Tek ve Çift Fonksiyonlar
Fonksiyonlar gösterdikleri bazı simetri özelliklerine göre tek ya da çift fonksiyon olarak adlandırılırlar.
Çift Fonksiyonlar
Tanım Olarak Çift Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = f(-x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.
\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,
\( f(x) = f(-x) \) ise,
\( f \) bir çift fonksiyondur.
\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 \) \( = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = f(x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.
\( g(x) = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = \abs{-x} - 2 \) \( = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) bir çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar için yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( f(x) - f(-x) = 0 \)
Grafik Olarak Çift Fonksiyon
Yukarıdaki tanıma göre, bir çift fonksiyonun tanım aralığındaki her \( x \) ve \( x \)'in negatif işaretlisi için fonksiyon değerleri birbirine eşittir, bu da çift fonksiyonların grafiklerinin \( y \) eksenine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir çift fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer çift fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki çift fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Sabit fonksiyonlar | \( f(x) = 3 \) |
| Çift dereceli kuvvet fonksiyonları | \( f(x) = 2x^4 \) |
| Tek ve çift fonksiyonların mutlak değeri | \( f(x) = \abs{x} \) |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) |
| Sadece çift dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları (sabit terim dahil) | \( f(x) = 2x^8 - x^4 + 3x^2 - 1 \) |
| Sonlu sayıda çift fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^6 + 3x^2 - 2\cos{x} - 4\abs{x^3} + 5 \) |
Tek Fonksiyonlar
Tanım Olarak Tek Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = -f(-x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.
\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,
\( f(x) = -f(-x) \) ise,
\( f \) bir tek fonksiyondur.
\( f(x) = 3x^3 + x \)
\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) \) \( = -3x^3 - x \) \( = -(3x^3 + x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.
\( g(x) = x + \sin{x} \)
\( g(-x) = (-x) + \sin(-x) \) \( = -x - \sin{x} \) \( = -(x + \sin{x}) \)
\( g(-x) = -g(x) \) olduğu için \( g \) bir tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonlar için yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( f(x) + f(-x) = 0 \)
Grafik Olarak Tek Fonksiyon
Yukarıdaki tanıma göre, bir tek fonksiyonun tanım aralığındaki her \( x \) ve \( x \)'in negatif işaretlisi için fonksiyon değerleri birbirinin negatifine eşittir, bu da tek fonksiyonların grafiklerinin orijine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir tek fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, -b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer tek fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki tek fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri orijine göre simetriktir:
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Tek dereceli kuvvet fonksiyonları | \( f(x) = x^3 \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) |
| Sadece tek dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları | \( f(x) = 2x^7 + 3x^5 - 7x^3 - x \) |
| Sonlu sayıda tek fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^5 + 3x - 2\sin{x} \) |
Fonksiyonların Tek/Çift Olma Durumu
Bir fonksiyon yukarıda paylaştığımız koşulları sağlama durumuna göre tek fonksiyon olabilir, çift fonksiyon olabilir ya da ikisi de olmayabilir. Sadece sınırlı sayıda özel bazı fonksiyonlar tek ya da çifttir, bu fonksiyonlar dışında kalan çoğu fonksiyon her ikisi de değildir.
Hem tek hem de çift fonksiyon koşullarını sağlayan fonksiyon sadece \( f(x) = 0 \) fonksiyonudur.
Fonksiyonlarla İşlemlerin Tek/Çift Olma Durumu
Bu bölümde tek ya da çift olduğunu bildiğimiz fonksiyonlar arasındaki işlemlerin sonucunun tek ya da çift olma durumunu inceleyeceğiz.
Toplama ve Çıkarma
Tek/çift fonksiyonların toplama/çıkarma işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f + g \) \( f - g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 + x^2 \) |
| Çift | Tek | İkisi de değil | \( x^4 + x^3 \) |
| Tek | Çift | İkisi de değil | \( \sin{x} + x^2 \) |
| Tek | Tek | Tek | \( x^3 + \sqrt[3]{x} \) |
Çarpma ve Bölme
Tek/çift fonksiyonların çarpma/bölme işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \cdot g \) \( f \div g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 \cdot x^2 = x^8 \) |
| Çift | Tek | Tek | \( \abs{x} \cdot x^3 \) |
| Tek | Çift | Tek | \( \cot{x} \cdot \cos{x} \) |
| Tek | Tek | Çift | \( x \cdot \sqrt[3]{x} \) |
Tek/çift fonksiyonların parantez içi ya da dışı sabit bir sayı ile çarpılırsa (\( f(bx) \) ya da \( a \cdot f(x) \)) fonksiyonların tek/çift olma durumları değişmez. Bu işlemler fonksiyon grafiği üzerindeki tüm noktaların sırasıyla \( y \) ve \( x \) eksenlerinden bu katsayı oranında uzaklaşmasına ya da bu eksenlere yakınlaşmasına yol açtığı için grafiklerin \( y \) ekseni ya da orijine göre simetrisinde bir değişiklik olmaz.
\( f(x) = x^2 + 5 \) çift fonksiyondur, dolayısıyla:
\( f(2x) = (2x)^2 + 5 \) ve
\( 2f(x) = 2(x^2 + 5) \) de birer çift fonksiyondur.
Tek/Çift Sayı Kuvvet
Tek/çift fonksiyonların tek/çift sayı kuvvetlerinin tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir (\( n \in \mathbb{Z}^+\)).
| \( f \) | \( n \) | \( f^{n} \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^2)^4 = x^8 \) |
| Çift Fonksiyon | Tek Sayı | Çift Fonksiyon | \( \abs{x}^3 \) |
| Tek Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^3)^4 = x^{12} \) |
| Tek Fonksiyon | Tek Sayı | Tek Fonksiyon | \( (x^3)^5 = x^{15} \) |
Bileşke Fonksiyon
Tek/çift fonksiyonların bileşke fonksiyonlarının tek/çift fonksiyon olma durumu aşağıdaki tablodaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \circ g \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \abs{x^4 - 2x^2 - 5} \) |
| Çift | Tek | Çift | \( f[g(x)] = \cos(\sin{x}) \) |
| Tek | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \sin(x^2) \) |
| Tek | Tek | Tek | \( f[g(x)] = \sqrt[3]{x^5 - x^3 + 2x} \) |
\( f(x) = (a - 3)x^4 + a^2x^3 + (b + 2)x^2 - b^2x \) fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre \( f(a + b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının grafikleri sırasıyla orijin ve \( y \) eksenine göre simetriktir.
\( f(-6) = 4 \) ve \( g(2) = 6 \) olduğuna göre \( (f \circ g)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik ve \( 2f(x) + 6x = 3x^3 + f(-x) \) olduğuna göre \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) tek, \( h(x) \) çift fonksiyondur.
\( f(-4) = 13 \) ve \( h(2) = 4 \) olduğuna göre \( (f \circ h)(-2) \) kaçtır?
Çözümü Göster