Dönüşümlerde İşlem Sırası
İki ya da daha fazla dönüşüm bir fonksiyona birlikte uygulandığında oluşan yeni fonksiyonun grafiği bu dönüşümlerin grafiğe ayrı ayrı etkilerinin birleşimini yansıtır. Bu dönüşümler bir fonksiyona herhangi bir sırada uygulanabilecek olsa da bunun için bazı noktalara dikkat edilmesi gerekmektedir. Örneğin aşağıdaki fonksiyona iki dikey dönüşümü farklı sıralarda uygularsak iki farklı fonksiyon elde ederiz.
\( f(x) = x^2 \) olmak üzere,
Önce genişleme, sonra öteleme
\( f(x) \to 2f(x) \to 2f(x) + 3 \)
\( x^2 \to 2x^2 \to 2x^2 + 3 \)
Önce öteleme, sonra genişleme
\( f(x) \to f(x) + 3 \to 2(f(x) + 3) \)
\( x^2 \to x^2 + 3 \to 2(x^2 + 3) \)
Bu bölümde önce bu noktalara dikkat etmemize gerek kalmadan dönüşümler için bir uygulama sırası önereceğiz, daha sonra bu dönüşümleri herhangi bir sırada uygulayabilmemiz için dikkat edilmesi gereken noktaları paylaşacağız.
Dönüşümler İçin Önerilen İşlem Sırası
Bir fonksiyona uygulanabilecek dikey ve yatay dönüşümler aşağıdaki şekilde özetlenmiştir.
Bir fonksiyona iki ya da daha fazla dönüşümü burada önereceğimiz sırada uygulamak için öncelikle fonksiyonun aşağıdaki iki formdan birine getirmemiz gerekir.
Form 1
\( -a \cdot f(-b(x + c)) + k \)
Bu formda önemli nokta \( -b(x + c) \) ifadesinin \( x \)'in katsayısı 1 kalacak şekilde katsayı parantezine alınmış olmasıdır. Bu formdaki bir fonksiyona dönüşümleri aşağıdaki yöntem doğrultusunda uygulayabiliriz.
- Dikey ve yatay dönüşümler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla hangisinin önce uygulandığının bir önemi yoktur.
- Yatay dönüşümlerde önce \( b \) katsayısı ile ilgili dönüşümler (daralma/genişleme ve yansıma), sonra \( c \) ile ilgili dönüşüm (öteleme) uygulanır. Daralma/genişleme ve yansıma dönüşümleri arasındaki uygulama sırası önemli değildir.
- Dikey dönüşümlerde önce \( a \) katsayısı ile ilgili dönüşümler (daralma/genişleme ve yansıma), sonra \( k \) ile ilgili dönüşüm (öteleme) uygulanır. Daralma/genişleme ve yansıma dönüşümleri arasındaki uygulama sırası önemli değildir.
\( g(x) = 3f(-2(x + 1)) - 2 \) olmak üzere,
Tanımı 1. formda verilmiş \( g \) fonksiyonunun grafiğini \( f \) fonksiyonunun grafiğine aşağıdaki dönüşümleri uygulayarak elde edebiliriz.
Yatay dönüşümler:
\( x \) ekseni boyunca \( \frac{1}{2} \) kat daralma
\( y \) eksenine göre yansıma
\( x \) ekseni boyunca \( 1 \) br sola öteleme
Dikey dönüşümler:
\( y \) ekseni boyunca \( 3 \) kat genişleme
\( y \) ekseni boyunca \( 2 \) br aşağı öteleme
Form 2
\( -a \cdot f(-bx + c) + k \)
Bu formda önemli nokta \( -bx + c \) ifadesinde herhangi bir paranteze alma işlemi yapılmamış olmasıdır. Bu formdaki bir fonksiyona dönüşümleri uygularken yukarıda paylaştığımız 2. madde yerine aşağıdaki madde geçerli olacaktır.
- Yatay dönüşümlerde önce \( c \) ile ilgili dönüşüm (öteleme), sonra \( b \) ile ilgili dönüşümler (daralma/genişleme ve yansıma) uygulanır.
\( g(x) = 3f(-2x - 2) - 2 \) olmak üzere,
Tanımı 2. formda verilmiş \( g \) fonksiyonunun grafiğini \( f \) fonksiyonunun grafiğine aşağıdaki dönüşümleri uygulayarak elde edebiliriz.
Yatay dönüşümler:
\( x \) ekseni boyunca \( 2 \) br sağa öteleme
\( y \) eksenine göre yansıma
\( x \) ekseni boyunca \( \frac{1}{2} \) kat daralma
Dikey dönüşümler:
\( y \) ekseni boyunca \( 3 \) kat genişleme
\( y \) ekseni boyunca \( 2 \) br aşağı öteleme
Dikkat edilirse aynı fonksiyonun iki farklı formda yazılışına dönüşümleri uygularken birinci formda \( x \) ekseni boyunca \( 1 \) br sola öteleme, ikinci formda \( x \) ekseni boyunca \( 2 \) br sağa öteleme yaptık ve sonuçta aynı fonksiyonu ve grafiği elde etmiş olduk.
Genel Uygulama Prensipleri
Dönüşümleri bir fonksiyona yukarıda paylaştığımız önerilen sıra dışında bir sırada da uygulayabiliriz. Bunun için dikkat etmemiz gereken nokta, dönüşüm uygulanmış fonksiyonu elde etmek için aşağıdaki yerine koyma işlemlerinden her birini adım adım uygulamak ve her adımın fonksiyon grafiğine etkisini ilgili adımla uyumlu şekilde takip etmektir.
| Yerine Koyma | Dönüşüm |
|---|---|
|
\( b \gt 1 \) olmak üzere,
\( x \to bx \)
|
\( \frac{1}{b} \) kat yatay daralma |
|
\( 0 \lt b \lt 1 \) olmak üzere,
\( x \to bx \)
|
\( \frac{1}{b} \) kat yatay genişleme |
| \( x \to -x \) | \( y \) eksenine göre yansıma |
|
\( c \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \to x + c \)
|
\( c \) br sola öteleme |
|
\( c \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \to x - c \)
|
\( c \) br sağa öteleme |
|
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( f(x) \to a \cdot f(x) \)
|
\( a \) kat dikey genişleme |
|
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( f(x) \to a \cdot f(x) \)
|
\( a \) kat dikey daralma |
| \( f(x) \to -f(x) \) | \( x \) eksenine göre yansıma |
|
\( k \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to f(x) + k \)
|
\( k \) br yukarı öteleme |
|
\( k \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) \to f(x) - k \)
|
\( k \) br aşağı öteleme |
Verilen bir fonksiyonun dönüşümlerini yorumlarken aşağıda ilk satırdaki \( + 2 \) ifadesini \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola öteleme olarak yorumlamamalıyız, bu ifadeyi 2 parantezine aldığımızda aslında bu dönüşümün 1 birim sola ötelemeye karşılık geldiğini görebiliriz. Dolayısıyla bu dönüşümleri adım adım uygularken yöntemimiz cebirsel olarak istenen ifadeyi elde etmek ve uyguladığımız her yerine koyma işleminin karşılık geldiği grafiksel dönüşümü yukarıdaki tablodan not etmek olmalıdır.
\( g(x) = f(2x + 2) \)
\( g(x) = f(2(x + 1)) \)
Örnek 1
Aşağıdaki örnekte iki yatay dönüşümün uygulandığı bir fonksiyona bu dönüşümler farklı sıralarda uygulanmış ve aynı sonucun elde edildiği gösterilmiştir.
| Grafik | Dönüşüm |
|---|---|
|
\( f(x) \to f(-x + 2) \) Solda verilen \( f(x) \) fonksiyonundan \( f(-x + 2) \) fonksiyonunu elde etmek için fonksiyona öteleme ve yansıma dönüşümleri uygulamamız gerekir. Dönüşümleri doğru şekilde uyguladığımız sürece hangi sırada uyguladığımızın bir önemi yoktur. |
|
Önce yansıma, sonra öteleme (1) Önce fonksiyonun girdisine \( x \to -x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını alalım. \( f(x) \to f(-x) \) (2) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to x - 2 \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 2 br sağa öteleyelim. Dikkat edilirse, \( x \)'in önündeki negatif işareti dolayısıyla \( f(-x) \to f(-x + 2) \) dönüşümü için uygulamamız gereken dönüşüm \( x \to x + 2 \) değil \( x \to x - 2 \) olmaktadır. \( f(-x) \to f(-(x - 2)) = f(-x + 2) \) |
|
Önce öteleme, sonra yansıma (1) Önce fonksiyonun girdisine \( x \to x + 2 \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 2 br sola öteleyelim. \( f(x) \to f(x + 2) \) (2) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to -x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını alalım. \( f(x + 2) \to f(-x + 2) \) |
Örnek 2
Aşağıdaki örnekte üç yatay dönüşümün uygulandığı bir fonksiyona bu dönüşümler farklı sıralarda uygulanmış ve aynı sonucun elde edildiği gösterilmiştir.
| Grafik | Dönüşüm |
|---|---|
|
\( f(x) \to f(-2x - 6) \) Solda verilen \( f(x) \) fonksiyonundan \( f(-2x - 6) \) fonksiyonunu elde etmek için fonksiyona öteleme, daralma ve yansıma dönüşümleri uygulamamız gerekir. Dönüşümleri doğru şekilde uyguladığımız sürece hangi sırada uyguladığımızın bir önemi yoktur. |
|
Önce daralma, sonra öteleme, sonra yansıma (1) Önce fonksiyonun girdisine \( x \to 2x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca daraltalım. \( f(x) \to f(2x) \) (2) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to x - 3 \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 3 br sağa öteleyelim. \( f(2x) \to f(2(x - 3)) = f(2x - 6) \) (3) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to -x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını alalım. \( f(2x - 6) \to f(-2x - 6) \) |
|
Önce yansıma, sonra öteleme, sonra daralma (1) Önce fonksiyonun girdisine \( x \to -x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını alalım. \( f(x) \to f(-x) \) (2) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to x + 6 \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 6 br sola öteleyelim. \( f(-x) \to f(-(x + 6)) = f(-x - 6) \) (3) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to 2x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca daraltalım. \( f(-x - 6) \to f(-2x - 6) \) |
|
Önce öteleme, sonra daralma, sonra yansıma (1) Önce fonksiyonun girdisine \( x \to x - 6 \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 6 br sağa öteleyelim. \( f(x) \to f(x - 6) \) (2) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to 2x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca daraltalım. \( f(x - 6) \to f(2x - 6) \) (3) Sonra fonksiyonun girdisine \( x \to -x \) dönüşümü uygulayarak fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını alalım. \( f(2x - 6) \to f(-2x - 6) \) |
\( A(3,4) \) noktası \( f(x) \) eğrisi üzerinde bir noktadır.
Fonksiyona \( -f(-x) + 4 \) dönüşümü uygulandığında bu noktanın koordinatları ne olur?
Çözümü Göster\( f(x) = x^2 \) parabolüne belirli dönüşümler uygulanarak \( g(x) = -3x^2 + 24x - 42 \) parabolü elde ediliyor. Yapılan öteleme işlemlerini ve uygulama sırasını bulunuz.
Çözümü Göster3. dereceden bir polinom fonksiyonu olan \( f(x) \) fonksiyonunun büküm noktası \( (1, -3) \) noktasıdır.
Buna göre \( -f(-x + 2) - 3 \) fonksiyonunun büküm noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster