Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı

Bu problem tipinde amaç özdeş \( n \) nesnenin birbirinden farklı \( k \) kutuya dağıtım sayısını hesaplamaktır. Nesneler özdeş olduğu için farklı kutulardaki iki nesnenin aralarında yer değiştirmesi yeni bir dağıtım oluşturmaz.

Özdeş nesnelerin farklı kutulara dağıtımı
Özdeş nesnelerin farklı kutulara dağıtımı

Bu problem tipini her kutuya dağıtılabilecek nesne sayısına göre dört başlık altında inceleyebiliriz.

Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara herhangi bir koşul olmaksızın dağıtılır (bazı kutular boş kalabilir ya da bir kutuya birden fazla nesne konabilir).

Bu tip problemler "ayraç yöntemi" adı verilen yöntemle çözülebilir. 9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya dağıtımını örnek olarak alırsak, bu yöntemde dağıtılacak nesne sayısı kadar yıldız işareti (\( n = 9 \)) ve kutu sayısının bir eksiği kadar bölü işareti (\( k - 1 = 5 \)) yan yana dizilir.

9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya dağıtımı
9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya dağıtımı

Bu dizilişte yıldızlar nesneleri temsil ederken bölü işaretleri nesneleri/yıldızları kutu sayısı kadar gruba ayıran birer ayraç görevi görür, dolayısıyla iki bölü işareti arasındaki yıldız sayısı belirli bir kutudaki nesne sayısını verir. Bu problem tipinde bir kutu boş kalabileceği için, iki ya da daha fazla ayraç aralarında yıldız işareti olmayacak şekilde yanyana gelebilir.

Aşağıda 9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya örnek bir dağıtımı verilmiştir. Bu dağıtımda 2. kutuda üç nesne varken 5. kutu boştur.

9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya dağıtımı
9 özdeş nesnenin 6 farklı kutuya dağıtımı

Bu yöntem ile problem \( n \) özdeş yıldızın (nesnenin) ve \( k - 1 \) özdeş ayracın farklı dizilişi (tekrarlı permütasyonu) problemine dönüşmüş olur. Çoklu kümelerde permütasyon formülünü bu soruya uygularsak, \( n \) ve \( k - 1 \) nesne kendi aralarında özdeş olmak üzere toplamda \( n + k - 1 \) nesnenin farklı diziliş sayısı \( \frac{(n + k - 1)!}{n!\ (k - 1)!} \) olur. Bu da kombinasyon formülü ile \( C(n + k - 1, k - 1) \) ifadesine eşittir.

Her ne kadar problemi özdeş yıldız ve özdeş ayraçların farklı diziliş problemi olarak çözmüş olsak da, özdeş ayraçlar her bir dizilişteki nesneleri elimizdeki problemde olduğu gibi 1. kutu, 2. kutu, ..., k. kutu şeklinde isimlendirebileceğimiz farklı kutulara ayırmaktadır.

SORU 1:

10 özdeş muz 5 farklı maymuna kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( a, b, c, d \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( a + b + c + d = 7 \) eşitliğini sağlayan kaç \( (a, b, c, d) \) sıralı dörtlüsü vardır?

Çözümü Göster
SORU 3:

Bir pastane 5 farklı renkte makaron üretmektedir. Her renkten makaronun pastanede yeterli sayıda bulunduğunu varsayarsak 8 adetlik bir makaron kutusu kaç farklı şekilde hazırlanabilir (kutudaki makaronların dizilişini değil adetsel dağılımını dikkate alarak)?

Çözümü Göster
SORU 4:

Bir baba elindeki 32 adet 100 TL'lik banknotu 3 çocuğu ile paylaşacaktır.

Her çocuk en az 300 TL almak koşuluyla baba bu paylaşımı kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözümü Göster
SORU 5:

Rakamları toplamı 9 olan 4 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözümü Göster
SORU 6:

9 özdeş pet şişe 5 farklı çöp kutusuna atılacaktır.

Her çöp kutusuna en az 1, en fazla 4 şişe atılacağına göre, bu şişeler çöp kutularına kaç farklı şekilde atılabilir?

Çözümü Göster
SORU 7:

16 özdeş kalem Kadir, Şamil, Öykü ve Alkım isimli dört arkadaşa verilecektir.

Kadir'e en az 5, Şamil'e en az 6 kalem verilecektir.

Herkes en az bir kalem alacağına göre, 16 özdeş kalem bu 4 arkadaşa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster
SORU 8:

Asya iş yerinden 5 arkadaşına yeni yıl hediyesi olarak 22 özdeş tütsü ve 8 özdeş tütsü kayığı almıştır.

Bu hediyeleri 5 ayrı pakete koyacak olan Asya, her pakette en az 4 tütsü ve bir tütsü kayığı olacak şekilde kaç farklı paketleme yapabilir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( P(x) \) polinomunun katsayıları birer rakamdır.

\( P(-1) = -9 \) olduğuna göre, derecesi en fazla 4 olan kaç farklı \( P(x) \) polinomu yazılabilir?

Çözümü Göster

Her Kutuda En Fazla Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda en fazla bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda en fazla bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \le k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından fazla olamaz), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

Her kutuda sıfır ya da bir nesne olacağı için, bu problemi seçilecek kutulara birer nesne dağıtacak şekilde \( k \) farklı kutu içinden \( n \) kutunun seçimi, yani bir kombinasyon problemi olarak kurgulayabiliriz. Buna göre \( k \) farklı kutu içinden \( n \) kutu \( C(k, n) \) farklı şekilde seçilebilir. Nesneler özdeş olduğu için seçilen kutulara bu nesnelerin dağıtımı sadece 1 şekilde yapılabilir.

SORU 10:

4 özdeş oyuncak 6 çocuğa, hiçbir çocuğa birden fazla oyuncak vermemek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster
SORU 11:

3 beyaz piyon bir satranç tahtasına kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Çözümü Göster

Her Kutuda En Az Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda en az bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \ge k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından az olamaz), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

Bu tip problemler de yukarıda kullandığımız "ayraç yöntemi" ile çözülebilir. 10 özdeş nesnenin 5 farklı kutuya dağıtımını örnek olarak alırsak, bu yöntemde dağıtılacak nesne sayısı kadar yıldız işareti (\( n = 10 \)) aralarında birer boşluk (alt çizgi) olacak şekilde yan yana dizilir.

10 özdeş nesnenin 5 farklı kutuya dağıtımı
10 özdeş nesnenin 5 farklı kutuya dağıtımı

Bu 10 yıldız işaretinin arasında kalan 9 boşluğa yerleştireceğimiz \( k - 1 = 4 \) ayraç, nesneleri/yıldızları 5 farklı kutuya ayırmamızı sağlar. Ayraçlar sadece boşluklara yerleştirilebileceği için ve herhangi iki boşluk arasında mutlaka bir nesne olacağı için, problemdeki her kutuda en az bir nesne olma koşulu sağlanmış olur.

Aşağıda 10 özdeş nesneyi 5 farklı kutuya dağıtmak için, 9 boşluk içinden 4 boşluğun örnek bir seçimi verilmiştir. Bu dizilişte nesneler 5 kutuya sırasıyla 2-3-2-2-1 adet dağıtılmış olur.

10 özdeş nesnenin 5 farklı kutuya dağıtımı
10 özdeş nesnenin 5 farklı kutuya dağıtımı

Problemi bu şekilde kurguladığımızda, nesnelerin kutulara farklı dağıtım sayısı \( n - 1 \) boşluk içinden \( k - 1 \) boşluğun farklı seçim sayısına, yani \( C(n - 1, k - 1) \) ifadesine eşit olur.

SORU 12:

10 özdeş muz 5 farklı maymuna, her maymun en az bir muz olacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster
SORU 13:

Özgür elindeki 10 adet 100 TL'lik banknot ile 3 ayrı bankada hesap açtırmak istiyor.

Özgür her hesaptaki bakiyenin en az 100 TL ve 100 TL'nin katları şeklinde olmasını istediğine göre, bu 3 hesabı açılış bakiyeleri açısından kaç farklı şekilde açtırabilir?

Çözümü Göster
SORU 14:

\( a, b, c, d \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( a + b + c + d \le 10 \) eşitsizliğini sağlayan kaç \( (a, b, c, d) \) sıralı dörtlüsü vardır?

Çözümü Göster

Her Kutuda Tek Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda sadece bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda sadece bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n = k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısına eşit olmalıdır), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

\( n \) özdeş nesnenin \( n \) farklı kutuya her kutuda bir nesne olacak şekilde herhangi bir dağıtımında iki nesne aralarında yer değiştirirse nesneler özdeş olduğu için yeni bir dağıtım oluşmaz. Bu yüzden bu dağıtım sadece bir şekilde yapılabilir.

"Her Kutuda En Fazla Bir Nesne" ve "Her Kutuda En Az Bir Nesne" problem tiplerinde \( n = k \) aldığımızda da aynı \( 1 \) sonucunu elde ederiz.

SORU 15:

5 özdeş gül 5 öğretmene her öğretmen bir gül alacak şekilde kaç farklı şekilde verilebilir?

Çözümü Göster

« Önceki
Farklı Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı
Sonraki »
Farklı Nesnelerin Özdeş Kutulara Dağıtımı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır