Mutlak değeri üç farklı şekilde tanımlayabiliriz. Mutlak değerin uzaklık tanımı karmaşık sayılara da uygulanabilir olup, diğer iki tanımı sadece reel sayılar için geçerlidir.
Bu tanıma göre, negatif reel sayıların mutlak değeri sayının işaretinden bağımsız büyüklüğü, sıfır ve pozitif reel sayılar için de kendisidir. Bunu bir parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \abs{-5} + \abs{-(-5)} + \abs{-(-(-5))} \)
(b) \( \abs{5 - 3} + \abs{3 - 5} + \abs{-5 + 3} \)
(c) \( \abs{(-2) \cdot 5} + \abs{(-2) \cdot (-5)} + \abs{2 \cdot (-5)} \)
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki bir ifadenin değeri sıfır ya da pozitif ise ifade mutlak değerden olduğu gibi, negatif ise ters işaretli (pozitif olarak) çıkar.
(a) seçeneği:
\( \abs{-5} + \abs{-(-5)} + \abs{-(-(-5))} \)
\( = \abs{-5} + \abs{5} + \abs{-5} \)
\( = 5 + 5 + 5 = 15 \)
(b) seçeneği:
\( \abs{5 - 3} + \abs{3 - 5} + \abs{-5 + 3} \)
\( = \abs{2} + \abs{-2} + \abs{-2} \)
\( = 2 + 2 + 2 = 6 \)
(c) seçeneği:
\( \abs{(-2) \cdot 5} + \abs{(-2) \cdot (-5)} + \abs{2 \cdot (-5)} \)
\( = \abs{-10} + \abs{10} + \abs{-10} \)
\( = 10 + 10 + 10 = 30 \)
SORU 2:
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \abs{3\sqrt{2} - 4} + \abs{2\sqrt{3} - 4} \)
(b) \( \abs{\pi - 3} - \abs{2\pi - 7} + \abs{10 - 3\pi} \)
(c) \( \abs{-5 + 2e} - \abs{8 - 3e} \)
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki bir ifadenin değeri sıfır ya da pozitif ise ifade mutlak değerden olduğu gibi, negatif ise ters işaretli (pozitif olarak) çıkar.
(a) seçeneği:
\( \abs{3\sqrt{2} - 4} + \abs{2\sqrt{3} - 4} \)
\( \sqrt{2} \approx 1,41... \)
\( \sqrt{3} \approx 1,73... \)
\( = (3\sqrt{2} - 4) + [-(2\sqrt{3} - 4)] \)
\( = 3\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{3} + 4 \)
\( = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \)
(b) seçeneği:
\( \abs{\pi - 3} - \abs{2\pi - 7} + \abs{10 - 3\pi} \)
\( \pi = 3,1415... \)
\( = (\pi - 3) - [-(2\pi - 7)] + (10 - 3\pi) \)
\( = \pi - 3 + 2\pi - 7 + 10 - 3\pi \)
\( = 0 \)
(c) seçeneği:
\( \abs{-5 + 2e} - \abs{8 - 3e} \)
\( e = 2,7182... \) (Euler sayısı)
\( = (-5 + 2e) - [-(8 - 3e)] \)
\( = -5 + 2e + 8 - 3e \)
\( = 3 - e \)
SORU 3:
\( c \lt b \lt a \) olduğuna göre,
\( \abs{c - b} + \abs{a - b} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.
Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \abs{c - b} = -(c - b) = b - c \)
Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \abs{a - b} = a - b \)
Buna göre işlem sonucu aşağıdaki gibi bulunur.
\( \abs{c - b} + \abs{a - b} \)
\( = b - c + a - b = a - c \)
SORU 4:
\( 4 \lt x \lt 10 \) olduğuna göre,
\( 3\abs{x - 4} - 2\abs{x - 10} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.
\( x \) için verilen değer aralığına göre \( x - 4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( x - 10 \) ifadesi negatiftir, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( 3\abs{x - 4} - 2\abs{x - 10} \)
\( = 3(x - 4) - 2[-(x - 10)] \)
\( = 3x - 12 + 2x - 20 \)
\( = 5x - 32 \) bulunur.
Bu tanıma göre, bir reel sayının mutlak değeri o sayının sayı doğrusunda sıfır noktasına (orijine) uzaklığına eşittir ve sayının orijine göre hangi tarafta olduğundan bağımsız olarak her zaman pozitiftir.
İki reel sayının farkının mutlak değeri ise bu iki sayının sayı doğrusunda aralarındaki uzaklığı verir. İki sayının farkı sayıların çıkarma işlemindeki sırasına göre farklılık gösterse de, aralarındaki uzaklık ve farklarının mutlak değeri işlem sırasından bağımsız olarak her zaman pozitiftir.
Bir karmaşık sayının mutlak değeri, o sayının iki boyutlu karmaşık düzlemde orijine olan uzaklığına eşittir. Karmaşık sayılarda mutlak değer ifadesi yerine modül ifadesi de kullanılmaktadır. Bu başlığı detaylı olarak karmaşık sayıların grafiksel gösterimi başlığında inceleyeceğiz.
SORU 5:
\( a \) sayısının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına uzaklığı 9 birim, \( b \) sayısına uzaklığı 13 birim olduğuna göre, \( \abs{b - a} - \abs{-a} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının orijine uzaklığı \( \abs{x - 0} = \abs{x} \) ile ifade edilir.
\( x \) sayısının \( y \) sayısına olan uzaklığı, \( y \) sayısının \( x \) sayısına olan uzaklığına eşittir.
\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)
\( \abs{x - 0} = \abs{0 - x} \)
\( \abs{x} = \abs{-x} \)
\( a \) sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{a - 0} = \abs{a} = 9 \)
\( a \) sayısının \( b \) sayısına olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{a - b} = 13 \)
İstenen ifadenin sonucunu bulalım.
\( \abs{b - a} - \abs{-a} = \abs{a - b} - \abs{a} \)
\( = 13 - 9 = 4 \) bulunur.
SORU 6:
"\( a \) sayısının sayı doğrusu üzerinde -8 noktasına olan uzaklığı, 5 noktasına olan uzaklığının 3 katıdır." eşitliğinin cebirsel gösterimini yazınız.
Çözümü Göster
Sayı doğrusu üzerinde bir \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre \( a \) sayısının -8 noktasına olan uzaklığı \( \abs{a - (-8)} = \abs{a + 8} \) ile ifade edilir.
\( a \) sayısının 5 noktasına olan uzaklığı ise \( \abs{a - 5} \) ile ifade edilir.
Sorudaki eşitliğin cebirsel gösterimini yazalım.
\( \abs{a + 8} = 3\abs{a - 5} \)
SORU 7:
\( \abs{x + 2} + \abs{x - 8} = 10 \)
eşitliğini sağlayan kaç tam sayı \( x \) değeri vardır?
Çözümü Göster
Soruyu mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak çözelim.
Bu tanıma göre, iki reel sayının farkının mutlak değeri bu iki sayının sayı doğrusunda aralarındaki uzaklığı verir.
Verilen eşitliği düzenleyelim.
\( \abs{x - (-2)} + \abs{x - 8} = 10 \)
Buna göre \( \abs{x - (-2)} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasına olan uzaklığını verir.
Benzer şekilde \( \abs{x - 8} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( 8 \) noktasına olan uzaklığını verir.
Sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) ve \( 8 \) noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{8 - (-2)} = 10 \) olduğu için, bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamı 10 olan sayı sadece bu iki sayının arasında olabilir. Bu aralığın dışında bir sayı için bu toplam her zaman 10'dan büyük olacaktır.
\( -2 \le x \le 8 \)
Bu aralıkta \( x \)'in alabileceği \( 8 - (-2) + 1 = 11 \) tam sayı değer vardır.
Mutlak değerin bir diğer tanımı da, bir sayının ya da değişkenin karesinin karekök değerine eşit olmasıdır. Pozitif ve negatif reel sayıların karesi pozitiftir, pozitif sayıların karekökü de pozitiftir. Dolayısıyla, hem pozitif hem de negatif sayıların karesinin karekökü sayılardan pozitif olana eşit olur, bu da sayının mutlak değerine karşılık gelir.
SORU 8:
\( b \lt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{b - 4 + \sqrt{(b - 1)^2}} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Reel sayılar kümesinde tanımlı her ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.
\( \abs{b - 4 + \sqrt{(b - 1)^2}} = \abs{b - 4 + \abs{b - 1}} \)
Negatif \( b \) sayısından 1 çıkardığımızda sonuç yine negatif olur, dolayısıyla bu ifade mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.
\( = \abs{b - 4 + [-(b - 1)]} \)
\( = \abs{b - 4 - (b - 1)} \)
\( = \abs{b - 4 - b + 1} \)
\( = \abs{-3} = 3 \) bulunur.
SORU 9:
\( x \lt y \lt z \lt 0 \) olduğuna göre,
\( \sqrt{x^2 - 2xz + z^2} - \sqrt{(x + y - z)^2} + \sqrt{9 - 6x + x^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \sqrt{(x - z)^2} - \sqrt{(x + y - z)^2} + \sqrt{(3 - x)^2} \)
Bir ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.
\( = \abs{x - z} - \abs{x + y - z} + \abs{3 - x} \)
Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \abs{x - z} = -(x - z) = z - x \)
\( \abs{x + y - z} = -(x + y - z) = z - x - y \)
\( \abs{3 - x} = 3 - x \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( = (z - x) - (z - x - y) + (3 - x) \)
\( = z - x - z + x + y + 3 - x \)
\( = -x + y + 3 \) bulunur.
SORU 10:
\( x \lt \abs{x} \) ve \( \abs{y} \le y \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{-8y^3} - \sqrt{x^2 - 2xy + y^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Bir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse sayı negatiftir.
\( x \lt \abs{x} \Longrightarrow x \lt 0 \)
Bir sayı mutlak değerinden büyük ya da ona eşitse sayı sıfır ya da pozitiftir.
\( \abs{y} \le y \Longrightarrow y \ge 0 \)
Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[3]{(-2y)^3} - \sqrt{(x - y)^2} \)
Köklü ifadeleri kök dışına çıkaralım.
Birinci ifade tek dereceli kök içinden olduğu gibi, ikinci ifade çift dereceli kök içinden mutlak değer içinde çıkar.
\( = -2y - \abs{x - y} \)
Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \abs{x - y} = -(x - y) = y - x \)
\( = -2y - (y - x) \)
\( = -2y - y + x \)
\( = x - 3y \) bulunur.
SORU 11:
\( a \lt b \lt 0 \lt c \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin sonucu kaçtır?
(a) \( 2\abs{a - c} - \abs{b - a} - \abs{b - c} \)
(b) \( \abs{a - 6} + \abs{b + a} - 3\abs{a - b - 2} \)
(c) \( \abs{c - 2b} - \abs{-c + a} + \abs{a - 2c} \)
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.
Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
(a) seçeneği:
\( 2\abs{a - c} - \abs{b - a} - \abs{b - c} \)
\( \abs{a - c} = -(a - c) = c - a \)
\( \abs{b - a} = b - a \)
\( \abs{b - c} = -(b - c) = c - b \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( 2(c - a) - (b - a) - (c - b) \)
\( = 2c - 2a - b + a - c + b \)
\( = -a + c \)
(b) seçeneği:
\( \abs{a - 6} + \abs{b + a} - 3\abs{a - b - 2} \)
\( \abs{a - 6} = -(a - 6) = 6 - a \)
Negatif sayıların toplamı negatiftir.
\( \abs{b + a} = -(b + a) = -b - a \)
\( a \lt b \) olduğu için \( a - b \) negatiftir, bu değerden pozitif bir sayı çıkardığımızda sonuç yine negatif olur.
\( \abs{a - b - 2} = -(a - b - 2) = -a + b + 2 \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( (6 - a) + (-b - a) - 3(-a + b + 2) \)
\( = 6 - a - b - a + 3a - 3b - 6 \)
\( = a - 4b \)
(c) seçeneği:
\( \abs{c - 2b} - \abs{-c + a} + \abs{a - 2c} \)
Pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.
\( \abs{c - 2b} = c - 2b \)
Negatif sayıların toplamı negatiftir.
\( \abs{-c + a} = -(-c + a) = c - a \)
Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.
\( \abs{a - 2c} = -(a - 2c) = 2c - a \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( (c - 2b) - (c - a) + (2c - a) \)
\( = c - 2b - c + a + 2c - a \)
\( = -2b + 2c \)
SORU 12:
\( x, y, z \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{y} \lt \dfrac{1}{z} \) ise,
\( \abs{x + y} + \abs{z - y} - \abs{x - z} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Verilen eşitsizliğe göre \( x, y, z \) arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.
\( z \lt y \lt x \lt 0 \)
Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.
Negatif sayıların toplamı negatiftir.
\( \abs{x + y} = -(x + y) \)
Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \abs{z - y} = -(z - y) = y - z \)
Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur ve ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \abs{x - z} = x - z \)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( \abs{x + y} + \abs{z - y} - \abs{x - z} \)
\( = -(x + y) + (y - z) - (x - z) \)
\( = -x - y + y - z - x + z \)
\( = -2x \) bulunur.
SORU 13:
\( \abs{x - 3} = x - 3 \) ve \( \abs{4x - 72} = 72 - 4x \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre kaç farklı \( x \) tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
Birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.
\( \abs{x - 3} = x - 3 \)
\( x - 3 \ge 0 \)
\( x \ge 3 \)
İkinci ifade mutlak değerden negatif işaretli çıktığına göre değeri negatif ya da sıfırdır.
Mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit olduğunda \( \abs{a - b} = a - b = b - a \) olacağı için burada küçük değil küçük eşit sembolü kullanmalıyız.
\( 4x - 72 \le 0 \)
\( x \le 18 \)
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için bulduğumuz aralıkların kesişim kümesini alalım.
\( 3 \le x \le 18 \)
\( x \)'in bu aralıkta alabileceği \( 18 - 3 + 1 = 16 \) farklı tam sayı değeri vardır.
SORU 14:
\( x \) ve \( y \) birer tam sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 1}^{\abs{y + 2}} = 64 \)
olduğuna göre \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 64 \) sayısını taban ve üs birer pozitif tam sayı olmak üzere 4 farklı şekilde yazabiliriz.
\( 64 = 2^6 = 4^3 = 8^2 = 64^1 \)
Her bir durum için \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
Durum 1: \( 64 = 2^6 \)
\( \abs{x - 1} = 2 \Longrightarrow x \in \{-1, 3\} \)
\( \abs{y + 2} = 6 \Longrightarrow y \in \{-8, 4\} \)
Bu durum için \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri \( -8 \cdot 3 = -24 \) olur.
Durum 2: \( 64 = 4^3 \)
\( \abs{x - 1} = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 5\} \)
\( \abs{y + 2} = 3 \Longrightarrow y \in \{-5, 1\} \)
Bu durum için \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri \( -5 \cdot 5 = -25 \) olur.
Durum 3: \( 64 = 8^2 \)
\( \abs{x - 1} = 8 \Longrightarrow x \in \{-7, 9\} \)
\( \abs{y + 2} = 2 \Longrightarrow y \in \{-4, 0\} \)
Bu durum için \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri \( -4 \cdot 9 = -36 \) olur.
Durum 4: \( 64 = 64^1 \)
\( \abs{x - 1} = 64 \Longrightarrow x \in \{-63, 65\} \)
\( \abs{y + 2} = 1 \Longrightarrow y \in \{-3, -1\} \)
Bu durum için \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri \( -3 \cdot 65 = -195 \) olur.
Buna göre \( x \cdot y \) ifadesinin en küçük değeri \( -195 \) olur.
SORU 15:
ABC bir üçgen, \( |BC| = a \) br, \( |AC| = b \) br, \( |AB| = c \) br olmak üzere,
\( \abs{b - a} + \abs{c + a} - \abs{c - b} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Bir üçgende en büyük açı en uzun kenara bakar. Verilen üçgenin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri buna göre inceleyelim.
\( \hat{B} = 180 - 45 - 38 = 97° \)
Buna göre üçgenin iç açıları arasındaki sıralama aşağıdaki gibidir.
\( \hat{C} \lt \hat{A} \lt \hat{B} \)
Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralama da aşağıdaki gibi olur.
\( c \lt a \lt b \)
Mutlak değerli ifadelerin işaretlerini buna göre düzenleyelim.
\( \abs{b - a} + \abs{c + a} - \abs{c - b} \)
\( = (b - a) + (c + a) + (c - b) \)
\( = 2c \) bulunur.
SORU 16:
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Aşağıdaki ifadelerin alabilecekleri değer aralıklarını bulunuz.
(a) \( \abs{2x - 8} + 5 \)
(b) \( 3 - \abs{x + 7} \)
(c) \( 3\abs{4 - 5x} - 10 \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif değer alabilir.
\( \abs{2x - 8} \ge 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( \abs{2x - 8} + 5 \ge 5 \)
(b) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif değer alabilir.
\( \abs{x + 7} \ge 0 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
\( -\abs{x + 7} \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.
\( 3 - \abs{x + 7} \le 3 \)
(c) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif değer alabilir.
\( \abs{4 - 5x} \ge 0 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( 3\abs{4 - 5x} \ge 0 \)
Eşitsizliğin taraflarından 10 çıkaralım.
\( 3\abs{4 - 5x} - 10 \ge -10 \)
