}) \)

\( g(-x) = -g(x) \) olduğu için \( g \) bir tek fonksiyondur.

Tek fonksiyonlar için yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

\( f(x) + f(-x) = 0 \)

Grafik Olarak Tek Fonksiyon

Yukarıdaki tanıma göre, bir tek fonksiyonun tanım aralığındaki her \( x \) ve \( x \)'in negatif işaretlisi için fonksiyon değerleri birbirinin negatifine eşittir, bu da tek fonksiyonların grafiklerinin orijine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir tek fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, -b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.

Bir fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında tek fonksiyon olma koşulunu sağlaması için \( f(0) \) sıfır ya da tanımsız olmalıdır. Buna göre bir tek fonksiyonun grafiği ya orijinden geçer ya da \( x = 0 \) için tanımsızdır.

Aşağıdaki fonksiyonlar birer tek fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki tek fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri orijine göre simetriktir:

Fonksiyon	Örnek
Tek dereceli kuvvet fonksiyonları	\( f(x) = x^3 \)
Sinüs fonksiyonu	\( f(x) = \sin{x} \)
Tanjant fonksiyonu	\( f(x) = \tan{x} \)
Kotanjant fonksiyonu	\( f(x) = \cot{x} \)
Kosekant fonksiyonu	\( f(x) = \csc{x} \)
Sadece tek dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları	\( f(x) = 2x^7 + 3x^5 - 7x^3 - x \)
Sonlu sayıda tek fonksiyonun toplamı/farkı	\( f(x) = x^5 + 3x - 2\sin{x} \)

Fonksiyonların Tek/Çift Olma Durumu

Bir fonksiyon yukarıda paylaştığımız koşulları sağlama durumuna göre tek fonksiyon olabilir, çift fonksiyon olabilir ya da ikisi de olmayabilir. Sadece sınırlı sayıda özel bazı fonksiyonlar tek ya da çifttir, bu fonksiyonlar dışında kalan çoğu fonksiyon her ikisi de değildir.

Hem tek hem de çift fonksiyon koşullarını sağlayan fonksiyon sadece \( f(x) = 0 \) fonksiyonudur.

Fonksiyonlarla İşlemlerin Tek/Çift Olma Durumu

Bu bölümde tek ya da çift olduğunu bildiğimiz fonksiyonlar arasındaki işlemlerin sonucunun tek ya da çift olma durumunu inceleyeceğiz.

Toplama ve Çıkarma

Tek/çift fonksiyonların toplama/çıkarma işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.

\( f \)	\( g \)	\( f + g \) \( f - g \)	Örnek
Çift	Çift	Çift	\( x^6 + x^2 \)
Çift	Tek	İkisi de değil	\( x^4 + x^3 \)
Tek	Çift	İkisi de değil	\( \sin{x} + x^2 \)
Tek	Tek	Tek	\( x^3 + \sqrt[3]{x} \)

Çarpma ve Bölme

Tek/çift fonksiyonların çarpma/bölme işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.

\( f \)	\( g \)	\( f \cdot g \) \( f \div g \)	Örnek
Çift	Çift	Çift	\( x^6 \cdot x^2 = x^8 \)
Çift	Tek	Tek	\( \abs{x} \cdot x^3 \)
Tek	Çift	Tek	\( \cot{x} \cdot \cos{x} \)
Tek	Tek	Çift	\( x \cdot \sqrt[3]{x} \)

Tek/çift fonksiyonların parantez içi ya da dışı sabit bir sayı ile çarpılırsa (\( f(bx) \) ya da \( a \cdot f(x) \)) fonksiyonların tek/çift olma durumları değişmez. Bu işlemler fonksiyon grafiği üzerindeki tüm noktaların sırasıyla \( y \) ve \( x \) eksenlerinden bu katsayı oranında uzaklaşmasına ya da bu eksenlere yakınlaşmasına yol açtığı için grafiklerin \( y \) ekseni ya da orijine göre simetrisinde bir değişiklik olmaz.

ÖRNEK:

\( f(x) = x^2 + 5 \) çift fonksiyondur, dolayısıyla:

\( f(2x) = (2x)^2 + 5 \) ve

\( 2f(x) = 2(x^2 + 5) \) de birer çift fonksiyondur.

Tek/Çift Sayı Kuvvet

Tek/çift fonksiyonların tek/çift sayı kuvvetlerinin tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir (\( n \in \mathbb{Z}^+\)).

\( f \)	\( n \)	\( f^{n} \)	Örnek
Çift Fonksiyon	Çift Sayı	Çift Fonksiyon	\( (x^2)^4 = x^8 \)
Çift Fonksiyon	Tek Sayı	Çift Fonksiyon	\( \abs{x}^3 \)
Tek Fonksiyon	Çift Sayı	Çift Fonksiyon	\( (x^3)^4 = x^{12} \)
Tek Fonksiyon	Tek Sayı	Tek Fonksiyon	\( (x^3)^5 = x^{15} \)

Bileşke Fonksiyon

Tek/çift fonksiyonların bileşke fonksiyonlarının tek/çift fonksiyon olma durumu aşağıdaki tablodaki gibidir.

\( f \)	\( g \)	\( f \circ g \)	Örnek
Çift	Çift	Çift	\( f[g(x)] = \abs{x^4 - 2x^2 - 5} \)
Çift	Tek	Çift	\( f[g(x)] = \cos(\sin{x}) \)
Tek	Çift	Çift	\( f[g(x)] = \sin(x^2) \)
Tek	Tek	Tek	\( f[g(x)] = \sqrt[3]{x^5 - x^3 + 2x} \)

Bir Fonksiyonun Tek/Çift Fonksiyon Bileşenleri

Tüm fonksiyonlar bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı şeklinde yazılabilirler. Toplamları \( f \) fonksiyonunu veren çift \( g \) ve tek \( h \) fonksiyonları aşağıdaki formülle bulunabilir.

\( f \) reel sayılarda tanımlı olmak üzere,

\( f(x) = g(x) + h(x) \)

\( g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)

\( h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)

ÖRNEK:

\( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 7 \)

\( f(-x) = 3x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 7 \)

\( g(x) = \dfrac{6x^4 + 8x^2 + 14}{2} \)

\( = 3x^4 + 4x^2 + 7 \)

\( h(x) = \dfrac{-4x^3 - 2x}{2} \)

\( = -2x^3 - x \)

\( g \) çift, \( h \) tek fonksiyondur ve toplamları \( f \) fonksiyonuna eşittir.

İSPATI GÖSTER

Her \( f \) fonksiyonu için bu koşulları sağlayan yalnız bir \( g \) ve \( h \) fonksiyon ikilisi vardır.

\( f \) fonksiyonu çift ise \( h \) fonksiyonu, tek ise \( g \) fonksiyonu sıfır fonksiyonu olarak bulunur.

\( f(x) = e^x \) fonksiyonunu tek ve çift bileşenlerine ayıralım.

ÖRNEK:

\( f(x) = e^x \)

\( f(-x) = e^{-x} \)

\( g(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)

\( h(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \)

\( g \) fonksiyonunun çift, \( h \) fonksiyonunun tek oldukları \( x \) yerine \( -x \) yazılarak gösterilebilir.

SORU 1:

\( f(x) = (a - 3)x^4 + a^2x^3 + (b + 2)x^2 - b^2x \) fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre \( f(a + b) \) kaçtır?