Tek ve Çift Fonksiyonlar
Fonksiyonlar gösterdikleri bazı simetri özelliklerine göre tek ya da çift fonksiyon olarak adlandırılırlar.
Çift Fonksiyonlar
Tanım Olarak Çift Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(-x) = f(x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.
\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,
\( f(-x) = f(x) \) ise,
\( f \) bir çift fonksiyondur.
\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 \) \( = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = f(x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.
\( g(x) = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = \abs{-x} - 2 \) \( = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) bir çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar için yukarıdaki eşitlik aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( f(x) - f(-x) = 0 \)
Grafik Olarak Çift Fonksiyon
Yukarıdaki tanıma göre, bir çift fonksiyonun tanım aralığında \( y \) eksenine göre simetrik her nokta ikilisi için fonksiyon değerleri birbirine eşittir, bu da çift fonksiyonların grafiklerinin \( y \) eksenine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir çift fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Yukarıdaki tanıma göre, bir çift fonksiyonun tanım aralığında \( y \) eksenine göre simetrik her nokta ikilisi için fonksiyon değerleri birbirine eşittir, bu da çift fonksiyonların grafiklerinin \( y \) eksenine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir çift fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer çift fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki çift fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Sabit fonksiyonlar | \( f(x) = 3 \) |
| Çift dereceli kuvvet fonksiyonları | \( f(x) = 3x^4 \) |
| Tek ve çift fonksiyonların mutlak değeri | \( f(x) = \abs{x} \) |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) |
| Sadece çift dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları (sabit terim dahil) | \( f(x) = 2x^8 - x^4 + 3x^2 - 1 \) |
| Sonlu sayıda çift fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^6 + 3x^2 - 2\cos{x} - 4\abs{x^3} + 5 \) |
Tek Fonksiyonlar
Tanım Olarak Tek Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(-x) = -f(x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.
\( f: A \to B \) olmak üzere, her \( x \in A \) için,
\( f(-x) = -f(x) \) ise,
\( f \) bir tek fonksiyondur.
\( f(x) = 3x^3 + x \)
\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) \) \( = -3x^3 - x \) \( = -(3x^3 + x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.
\( g(x) = x + \sin{x} \)
\( g(-x) = (-x) + \sin(-x) \) \( = -x - \sin{x} \) \( = -(x + \sin{x}) \)
\( g(-x) = -g(x) \) olduğu için \( g \) bir tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonlar için yukarıdaki eşitlik aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( f(x) + f(-x) = 0 \)
Grafik Olarak Tek Fonksiyon
Yukarıdaki tanıma göre, bir tek fonksiyonun \( y \) eksenine göre simetrik her nokta ikilisi için fonksiyon değerleri birbirinin ters işaretlisidir, bu da tek fonksiyonların grafiklerinin orijine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir tek fonksiyonun grafiği üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için \( (-a, -b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Bir fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında tek fonksiyon olma koşulunu sağlaması için \( f(0) \) sıfır ya da tanımsız olmalıdır. Buna göre bir tek fonksiyonun grafiği ya orijinden geçer ya da \( x = 0 \) için tanımsızdır.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer tek fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki tek fonksiyon tanım kriterini sağlarlar hem de grafikleri orijine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Tek dereceli kuvvet fonksiyonları | \( f(x) = 2x^3 \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) |
| Sadece tek dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları | \( f(x) = 2x^7 + 3x^5 - 7x^3 - x \) |
| Sonlu sayıda tek fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^5 + 3x - 2\sin{x} \) |
Fonksiyonların Tek/Çift Olma Durumu
Bir fonksiyon yukarıda paylaştığımız koşulları sağlama durumuna göre tek fonksiyon olabilir, çift fonksiyon olabilir ya da ikisi de olmayabilir. Sadece sınırlı sayıda özel bazı fonksiyonlar tek ya da çifttir, bu fonksiyonlar dışında kalan çoğu fonksiyon her ikisi de değildir.
Hem tek hem de çift fonksiyon koşullarını sağlayan fonksiyon sadece \( f(x) = 0 \) fonksiyonudur.
Fonksiyonlarla İşlemlerin Tek/Çift Olma Durumu
Bu bölümde tek ya da çift olduğunu bildiğimiz fonksiyonlar arasındaki işlemlerin sonucunun tek ya da çift olma durumunu inceleyeceğiz.
Toplama ve Çıkarma
Tek/çift fonksiyonların toplama/çıkarma işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f + g \) \( f - g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 + x^2 \) |
| Çift | Tek | İkisi de değil | \( x^4 + x^3 \) |
| Tek | Çift | İkisi de değil | \( \sin{x} + x^2 \) |
| Tek | Tek | Tek | \( x^3 + \sqrt[3]{x} \) |
Çarpma ve Bölme
Tek/çift fonksiyonların çarpma/bölme işlem sonuçlarının tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \cdot g \) \( f \div g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 \cdot x^2 = x^8 \) |
| Çift | Tek | Tek | \( \abs{x} \cdot x^3 \) |
| Tek | Çift | Tek | \( \cot{x} \cdot \cos{x} \) |
| Tek | Tek | Çift | \( x \cdot \sqrt[3]{x} \) |
Tek/çift fonksiyonların parantez içi ya da dışı sabit bir sayı ile çarpıldığında (\( f(bx) \) ya da \( af(x) \)) fonksiyonların tek/çift olma durumları değişmez. Bu işlemler fonksiyon grafiği üzerindeki tüm noktaların sırasıyla \( y \) ve \( x \) eksenlerinden bu katsayı oranında uzaklaşmasına ya da bu eksenlere yakınlaşmasına yol açtığı için grafiklerin \( y \) ekseni ya da orijine göre simetrisinde bir değişiklik olmaz.
\( f(x) = x^2 + 5 \) çift fonksiyon olduğu için aşağıdaki iki fonksiyon da birer çift fonksiyondur.
\( f(2x) = (2x)^2 + 5 \)
\( 2f(x) = 2(x^2 + 5) \)
Tek/Çift Sayı Kuvvet
Tek/çift fonksiyonların tek/çift sayı kuvvetlerinin tek/çift fonksiyon olma durumları aşağıdaki gibidir (\( n \in \mathbb{Z}^+\)).
| \( f \) | \( n \) | \( f^{n} \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^2)^4 = x^8 \) |
| Çift Fonksiyon | Tek Sayı | Çift Fonksiyon | \( \abs{x}^3 \) |
| Tek Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^3)^4 = x^{12} \) |
| Tek Fonksiyon | Tek Sayı | Tek Fonksiyon | \( (x^3)^5 = x^{15} \) |
Bileşke Fonksiyon
Tek/çift fonksiyonların bileşke fonksiyonlarının tek/çift fonksiyon olma durumu aşağıdaki tablodaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \circ g \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \abs{x^4 - 2x^2 - 5} \) |
| Çift | Tek | Çift | \( f[g(x)] = \cos(\sin{x}) \) |
| Tek | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \sin(x^2) \) |
| Tek | Tek | Tek | \( f[g(x)] = \sqrt[3]{x^5 - x^3 + 2x} \) |
Bir Fonksiyonun Tek/Çift Fonksiyon Bileşenleri
Her fonksiyon bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı şeklinde yazılabilir. Toplamları \( f \) fonksiyonunu veren çift \( g \) ve tek \( h \) fonksiyonları aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( f \) reel sayılarda tanımlı olmak üzere,
\( f(x) = g(x) + h(x) \)
\( g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 7 \)
\( f(-x) = 3x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 7 \)
\( g(x) = \dfrac{6x^4 + 8x^2 + 14}{2} \)
\( = 3x^4 + 4x^2 + 7 \)
\( h(x) = \dfrac{-4x^3 - 2x}{2} \)
\( = -2x^3 - x \)
\( g \) çift, \( h \) tek fonksiyondur ve toplamları \( f \) fonksiyonuna eşittir.
İSPATI GÖSTER
Önce \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının toplamının \( f \) fonksiyonuna eşit olduğunu gösterelim.
\( g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( g(x) + h(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} + \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = \dfrac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = \dfrac{2f(x)}{2} = f(x) \)
Şimdi her \( f \) fonksiyonu için \( g \) fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğunu gösterelim.
\( g(-x) = \dfrac{f(-x) + f(-(-x))}{2} \)
\( = \dfrac{f(-x) + f(x)}{2} \)
\( = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( = g(x) \)
Buna göre \( g \) fonksiyonu bir çift fonksiyondur.
Şimdi her \( f \) fonksiyonu için \( h \) fonksiyonunun bir tek fonksiyon olduğunu gösterelim.
\( h(-x) = \dfrac{f(-x) - f(-(-x))}{2} \)
\( = \dfrac{f(-x) - f(x)}{2} \)
\( = -\dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = -h(x) \)
Buna göre \( h \) fonksiyonu bir tek fonksiyondur.
Her \( f \) fonksiyonu için bu koşulları sağlayan yalnız bir \( g \) ve \( h \) fonksiyon ikilisi vardır.
\( f \) fonksiyonu çift ise \( h \) fonksiyonu, tek ise \( g \) fonksiyonu sıfır fonksiyonu olarak bulunur.
\( f(x) = e^x \) fonksiyonunu tek ve çift bileşenlerine ayıralım.
\( f(x) = e^x \)
\( f(-x) = e^{-x} \)
\( g(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \)
\( g \) fonksiyonunun çift, \( h \) fonksiyonunun tek oldukları \( x \) yerine \( -x \) yazılarak gösterilebilir.
\( f(x) = (a - 3)x^4 + a^2x^3 + (b + 2)x^2 - b^2x \) fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, \( f(a + b) \) kaçtır?
Çözümü GösterTek polinom fonksiyonları sadece tek dereceli terimler içerebilir.
Buna göre \( x^4 \) ve \( x^2 \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( a - 3 = 0 \Longrightarrow a = 3 \)
\( b + 2 = 0 \Longrightarrow b = -2 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 9x^3 - 4x \)
\( f(a + b) = f(3 + (-2)) = f(1) \)
\( = 9(1)^3 - 4(1) = 5 \) bulunur.
\( f(x) = ax^4 + (b - 4)x^3 + 2x^2 - (a + b)x + 4 \) fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÇift polinom fonksiyonları sadece çift dereceli terim ve sabit terim içerebilir.
Buna göre \( x^3 \) ve \( x \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( b - 4 = 0 \Longrightarrow b = 4 \)
\( a + b = 0 \Longrightarrow a = -4 \)
\( ab = -4 \cdot 4 = -16 \) bulunur.
Tüm reel sayılarda tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tek fonksiyondur?
I. \( f(x) = x^5 - 2x \)
II. \( g(x) = \abs{-x} + 2 \)
III. \( h(x) = 2x^3 + 3 \)
Çözümü Göster\( x \)'in sadece tek dereceli kuvvetlerini içeren polinom fonksiyonları tektir, sadece çift dereceli kuvvetlerini içeren polinom fonksiyonları çifttir, hem tek hem de çift dereceli kuvvetlerini içeren polinom fonksiyonları ne tektir ne çifttir.
I. öncül:
\( f(x) = x^5 - 2x \)
Yukarıdaki tanıma göre \( f \) tek fonksiyondur.
II. öncül:
\( g(x) = \abs{-x} + 2 = \abs{x} + 2 \)
Verilen fonksiyon standart mutlak değer fonksiyonunun 2 birim yukarı ötelenmiş halidir ve grafiği \( y \) eksenine göre simetriktir, dolayısıyla çift fonksiyondur.
III. öncül:
\( h(x) = 2x^3 + 3 \)
Yukarıdaki tanıma göre \( h \) ne tektir ne çifttir.
Buna göre sadece I. öncüldeki fonksiyon tek fonksiyondur.
\( f \) tek, \( g \) çift fonksiyondur.
\( f(-1) = 4, \quad g(-1) = -3 \)
\( h(x) = \dfrac{3f(x) + 2g(x)}{4f(x)} \) olduğuna göre, \( h(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( h \) fonksiyonunda \( x = 1 \) koyalım.
\( h(1) = \dfrac{3f(1) + 2g(1)}{4f(1)} \)
\( f \) tek fonksiyon olduğu için \( f(1) = -f(-1) = -4 \) olur.
\( g \) çift fonksiyon olduğu için \( g(1) = g(-1) = -3 \) olur.
\( h(1) = \dfrac{3(-4) + 2(-3)}{4(-4)} \)
\( = \dfrac{-12 - 6}{-16} = \dfrac{9}{8}\) bulunur.
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)
\( g(x) = f(x + a) \) olmak üzere,
\( g(x) \) bir çift fonksiyon olduğuna göre, \( g(a) \) kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( g(x) = 2(x + a)^2 - 4(x + a) + 5 \)
\( = 2x^2 + 4ax + 2a^2 - 4x - 4a + 5 \)
\( = 2x^2 + (4a - 4)x + 2a^2 - 4a + 5 \)
Çift polinom fonksiyonları sadece çift dereceli terim ve sabit terim içerebilir.
Buna göre \( x \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
\( 4a - 4 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + (4(1) - 4)x + 2(1)^2 - 4(1) + 5 \)
\( = 2x^2 + 3 \)
\( g(a) = g(1) = 2(1)^2 + 3 = 5 \) bulunur.
2. yöntem:
Çift fonksiyonların grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir, dolayısıyla bir parabol olan \( g \) fonksiyonunun tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olmalıdır.
\( f \) fonksiyonunun tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(2)} = 1 \)
\( g \) fonksiyonunun tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olması için \( f \) fonksiyonu 1 birim sola ötelenmelidir, bu da \( f(x + 1) \) fonksiyonudur.
\( a = 1 \)
Fonksiyonlarda \( x = 1 \) yazalım.
\( g(1) = f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 5 \) bulunur.
\( f(x) = ax^4 - bx^2 + 7 \) fonksiyonu için,
\( f(2x) = f(x) + 5 \) eşitliği veriliyor.
\( f(-5) = 7 \) olduğuna göre, \( f(20) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f \) polinom fonksiyonunda \( x \)'in kuvvetlerini incelediğimizde fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu görürüz.
Çift fonksiyonlarda \( f(x) = f(-x) \) eşitliği sağlanır.
\( f(-5) = f(5) = 7 \)
Soruda verilen eşitlikte \( x = 10 \) yazalım.
\( f(20) = f(10) + 5 \)
Aynı eşitliği kullanarak \( f(10) \) ifadesini \( f(5) \) cinsinden yazalım.
\( = (f(5) + 5) + 5 \)
\( = 7 + 5 + 5 = 17 \) olarak bulunur.
\( f(x) \) tek fonksiyon olmak üzere,
\( 2f(x) + f(-2) = f(-x) - f(2) + 6x \)
\( f(a - 1) - f(1 - a) = 20 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterTek fonksiyonlarda tanım gereği \( f(-x) = -f(x) \) olur.
\( f(-2) = -f(2) \)
Eşitliğin iki tarafındaki \( -f(2) \) terimleri birbirini götürür.
\( 2f(x) = f(-x) + 6x \)
\( 2f(x) = -f(x) + 6x \)
\( 3f(x) = 6x \)
\( f(x) = 2x \)
Bu tanımı soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( f(a - 1) - f(1 - a) = 20 \)
\( f(a - 1) - f(-(a - 1)) = 20 \)
Fonksiyonun tek fonksiyon olma özelliğini kullanalım.
\( f(a - 1) + f(a - 1) = 20 \)
\( f(a - 1) = 10 \)
\( f(x) = 2x \) fonksiyon tanımını kullanalım.
\( 2(a - 1) = 10 \)
\( a = 6 \) bulunur.
\( f \) fonksiyonu orijine göre simetriktir.
\( 2f(x) + 6x = 3x^3 + f(-x) \) olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
\( f(-x) = -f(x) \)
\( f(-x) \) yerine \( -f(x) \) koyalım.
\( 2f(x) + 6x = 3x^3 - f(x) \)
\( 3f(x) = 3x^3 - 6x \)
\( f(x) = x^3 - 2x \)
\( f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının grafikleri sırasıyla orijin ve \( y \) eksenine göre simetriktir.
\( f(-6) = 4, \quad g(2) = 6 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik olduğuna göre tek fonksiyondur.
\( f(-x) = -f(x) \)
\( f(-6) = 4 \Longrightarrow f(6) = -4 \)
\( g \) fonksiyonu \( y \) eksenine göre simetrik olduğuna göre çift fonksiyondur.
\( g(-x) = g(x) \)
\( g(2) = 6 \Longrightarrow g(-2) = 6 \)
Buna göre verilen işlemin sonucunu bulalım.
\( (f \circ g)(-2) = f(g(-2)) \)
\( = f(6) = -4 \) bulunur.
\( f(x) = x^{11} - ax^5 + bx - 2 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(8) = 21 \) olduğuna göre, \( f(-8) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun sabit terim dışındaki terimlerinin derecesi tektir.
Buna göre \( f(x) + 2 \) fonksiyonu tek fonksiyondur.
\( f(x) + 2 = x^{11} - ax^5 + bx \)
\( f(8) + 2 = 21 + 2 = 23 \)
Buna göre \( f(-8) + 2 = -23 \) olmalıdır.
\( f(-8) + 2 = -23 \)
\( f(-8) = -25 \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri çift fonksiyondur?
I. \( f(x) = \sin{x} + \tan{x} \)
II. \( g(x) = \cot^2(-x) + \sec{x} \)
III. \( h(x) = \sin^3{x} + \cos^2(-x) \)
Çözümü GösterTrigonometrik fonksiyonlardan kosinüs ve sekant fonksiyonları çift fonksiyon, diğerleri tek fonksiyondur.
Öncülleri sırayla inceleyelim.
I. öncül:
\( f(x) = \sin{x} + \tan{x} \)
Sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyonlardır. İki tek fonksiyonun toplamı tek fonksiyondur.
II. öncül:
\( g(x) = \cot^2(-x) + \sec{x} \)
Kotanjant fonksiyonu tek fonksiyondur, iki tek fonksiyonun çarpımı çift fonksiyon olduğu için karesi çift fonksiyondur. Sekant fonksiyonu çift fonksiyondur. İki çift fonksiyonun toplamı çift fonksiyondur.
III. öncül:
\( h(x) = \sin^3{x} + \cos^2(-x) \)
Sinüs fonksiyonu tek fonksiyondur, tek fonksiyonun üçüncü kuvveti de tek fonksiyondur. Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyondur, iki çift fonksiyonun çarpımı çift fonksiyon olduğu için karesi de çift fonksiyondur. Bir tek fonksiyon ile çift fonksiyonun toplamı ne tek ne de çift fonksiyondur.
Buna göre sadece II. fonksiyon çift fonksiyondur.
\( f(x) \) sabit olmayan bir çift fonksiyondur.
Buna göre, aşağıdakilerden hangileri çift fonksiyondur?
I. \( 2f(x) \)
II. \( -f(x) \)
III. \( f(x) + 2 \)
IV. \( f(2x) \)
V. \( f(-x) \)
VI. \( f(x + 2) \)
VII. \( f^2(x) \)
Çözümü GösterÇift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetriktir.
I. öncül:
\( 2f(x) \) fonksiyonunda tüm noktalar \( x \) ekseninden \( \times 2 \) oranında uzaklaşır. Bu dönüşüm sonucunda \( y \) eksenine göre simetrik noktaların fonksiyon değerleri yine eşit olur ve grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
I. öncül çift fonksiyondur.
II. öncül:
\( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
II. öncül çift fonksiyondur.
II. öncül:
\( f(x) + 2 \) fonksiyonunda tüm noktalar 2 birim yukarı ötelenir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
III. öncül çift fonksiyondur.
IV. öncül:
\( f(2x) \) fonksiyonunda tüm noktalar \( y \) eksenine \( \times \frac{1}{2} \) oranında yakınlaşır. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
IV. öncül çift fonksiyondur.
V. öncül:
\( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
V. öncül çift fonksiyondur.
VI. öncül:
\( f(x + 2) \) fonksiyonunda tüm noktalar 2 birim sola ötelenir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulur.
VI. öncül çift fonksiyon değildir.
VII. öncül:
\( f^2(x) \) fonksiyonunda tüm \( y \) değerlerinin karesi alınır, ancak \( y \) eksenine göre simetrik noktaların fonksiyon değerleri yine eşit olur ve grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
VII. öncül çift fonksiyondur.
Buna göre VI. öncül dışındaki öncüller çift fonksiyondur.
\( f(x) = 3x^2 \)
\( g(x) = 2x \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri tek fonksiyondur?
I. \( (f \circ g)(x) \)
II. \( (f + g)(x) \)
III. \( \left( \dfrac{f}{g} \right)(x) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( (f \circ g)(x) = 3(2x)^2 = 12x^2 \)
\( 12x^2 \) çift fonksiyondur.
II. öncül:
\( (f + g)(x) = 3x^2 + 2x \)
\( 3x^2 + 2x \) ne tek ne çift fonksiyondur.
III. öncül:
\(\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{3}{2}x \)
\( \frac{3}{2}x \) tek fonksiyondur.
Buna göre sadece III. öncüldeki fonksiyon tek fonksiyondur.
\( f \) çift fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri tek fonksiyondur?
I. \( 2x + f(x) \)
II. \( 3x^2 - 2f(x) \)
III. \( x \cdot 4f(x) \)
IV. \( f(x^5) \)
V. \( 2x^3 - f(x) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( 2x + f(x) \)
\( 2x \) tek fonksiyondur. Biri tek diğeri çift iki fonksiyonun toplamı ne tek ne çift olur.
II. öncül:
\( 3x^2 - 2f(x) \)
\( 3x^2 \) çift fonksiyondur. İki çift fonksiyonun farkı çift olur.
III. öncül:
\( x \cdot 4f(x) \)
\( x \) tek fonksiyondur. Biri tek diğeri çift iki fonksiyonun çarpımı tek olur.
IV. öncül:
\( f(x^5) \)
\( x^5 \) tek fonksiyondur. Çift fonksiyonun tek fonksiyon ile bileşkesi çift olur.
V. öncül:
\( 2x^3 - f(x) \)
\( 2x^3 \) tek fonksiyondur. Biri tek diğeri çift iki fonksiyonun farkı ne tek ne çift olur.
Buna göre sadece III. öncüldeki fonksiyon tektir.
Aşağıdakilerden hangileri çift fonksiyondur?
I. \( f(x) = \sin^4{x} + \tan^6{x} + 4 \)
II. \( f(x) = 3x^2 - 4 \)
III. \( f(x) = 7x^3 - 12x \)
IV. \( f(x) = (x - 3)^2 \)
V. \( f(x) = -x^4 + \cos{x} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( f(x) = \sin^4{x} + \tan^6{x} + 4 \)
Tek fonksiyonların çift dereceli üsleri çift olduğu için ilk iki terim çift fonksiyon olur. 3. terim de çift olduğu ve çift fonksiyonların toplamı çift olduğu için bu fonksiyon çifttir.
II. öncül:
\( f(x) = 3x^2 - 4 \)
Sadece çift dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları çifttir.
III. öncül:
\( f(x) = 7x^3 - 12x \)
Sadece tek dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonları tektir.
IV. öncül:
\( f(x) = (x - 3)^2 \)
\( = x^2 - 6x + 9 \)
İfadenin açılımında polinom fonksiyonu tek ve çift kuvvetler içerdiği için fonksiyon ne tektir ne çifttir.
V. öncül:
\( f(x) = -x^4 + \cos{x} \)
İki terim de çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların toplamı/farkı da çifttir.
Buna göre I., II. ve V. öncüllerdeki fonksiyonlar çifttir.
\( f \) çift ve \( g \) tek fonksiyonlardır.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri kesinlikle çift fonksiyondur?
I. \( f(x^2) \cdot g(x^5) \)
II. \( f(x) + g(x^4) \)
III. \( f(x) \cdot g(x^3) \cdot x^{99} \)
IV. \( f(x^3) + g^2(x) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( f(x^2) \cdot g(x^5) \)
Çift fonksiyonun çift fonksiyonla bileşkesi çift olduğu için \( f(x^2) \) çift fonksiyondur. Tek fonksiyonun tek fonksiyonla bileşkesi tek olduğu için \( g(x^5) \) tek fonksiyondur. Çift ve tek iki fonksiyonun çarpımı tek olduğu için ifade tek fonksiyondur.
II. öncül:
\( f(x) + g(x^4) \)
Tek fonksiyonun çift fonksiyonla bileşkesi çift olduğu için \( g(x^4) \) çift fonksiyondur. Çift iki fonksiyonun toplamı çift olduğu için ifade çift fonksiyondur.
III. öncül:
\( f(x) \cdot g(x^3) \cdot x^{99} \)
1. çarpan çift, 2. çarpan tek, 3. çarpan tek fonksiyondur. Çift, tek ve tek fonksiyonların çarpımı çift olduğu için ifade çift fonksiyondur.
IV. öncül:
\( f(x^3) + g^2(x) \)
Çift fonksiyonun tek fonksiyonla bileşkesi çift olduğu için \( f(x^3) \) çift fonksiyondur. Tek fonksiyonun çift sayı kuvveti çift olduğu için \( g^2(x) \) çifttir. Çift iki fonksiyonun toplamı çift olduğu için ifade çift fonksiyondur.
Buna göre II., III. ve IV. öncüllerdeki fonksiyonlar çifttir.
\( f \) orijine, \( g \) ise \( y \) eksenine göre simetrik iki fonksiyondur.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( f(a) + f(-a) \le 0 \)
II. \( g(a) + g(-a) \gt 0 \)
III. \( f(a) \ne 0, g(a) \ne 0 \) olmak üzere, \( \dfrac{g(-a)}{g(a)} \gt \dfrac{f(a)}{f(-a)} \)
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik olduğuna göre tek fonksiyondur.
\( f(-x) = -f(x) \)
\( g \) fonksiyonu \( y \) eksenine göre simetrik olduğuna göre çift fonksiyondur.
\( g(-x) = g(x) \)
I. öncül:
Tek fonksiyonlarda \( f(a) + f(-a) = 0 \) olduğu için bu öncül her zaman doğrudur.
II. öncül:
Çift fonksiyonlarda \( g(a) + g(-a) = 2g(a) \) olduğu için bu eşitsizlik her zaman doğru olmayabilir.
III. öncül:
\( f(-a) = -f(a) \Longrightarrow \dfrac{f(a)}{f(-a)} = -1 \)
\( g(-a) = g(a) \Longrightarrow \dfrac{g(-a)}{g(a)} = 1 \)
\( 1 \gt -1 \) olduğu için bu öncül doğrudur.
Buna göre I. ve III. öncüller her zaman doğrudur.
Aşağıdaki fonksiyonların tek/çift olma durumlarını inceleyin.
\( f(x) = \sin{x} + 2x \)
\( g(x) = x^5 + 5x \)
\( h(x) = \cos{x} + x^4 \)
\( k(x) = \abs{x} - 3 \)
Çözümü GösterFonksiyonların tümünde \( x \) yerine \( -x \) yazalım.
\( f(x) = \sin{x} + 2x \)
\( f(-x) = \sin(-x) + 2(-x) \)
\( = -\sin{x} - 2x = -(\sin{x} - 2x) \)
\( = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
\( g(x) = x^5 + 5x \)
\( g(-x) = (-x)^5 + 5(-x) \)
\( = -x^5 - 5x = -(x^5 + 5x) \)
\( = -g(x) \)
\( g(-x) = -g(x) \) olduğu için \( g \) tek fonksiyondur.
\( h(x) = \cos{x} + x^4 \)
\( h(-x) = \cos(-x) + (-x)^4 \)
\( = \cos{x} + x^4 = h(x) \)
\( h(-x) = h(x) \) olduğu için \( h \) çift fonksiyondur.
\( k(x) = \abs{x} - 3 \)
\( k(-x) = \abs{-x} - 3 \)
\( = \abs{x} - 3 = k(x) \)
\( k(-x) = k(x) \) olduğu için \( k \) çift fonksiyondur.
\( f(x) = \ln{\dfrac{e - x}{e + x}} \) fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyin.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \ln{\dfrac{e - (-x)}{e + (-x)}} \)
\( = \ln{\dfrac{e + x}{e - x}} = \ln(\dfrac{e - x}{e + x})^{-1} \)
\( = -\ln{\dfrac{e - x}{e + x}} = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( g(x) = \dfrac{1}{4}f(x) + \dfrac{1}{4}f(-x) \)
\( h(x) = \dfrac{1}{4}f(x) - \dfrac{1}{4}f(-x) \)
olduğuna göre, \( g(x) \) ve \( h(x) \) fonksiyonlarının tek/çift olma durumlarını inceleyin.
Çözümü Göster\( g(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( g(-x) = \dfrac{1}{4}f(-x) + \dfrac{1}{4}f(-(-x)) \)
\( = \dfrac{1}{4}f(-x) + \dfrac{1}{4}f(x) = g(x) \)
\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) çift fonksiyondur.
\( h(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( h(-x) = \dfrac{1}{4}f(-x) - \dfrac{1}{4}f(-(-x)) \)
\( = \dfrac{1}{4}f(-x) - \dfrac{1}{4}f(x) = -h(x) \)
\( h(-x) = -h(x) \) olduğu için \( h \) tek fonksiyondur.
\( f(x) = \sqrt{2x^2 - x + 7} - \sqrt{2x^2 + x + 7} \) fonksiyonunun tek/çift fonksiyon olma durumunu inceleyin.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \sqrt{2(-x)^2 - (-x) + 7} - \sqrt{2(-x)^2 + (-x) + 7} \)
\( = \sqrt{2x^2 + x + 7} - \sqrt{2x^2 - x + 7} \)
\( = -(\sqrt{2x^2 - x + 7} - \sqrt{2x^2 + x + 7}) \)
\( = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 9x^4 + ax^2 + b \) fonksiyonunun \( r \lt s \lt t \) olmak üzere üç farklı reel kökü vardır.
Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. \( r + t = 0 \)
II. \( r + s + t = 0 \)
III. \( rst = 0 \)
Çözümü Göster\( f \) polinom fonksiyonu \( x \)'in sadece çift kuvvetlerinden oluştuğu için bir çift fonksiyondur.
\( f \) çift fonksiyon olduğuna göre, her \( x \) için \( f(x) = f(-x) \) eşitliği sağlanır, bir diğer ifadeyle fonksiyon grafiği \( y \) eksenine göre simetriktir.
Buna göre \( x = a \) fonksiyonunun bir kökü ise \( x = -a \) da kökü olur.
4. dereceden bir polinom fonksiyonunun 3 farklı reel kökü varsa karmaşık kökü olamaz (karmaşık kökler birbirinin eşleniği şeklinde ikili olarak bulunurlar).
Buna göre üç farklı kökten biri çift katlı kök olmak zorundadır.
Hem fonksiyonun üç farklı kökü olabilmesi hem de köklerin \( f(x) = f(-x) \) eşitliğini sağlaması için, iki kök birbirinin ters işaretlisi, üçüncü kök de sıfır olmalıdır.
Örnek: \( x \in \{ -5, 0, 5 \} \)
\( r = -t, \quad s = 0 \)
\( r = -t \Longrightarrow r + t = 0 \)
Bu bilgiler doğrultusunda üç öncül de doğrudur.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) \)
fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyin.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \ln(\sqrt{(-x)^2 + 1} + (-x)) \)
\( = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \)
Logaritma içindeki ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölelim.
\( = \ln{\dfrac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)^{-1} \)
\( = -\ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) = \dfrac{e^{\sin{x}} + 1}{e^{\sin{x}} - 1} \)
fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyin.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \dfrac{e^{\sin(-x)} + 1}{e^{\sin(-x)} - 1} \)
\( \sin(-x) = -\sin{x} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x}} + 1}{e^{-\sin{x}} - 1} \)
Payı ve paydayı \( e^{\sin{x}} \) ile genişletelim.
\( = \dfrac{(e^{-\sin{x}} + 1)\ e^{\sin{x}}}{(e^{-\sin{x}} - 1)\ e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x}}\ e^{\sin{x}} + e^{\sin{x}}}{e^{-\sin{x}}\ e^{\sin{x}} - e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x} + \sin{x}} + e^{\sin{x}}}{e^{-\sin{x} + \sin{x}} - e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^0 + e^{\sin{x}}}{e^0 - e^{\sin{x}}} = \dfrac{1 + e^{\sin{x}}}{1 - e^{\sin{x}}} \)
\( = -\dfrac{e^{\sin{x}} + 1}{e^{\sin{x}} - 1} = -f(x)\)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.