Mutlak Değer Tanımı

Mutlak değer içindeki bir ifade mutlak değerden, değeri sıfır ya da pozitif ise olduğu gibi, negatif ise önünde negatif işareti ile çıkar.

(a) seçeneği:

\( \abs{-5} + \abs{-(-5)} + \abs{-(-(-5))} \)

\( = \abs{-5} + \abs{5} + \abs{-5} \)

\( = 5 + 5 + 5 = 15 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{5 - 3} + \abs{3 - 5} + \abs{-5 + 3} \)

\( = \abs{2} + \abs{-2} + \abs{-2} \)

\( = 2 + 2 + 2 = 6 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{(-2) \cdot 5} + \abs{(-2) \cdot (-5)} + \abs{2 \cdot (-5)} \)

\( = \abs{-10} + \abs{10} + \abs{-10} \)

\( = 10 + 10 + 10 = 30 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( \abs{c - b} = -(c - b) = b - c \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \abs{a - b} = a - b \)

İşlem sonucunu bulalım.

\( \abs{c - b} + \abs{a - b} = b - c + a - b \)

\( = a - c \) bulunur.

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( x \) için verilen değer aralığına göre; \( x - 4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar. \( x - 10 \) ifadesi ise negatiftir, dolayısıyla mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( 3\abs{x - 4} - 2\abs{x - 10} = 3(x - 4) - 2[-(x - 10)] \)

\( = 3x - 12 + 2x - 20 \)

\( = 5x - 32 \) bulunur.

Mutlak değer içindeki bir ifade mutlak değerden, değeri sıfır ya da pozitif ise olduğu gibi, negatif ise önünde negatif işareti ile çıkar.

(a) seçeneği:

\( \abs{3\sqrt{2} - 4} + \abs{2\sqrt{3} - 4} \)

\( \sqrt{2} \approx 1,41\ldots \)

\( 3\sqrt{2} - 4 \gt 0 \)

\( \sqrt{3} \approx 1,73\ldots \)

\( 2\sqrt{3} - 4 \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (3\sqrt{2} - 4) + [-(2\sqrt{3} - 4)] \)

\( = 3\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{3} + 4 \)

\( = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{\pi - 3} - \abs{2\pi - 7} + \abs{10 - 3\pi} \)

\( \pi = 3,1415\ldots \)

\( \pi - 3 \gt 0 \)

\( 2\pi - 7 \lt 0 \)

\( 10 - 3\pi \gt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (\pi - 3) - [-(2\pi - 7)] + (10 - 3\pi) \)

\( = \pi - 3 + 2\pi - 7 + 10 - 3\pi \)

\( = 0 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{-5 + 2e} - \abs{8 - 3e} \)

\( e = 2,7182\ldots \) (Euler sayısı)

\( -5 + 2e \gt 0 \)

\( 8 - 3e \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (-5 + 2e) - [-(8 - 3e)] \)

\( = -5 + 2e + 8 - 3e \)

\( = 3 - e \)

Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının orijine uzaklığı \( \abs{x - 0} = \abs{x} \) ile ifade edilir.

\( x \) sayısının \( y \) sayısına olan uzaklığı, \( y \) sayısının \( x \) sayısına olan uzaklığına eşittir.

\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)

\( a \) sayısının orijine olan uzaklığı 9 birimdir.

\( \abs{a} = 9 \)

\( a \) sayısının \( b \) sayısına olan uzaklığı 13 birimdir.

\( \abs{a - b} = 13 \)

İstenen ifadenin sonucunu bulalım.

\( \abs{b - a} - \abs{-a} = \abs{a - b} - \abs{a} \)

\( = 13 - 9 = 4 \) bulunur.

Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre \( a \) sayısının -8 noktasına olan uzaklığı \( \abs{a - (-8)} = \abs{a + 8} \) ile, 5 noktasına olan uzaklığı \( \abs{a - 5} \) ile ifade edilir.

Verilen ifadeyi denklem şeklinde yazalım.

\( \abs{a + 8} = 3\abs{a - 5} \)

Soruyu mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak çözelim.

Bu tanıma göre, iki reel sayının farkının mutlak değeri bu iki sayının sayı doğrusunda aralarındaki uzaklığı verir.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \abs{x - (-2)} + \abs{x - 8} = 10 \)

Buna göre \( \abs{x - (-2)} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasına olan uzaklığını, \( \abs{x - 8} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( 8 \) noktasına olan uzaklığını verir.

Sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) ve \( 8 \) noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{8 - (-2)} = 10 \) olduğu için, bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamı 10 olan sayı sadece bu iki sayı arasında olabilir.

\( 8 \)'den büyük bir sayının \( -2 \) sayısına uzaklığı ve \( -2 \)'den küçük bir sayının \( 8 \) sayısına uzaklığı 10'dan büyük olacağı için, bu aralığın dışındaki bir sayı için bu toplam her zaman 10'dan büyük olacaktır.

Çözüm kümesi: \( -2 \le x \le 8 \)

Bu aralıkta \( x \)'in alabileceği \( 8 - (-2) + 1 = 11 \) tam sayı değer vardır.

Reel sayılar kümesinde tanımlı her ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( \abs{b - 4 + \sqrt{(b - 1)^2}} = \abs{b - 4 + \abs{b - 1}} \)

Negatif \( b \) sayısından 1 çıkardığımızda sonuç yine negatif olur, dolayısıyla bu ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( = \abs{b - 4 + [-(b - 1)]} \)

\( = \abs{b - 4 + (1 - b)} \)

\( = \abs{-3} = 3 \) bulunur.

İfadeyi düzenleyelim.

\( \sqrt{(x - z)^2} - \sqrt{(x + y - z)^2} + \sqrt{(3 - x)^2} \)

Bir ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( = \abs{x - z} - \abs{x + y - z} + \abs{3 - x} \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( x - z \) ifadesi negatiftir.

\( \abs{x - z} = -(x - z) = z - x \)

\( x + y - z \) ifadesi negatiftir.

\( \abs{x + y - z} = -(x + y - z) = z - x - y \)

\( 3 - x \) ifadesi pozitiftir.

\( \abs{3 - x} = 3 - x \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (z - x) - (z - x - y) + (3 - x) \)

\( = z - x - z + x + y + 3 - x \)

\( = -x + y + 3 \) bulunur.

Birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri sıfır ya da pozitiftir.

\( x - 3 \ge 0 \)

\( x \ge 3 \)

İkinci ifade mutlak değerden ters işaretli çıktığına göre değeri sıfır ya da negatiftir.

Mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit olduğunda \( \abs{a - b} = a - b = b - a \) olacağı için burada küçük değil küçük eşit sembolü kullanmalıyız.

\( 4x - 72 \le 0 \)

\( x \le 18 \)

Bulduğumuz aralıkların kesişimi denklem sisteminin çözüm kümesini verir.

\( 3 \le x \le 18 \)

\( x \)'in bu aralıkta alabileceği \( 18 - 3 + 1 = 16 \) farklı tam sayı değeri vardır.

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

(a) seçeneği:

\( 2\abs{a - c} - \abs{b - a} - \abs{b - c} \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - c} = -(a - c) = c - a \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{b - a} = b - a \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{b - c} = -(b - c) = c - b \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = 2(c - a) - (b - a) - (c - b) \)

\( = 2c - 2a - b + a - c + b \)

\( = -a + c \)

(b) seçeneği:

\( \abs{a - 6} + \abs{b + a} - 3\abs{a - b - 2} \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - 6} = -(a - 6) = 6 - a \)

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{b + a} = -(b + a) = -b - a \)

\( a \lt b \) olduğu için \( a - b \) negatiftir, bu değerden pozitif bir sayı çıkardığımızda sonuç yine negatif olur.

\( \abs{a - b - 2} = -(a - b - 2) = -a + b + 2 \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (6 - a) + (-b - a) - 3(-a + b + 2) \)

\( = 6 - a - b - a + 3a - 3b - 6 \)

\( = a - 4b \)

(c) seçeneği:

\( \abs{c - 2b} - \abs{-c + a} + \abs{a - 2c} \)

Pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{c - 2b} = c - 2b \)

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{-c + a} = -(-c + a) = c - a \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - 2c} = -(a - 2c) = 2c - a \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (c - 2b) - (c - a) + (2c - a) \)

\( = c - 2b - c + a + 2c - a \)

\( = -2b + 2c \)

\( a \) en küçük değerini mutlak değer ifadesi en küçük değerini aldığında alır.

Bir mutlak değer ifadesinin alabileceği en küçük değer sıfırdır.

\( \abs{9b - 45} = 0 \)

\( 9b - 45 \) ifadesi sıfır yapan \( b \) değerini bulalım.

\( 9b - 45 = 0 \)

\( b = 5 \)

\( b = 5 \) için \( a \) değerini bulalım.

\( a = 0 - 41 = -41 \)

\( a \)'nın en küçük değeri için \( ab \) çarpımını bulalım.

\( ab = 5 \cdot (-41) = -205 \) bulunur.

Bir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse sayı negatiftir.

\( x \lt \abs{x} \Longrightarrow x \lt 0 \)

Bir sayı mutlak değerinden büyük ya da ona eşitse sayı sıfır ya da pozitiftir.

\( \abs{y} \le y \Longrightarrow y \ge 0 \)

Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.

\( \sqrt[3]{(-2y)^3} - \sqrt{(x - y)^2} \)

Köklü ifadeleri kök dışına çıkaralım.

Birinci ifade tek dereceli kök içinden olduğu gibi, ikinci ifade çift dereceli kök içinden mutlak değer içinde çıkar.

\( = -2y - \abs{x - y} \)

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( = -2y - [-(x - y)] \)

\( = -2y + x - y \)

\( = x - 3y \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif değer alabilir.

(a) seçeneği:

\( \abs{2x - 8} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.

\( \abs{2x - 8} + 5 \ge 5 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x + 7} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.

\( -\abs{x + 7} \le 0 \)

Eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.

\( 3 - \abs{x + 7} \le 3 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{4 - 5x} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.

\( 3\abs{4 - 5x} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarından 10 çıkaralım.

\( 3\abs{4 - 5x} - 10 \ge -10 \)

Verilen eşitsizliğe göre \( x, y, z \) arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( z \lt y \lt x \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{x + y} = -(x + y) \)

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{z - y} = -(z - y) = y - z \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{x - z} = x - z \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( \abs{x + y} + \abs{z - y} - \abs{x - z} \)

\( = -(x + y) + (y - z) - (x - z) \)

\( = -x - y + y - z - x + z \)

\( = -2x \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesinin alabileceği en küçük değer sıfırdır.

\( \abs{3x - 7y - 2z} = 0 \)

\( 3x - 7y - 2z = 0 \)

\( 3x = 7y + 2z \)

Bulduğumuz değeri verilen ifadede yerine yazalım.

\( \dfrac{14x - 28y - 8z}{15x + 42y + 12z} \)

\( = \dfrac{14x - 4(7y + 2z)}{15x + 6(7y + 2z)} \)

\( = \dfrac{14x - 4 \cdot 3x}{15x + 6 \cdot 3x} \)

\( = \dfrac{14x - 12x}{15x + 18x} \)

\( = \dfrac{2x}{33x} = \dfrac{2}{33} \) bulunur.

Bir üçgende daha büyük (küçük) açı daha uzun (kısa) kenarı görür.

Verilen üçgenin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri buna göre inceleyelim.

\( m(\hat{B}) = 180 - 45 - 38 = 97° \)

Üçgenin iç açıları arasındaki sıralama aşağıdaki gibidir.

\( m(\hat{C}) \lt m(\hat{A}) \lt m(\hat{B}) \)

Buna göre, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

Mutlak değer ifadelerinin işaretlerini buna göre düzenleyelim.

\( \abs{b - a} + \abs{c + a} - \abs{c - b} \)

\( = (b - a) + (c + a) - [-(c - b)] \)

\( = (b - a) + (c + a) + (c - b) \)

\( = 2c \) bulunur.

Taban ve üs birer pozitif tam sayı olmak üzere, 64 sayısını 4 farklı şekilde yazabiliriz.

\( 64 = 2^6 = 4^3 = 8^2 = 64^1 \)

Her bir durum için \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.

Durum 1:

\( 64 = 2^6 \)

\( \abs{x - 1} = 2 \Longrightarrow x \in \{-1, 3\} \)

\( \abs{y + 2} = 6 \Longrightarrow y \in \{-8, 4\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -8 \cdot 3 = -24 \) olur.

Durum 2:

\( 64 = 4^3 \)

\( \abs{x - 1} = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 5\} \)

\( \abs{y + 2} = 3 \Longrightarrow y \in \{-5, 1\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -5 \cdot 5 = -25 \) olur.

Durum 3:

\( 64 = 8^2 \)

\( \abs{x - 1} = 8 \Longrightarrow x \in \{-7, 9\} \)

\( \abs{y + 2} = 2 \Longrightarrow y \in \{-4, 0\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -4 \cdot 9 = -36 \) olur.

Durum 4:

\( 64 = 64^1 \)

\( \abs{x - 1} = 64 \Longrightarrow x \in \{-63, 65\} \)

\( \abs{y + 2} = 1 \Longrightarrow y \in \{-3, -1\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -3 \cdot 65 = -195 \) olur.

Buna göre \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -195 \) olur.