Mutlak Değer Tanımı
Mutlak değeri üç farklı şekilde tanımlayabiliriz. Mutlak değerin uzaklık tanımı karmaşık sayılara da uygulanabilir olup, diğer iki tanımı sadece reel sayılar için geçerlidir.
"Negatif Olmayan" Büyüklük Tanımı
Bu tanıma göre, negatif reel sayıların mutlak değeri sayının işaretinden bağımsız büyüklüğü, sıfır ve pozitif reel sayılar için de kendisidir. Bunu bir parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( \abs{4} = \abs{-4} = 4 \)
\( \abs{0} = 0 \)
Uzaklık Tanımı
Bu tanıma göre, bir reel sayının mutlak değeri o sayının sayı doğrusunda sıfır noktasına (orijine) uzaklığına eşittir ve sayının orijine göre hangi tarafta olduğundan bağımsız olarak her zaman pozitif bir değer alır.
İki reel sayının farkının mutlak değeri ise, o iki sayının sayı doğrusunda aralarındaki uzaklığı verir. İki sayının farkı sayıların çıkarma işlemindeki sırasına göre farklılık gösterse de, aralarındaki uzaklık ve farklarının mutlak değeri her zaman birbirine eşittir.
\( 5 - 1 \ne 1 - 5 \)
\( \abs{5 - 1} = \abs{4} = 4 \)
\( \abs{1 - 5} = \abs{-4} = 4 \)
Bir karmaşık sayının mutlak değeri o sayının karmaşık düzlemde orijine uzaklığına eşittir ve her zaman pozitif bir değer alır.
Karekök Tanımı
Mutlak değerin bir diğer tanımı da, tam kare bir ifadenin karekök değerine eşit olmasıdır. Pozitif ve negatif reel sayıların karesi pozitiftir, pozitif sayıların karekökü de pozitiftir. Dolayısıyla, hem pozitif hem de negatif sayıların karesinin karekökü sayılardan pozitif olan olmaktadır, bu da sayının mutlak değerine karşılık gelmektedir.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
\( \sqrt{4^2} = \abs{4} = 4 \)
\( \sqrt{(-4)^2} = \abs{-4} = 4 \)