Öteleme
Öteleme, bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir yönde yer değiştirmesi demektir. Ötelemede fonksiyonun grafiğinin şekli değişmez, sadece analitik düzlemdeki konumu değişir.
Dikey Öteleme
\( k \in \mathbb{R}, \quad k \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to f(x) + k \)
\( f(x) \to f(x) - k \)
Bir fonksiyonun çıktısına \( k \) birim eklendiğinde grafik \( k \) birim yukarı ötelenir. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( x \) değeri için daha büyük bir \( y \) değeri üretmesidir.
Bir fonksiyonun çıktısından \( k \) birim çıkarıldığında grafik \( k \) birim aşağı ötelenir. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( x \) değeri için daha küçük bir \( y \) değeri üretmesidir.
Yatay Öteleme
\( c \in \mathbb{R}, \quad c \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to f(x + c) \)
\( f(x) \to f(x - c) \)
Bir fonksiyonun girdisine \( c \) birim eklendiğinde grafik \( c \) birim sola ötelenir. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( y \) değerini daha küçük bir \( x \) değeri ile üretmesidir.
Bir fonksiyonun girdisinden \( c \) birim çıkarıldığında grafik \( c \) birim sağa ötelenir. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( y \) değerini daha büyük bir \( x \) değeri ile üretmesidir.
Aşağıda verilen fonksiyonlara 2. sütunda uygulanan dikey dönüşüm fonksiyonun grafiğini 2 birim yukarı, 3. sütunda uygulanan yatay dönüşüm de 2 birim sola öteler.
| Fonksiyon | Dikey Dönüşüm | Yatay Dönüşüm |
|---|---|---|
| \( f(x) = 2x \) | \( f(x) + 2 = 2x + 2 \) | \( f(x + 2) = 2(x + 2) \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( f(x) + 2 = x^2 + 2 \) | \( f(x + 2) = (x + 2)^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( f(x) + 2 = \sqrt{x} + 2 \) | \( f(x + 2) = \sqrt{x + 2} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( f(x) + 2 = \sin(x) + 2 \) | \( f(x + 2) = \sin(x + 2) \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( f(x) + 2 = 2^x + 2 \) | \( f(x + 2) = 2^{x + 2} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( f(x) + 2 = \log(x) + 2 \) | \( f(x + 2) = \log(x + 2) \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( f(x) + 2 = \abs{x} + 2 \) | \( f(x + 2) = \abs{x + 2} \) |
\( f(x) = 3x^2 + 12x + 9 \) fonksiyonunun grafiği \( a \) birim yukarı ve 4 birim sağa ötelenerek \( g(x) \) fonksiyonu elde ediliyor.
\( A(-2, 57) \) noktası \( g(x) \) üzerinde olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 9x^2 + 15x - b \) parabolü \( a \) birim sola ötelendiğinde \( g(x) = 9x^2 - 21x + 22 \) parabolü elde ediliyor.
Buna göre \( \frac{b}{a} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılardır. Orijinden geçen \( f(x) = (x - a)^2 - b \) parabolüne dönüşümler uygulanarak aşağıdaki dört parabol çiziliyor.
- \( f(x + 2a) + 3b \)
- \( f(x + 2a) - b \)
- \( f(x - a) - b \)
- \( f(x - a) + 3b \)
Bu parabollerin tepe noktalarını köşe kabul eden dikdörtgenin alanı 324 olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( g(x) = f(x - 2) + f(x + 2) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü Göster