Süreklilik konusunu her ne kadar "Analiz" başlığı altında inceleyecek olsak da, fonksiyon grafikleri kapsamında genel bir giriş yapmanın faydalı olacağını düşünüyoruz.
Bir fonksiyonun grafiğini apsisi \( x = a \) olan noktadan geçerken kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak fonksiyon bu \( x = a \) noktasında süreklidir. Eğer bunu yapamıyorsak fonksiyon bu noktada süreksizdir. Bu tanım her ne kadar sürekliliğin doğru matematiksel tanımı olmasa da şu aşamada bizim için yeterlidir.
Bir fonksiyon belirli bir \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Kavramı pekiştirmek adına aşağıda sürekli ve süreksiz fonksiyon grafiklerine birkaç örnek vereceğiz.
Aşağıda \( x = a \) noktasında sürekli iki fonksiyon örneği verilmiştir.
Grafik | Açıklama |
---|---|
Grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir tanımsızlık ya da sıçrama olmadığı ve grafik bu noktada "kalem" testini geçtiği için fonksiyon bu noktada süreklidir. | |
Fonksiyon parçalı bir fonksiyon olsa da, grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir tanımsızlık ya da sıçrama olmadığı ve grafik "kalem" testini geçtiği için fonksiyon bu noktada süreklidir. |
Aşağıda farklı tipteki süreksizliklere birer örnek verilmiştir.
Grafik | Açıklama |
---|---|
Grafikte \( x = a \) noktasında tanımsız olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. | |
Fonksiyon her ne kadar \( a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada boşluk olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. | |
Grafikte \( x = a \) noktasında sıçrama olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. | |
Fonksiyon her ne kadar \( x = a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada sıçrama olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. | |
Grafiğin \( x = a \) noktasında bir dikey asimptotu olduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
Fonksiyonlar konusunda incelediğimiz aşağıdaki fonksiyonların tümü tanımlı oldukları nokta ve aralıklarda süreklidir. Bu fonksiyonların grafiklerinde görebileceğimiz süreksizlikler (örneğin tanjant grafiğinde \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında oluşan dikey asimptot) fonksiyonun tanım aralığının dışında kaldığı için fonksiyonun tanım aralığındaki sürekliliği bozmaz.
Bu fonksiyonlar ve tanımlı oldukları aralıklar aşağıdaki gibidir.
Fonksiyon | Denklem | Tanım Kümesi |
---|---|---|
Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | \( \mathbb{R} \) |
Doğrusal fonksiyon | \( f(x) = mx + c \) | \( \mathbb{R} \) |
Kuvvet fonksiyonu | \( f(x) = x^n \) | \( \mathbb{R} \) |
Köklü fonksiyon (çift dereceli) | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, +\infty) \) |
Köklü fonksiyon (tek dereceli) | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | \( \mathbb{R} \) |
Mutlak değer fonksiyonu | \( f(x) = \abs{x} \) | \( \mathbb{R} \) |
Polinom fonksiyonu | \( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \) | \( \mathbb{R} \) |
Rasyonel fonksiyon | \( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) | Paydayı sıfır yapan reel kökler dışında \( \mathbb{R} \) |
Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) | \( \mathbb{R} \) |
Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) | \( \mathbb{R} \) |
Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
Üstel fonksiyon | \( f(x) = a^x \) | \( \mathbb{R} \) |
Logaritma fonksiyonu | \( f(x) = \log_a{x} \) | \( (0, +\infty) \) |
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{7 - x} + \sqrt{x - 3}}{x - 4} \)
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş tanım aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{2x^2 + kx + 7} \)
fonksiyonu her \( x \) reel sayısı için sürekli olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterYukarıdaki grafiğe göre \( f(x) \) fonksiyonu verilen aralıkta kaç noktada süreksizdir?
Çözümü Göster