Daralma/Genişleme
Daralma/genişleme, bir fonksiyonun grafiğindeki tüm noktaların \( x \) ya da \( y \) eksenine belirli bir oranda yaklaşması ya da eksenlerden bu oranda uzaklaşması anlamına gelir.
Dikey Daralma/Genişleme
\( a \in \mathbb{R}, \quad a \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to a \cdot f(x) \)
\( a \gt 1 \) olmak üzere, fonksiyonun çıktısı \( a \) ile çarpıldığında grafiğin üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden \( a \) kat uzaklaşır. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( x \) değeri için mutlak değerce daha büyük \( y \) değeri üretmesidir. Örnek olarak \( a = 2 \) ise ordinatı 6 olan bir noktanın ordinatı 12 olur.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, fonksiyonun çıktısı \( a \) ile çarpıldığında grafiğin üzerindeki tüm noktalar \( x \) eksenine \( a \) kat yakınlaşır. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( x \) değeri için mutlak değerce daha küçük \( y \) değeri üretmesidir. Örnek olarak \( a = \frac{1}{2} \) ise ordinatı 6 olan bir noktanın ordinatı 3 olur.
Çıktı değeri olarak \( y = 0 \)'ın sabit bir sayı ile çarpımı yine sıfır olduğu için, bu dönüşümde grafiğin \( x \) eksenini kestiği nokta(lar) değişmez.
Fonksiyonun çıktısı negatif bir \( a \) değeri ile çarpılırsa fonksiyona \( a \)'nın mutlak değeri için yukarıda bahsettiğimiz dikey daralma/genişleme dönüşümü uygulanır. Buna ek olarak katsayının negatif işareti için fonksiyona bir sonraki bölümde bahsedeceğimiz yansıma dönüşümü uygulanır.
Yatay Daralma/Genişleme
\( b \in \mathbb{R}, \quad b \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to f(bx) \)
\( b \gt 1 \) olmak üzere, fonksiyonun girdisi \( b \) ile çarpıldığında grafiğin üzerindeki tüm noktalar \( y \) eksenine \( \frac{1}{b} \) kat yakınlaşır. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( y \) değerini mutlak değerce daha küçük bir \( x \) değeri ile üretmesidir. Örnek olarak \( b = 2 \) ise apsisi 6 olan bir nokta aynı fonksiyon değerini 3 apsis değeri ile üretir.
\( 0 \lt b \lt 1 \) olmak üzere, fonksiyonun girdisi \( b \) ile çarpıldığında grafiğin tüm noktaları \( y \) ekseninden \( \frac{1}{b} \) kat uzaklaşır. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( y \) değerini mutlak değerce daha büyük bir \( x \) değeri ile üretmesidir. Örnek olarak \( b = \frac{1}{2} \) ise apsisi 6 olan bir nokta aynı fonksiyon değerini 12 apsis değeri ile üretir.
Girdi değeri olarak \( x = 0 \)'ın sabit bir sayı ile çarpımı yine sıfır olduğu için, bu dönüşümde grafiğin \( y \) eksenini kestiği nokta değişmez.
Fonksiyonun girdisi negatif bir \( b \) değeri ile çarpılırsa fonksiyona \( b \)'nin mutlak değeri için yukarıda bahsettiğimiz yatay daralma/genişleme dönüşümü uygulanır. Buna ek olarak katsayının negatif işareti için fonksiyona bir sonraki bölümde bahsedeceğimiz yansıma dönüşümü uygulanır.
Aşağıda verilen fonksiyonlara 2. sütunda uygulanan dikey dönüşüm sonucunda fonksiyon grafiği üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden 2 kat uzaklaşır, 3. sütunda uygulanan yatay dönüşüm sonucunda da \( y \) eksenine \( \frac{1}{2} \) kat yakınlaşır.
| Fonksiyon | Dikey Dönüşüm | Yatay Dönüşüm |
|---|---|---|
| \( f(x) = x + 1 \) | \( 2f(x) = 2(x + 1) \) | \( f(2x) = 2x + 1 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( 2f(x) = 2x^2 \) | \( f(2x) = (2x)^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( 2f(x) = 2\sqrt{x} \) | \( f(2x) = \sqrt{2x} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( 2f(x) = 2\sin{x} \) | \( f(2x) = \sin(2x) \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( 2f(x) = 2 \cdot 2^x \) | \( f(2x) = 2^{2x} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( 2f(x) = 2\log{x} \) | \( f(2x) = \log(2x) \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( 2f(x) = 2\abs{x} \) | \( f(2x) = \abs{2x} \) |
Bir kağıda önce \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \) parabolü, sonra \( f(x - 4) \) ve \( f(-2x) \) parabolleri çiziliyor.
Son çizilen iki parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar arasındaki en büyük uzaklık kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( y = f(x) \) fonksiyonu üzerindeki \( A(m, -11) \) noktası \( y = 2f(x - 5) + 4 \) fonksiyonu üzerindeki \( B(4, n) \) noktasına öteleniyor.
Buna göre \( \abs{m - n} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Yukarıda \( f(x) = m \cdot \sin{x} + n \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster