Sürekli ve Süreksiz Fonksiyonlar

Süreklilik konusunu her ne kadar "Analiz" başlığı altında inceleyecek olsak da, fonksiyon grafikleri kapsamında genel bir giriş yapmanın faydalı olacağını düşünüyoruz.

Bir fonksiyonun grafiğini apsisi \( x = a \) olan noktadan geçerken kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak fonksiyon bu \( x = a \) noktasında süreklidir. Eğer bunu yapamıyorsak fonksiyon bu noktada süreksizdir. Bu tanım her ne kadar sürekliliğin doğru matematiksel tanımı olmasa da şu aşamada bizim için yeterlidir.

Bir fonksiyon belirli bir \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise fonksiyon bu aralıkta süreklidir.

Kavramı pekiştirmek adına aşağıda sürekli ve süreksiz fonksiyon grafiklerine birkaç örnek vereceğiz.

Sürekli Noktalar

Aşağıda \( x = a \) noktasında sürekli iki fonksiyon örneği verilmiştir.

Grafik Açıklama
a noktasında sürekli fonksiyon Grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir tanımsızlık ya da sıçrama olmadığı ve grafik bu noktada "kalem" testini geçtiği için fonksiyon bu noktada süreklidir.
a noktasında sürekli parçalı fonksiyon Fonksiyon parçalı bir fonksiyon olsa da, grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir tanımsızlık ya da sıçrama olmadığı ve grafik "kalem" testini geçtiği için fonksiyon bu noktada süreklidir.

Süreksiz Noktalar

Aşağıda farklı tipteki süreksizliklere birer örnek verilmiştir.

Grafik Açıklama
a noktasında süreksiz ve tanımsız fonksiyon Grafikte \( x = a \) noktasında tanımsız olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
a noktasında süreksiz, ama tanımlı fonksiyon Fonksiyon her ne kadar \( a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada boşluk olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
a noktasında süreksiz ve tanımsız parçalı fonksiyon Grafikte \( x = a \) noktasında sıçrama olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
a noktasında süreksiz, ama tanımlı parçalı fonksiyon Fonksiyon her ne kadar \( x = a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada sıçrama olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
a noktasında dikey asimptotu olan fonksiyon Grafiğin \( x = a \) noktasında bir dikey asimptotu olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.

Fonksiyonların Sürekliliği

Fonksiyonlar konusunda incelediğimiz aşağıdaki fonksiyonların tümü tanımlı oldukları nokta ve aralıklarda süreklidir. Bu fonksiyonların grafiklerinde görebileceğimiz süreksizlikler (örneğin tanjant grafiğinde \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında oluşan dikey asimptot) fonksiyonun tanım aralığının dışında kaldığı için fonksiyonun tanım aralığındaki sürekliliği bozmaz.

Bu fonksiyonlar ve tanımlı oldukları aralıklar aşağıdaki gibidir.

Fonksiyon Denklem Tanım Kümesi
Sabit fonksiyon \( f(x) = c \) \( \mathbb{R} \)
Doğrusal fonksiyon \( f(x) = mx + c \) \( \mathbb{R} \)
Kuvvet fonksiyonu \( f(x) = x^n \) \( \mathbb{R} \)
Köklü fonksiyon (çift dereceli) \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) \( [0, +\infty) \)
Köklü fonksiyon (tek dereceli) \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) \( \mathbb{R} \)
Mutlak değer fonksiyonu \( f(x) = \abs{x} \) \( \mathbb{R} \)
Polinom fonksiyonu \( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \) \( \mathbb{R} \)
Rasyonel fonksiyon \( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) Paydayı sıfır yapan reel kökler dışında \( \mathbb{R} \)
Sinüs fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) \( \mathbb{R} \)
Kosinüs fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) \( \mathbb{R} \)
Tanjant fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)
Kotanjant fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)
Sekant fonksiyonu \( f(x) = \sec{x} \) \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)
Kosekant fonksiyonu \( f(x) = \csc{x} \) \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)
Üstel fonksiyon \( f(x) = a^x \) \( \mathbb{R} \)
Logaritma fonksiyonu \( f(x) = \log_a{x} \) \( (0, +\infty) \)

« Önceki
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Sonraki »
Fonksiyonların Dönüşümü


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır