Kofaktör açılımı herhangi bir boyuttaki kare matrisin determinantını hesaplayabileceğimiz bir formül sunar. Bu formüle Laplace açılımı da denir.
Bu formüle göre önce matrisin herhangi bir satırı seçilir. Matrisin determinantı o satırdaki elemanların ve kofaktörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. Bu formül matrisin hangi satırı seçilirse seçilsin aynı sonucu verir, ancak daha çok sıfır içeren bir satırın seçilmesi işlem kolaylığı sağlayacaktır.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir matris olmak üzere,
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)
\( i \): Hesaplama için seçilen satır numarası
\( a_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki eleman
\( C_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki elemanın kofaktörü
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \) matrisinin determinantını kofaktör açılımı ile bulalım.
\( A \) matrisinin kofaktör matrisini önceki bölümde aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( C = \begin{bmatrix} 8 & 26 & 2 \\ -20 & 7 & 19 \\ 12 & -9 & 3 \end{bmatrix} \)
Kofaktör açılımı için 2. satırı seçelim.
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{2j}C_{2j} \)
\( = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} \)
\( = -1 \cdot (-20) + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 19 \)
\( = 20 + 0 + 76 = 96 \)
Kofaktör açılımı için 3. satırı seçmiş olsaydık da aynı sonucu elde edeceğimizi gösterelim.
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{3j}C_{3j} \)
\( = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} \)
\( = 5 \cdot 12 + (-2) \cdot (-9) + 6 \cdot 3 \)
\( = 60 + 18 + 18 = 96 \)
Bu hesaplama bir satır yerine bir sütun üzerinden yapılırsa da aynı sonuç elde edilir.
\( det(A) = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)
\( j \): Hesaplama için seçilen sütun numarası
Yukarıdaki örnekteki \( A \) matrisinin determinantını kofaktör açılımı ile bulalım.
Kofaktör açılımı için 3. sütunu seçelim.
\( det(A) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i3}C_{i3} \)
\( = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} \)
\( = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 19 + 6 \cdot 3 \)
\( = 96 \)
\( 2 \times 2 \) bir matrise kofaktör açılım formülünü uygularsak önceki bölümde paylaştığımız formülü elde ederiz.
\( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)
Kofaktör açılım formülünü \( A \) matrisine 1. satır üzerinden uygulayalım.
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{1j}C_{1j} \)
\( = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} \)
\( = aC_{11} + bC_{12} \)
Kofaktör formülünü hatırlayalım.
\( C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \)
\( = a \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} + b \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} \)
\( = aM_{11} - bM_{12} \)
Bir elemanın minörü o elemanın bulunduğu satır ve sütun matristen silindiğinde geriye kalan matrisin determinantına eşittir.
\( = a \cdot \left|d\right| - b \cdot \left|c\right| \)
\( 1 \times 1 \) bir matrisin determinantı matrisin tek elemanına eşittir.
\( = ad - bc \)
\( 3 \times 3 \) bir matrise kofaktör açılım formülünü uygularsak önceki bölümde paylaştığımız formülü elde ederiz.
\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \)
Kofaktör açılım formülünü \( A \) matrisine 1. satır üzerinden uygulayalım.
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{1j}C_{1j} \)
\( = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \)
Kofaktör formülünü hatırlayalım.
\( C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \)
\( = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} \) \( + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} \) \( + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot M_{13} \)
\( = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12}+ a_{13} \cdot M_{13} \)
Bir elemanın minörü o elemanın bulunduğu satır ve sütun matristen silindiğinde geriye kalan matrisin determinantına eşittir.
\( = a_{11} \cdot \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12} \cdot \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} \cdot \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| \)
\( 2 \times 2 \) matrisin determinant formülünü yerine koyalım.
\( = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) \) \( - a_{12}(a_{21}a_{33} \) \( - a_{31}a_{23}) \) \( + a_{13}(a_{21}a_{32} \) \( - a_{31}a_{22}) \)
\( = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23} \) \( - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{31}a_{23} \) \( + a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - a_{13}a_{31}a_{22} \)
Terimleri düzenlediğimizde \( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü elde ederiz.
\( = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} \) \( + a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - (a_{31}a_{22}a_{13} \) \( + a_{32}a_{23}a_{11} \) \( + a_{33}a_{21}a_{12}) \)
Kofaktör açılımının gerektirdiği işlem sayısı matrisin boyutu arttıkça oldukça hızlı büyür. Örneğin \( n \times n \) bir matrisin determinantı \( n \) tane \( (n - 1) \times (n - 1) \) boyutunda matrisin determinantını bulmamızı gerektirir ve toplam çarpma işlemi sayısı \( f(n) = nf(n - 1) + 1 \) fonksiyonu ile belirlenir (\( f(2) = 2 \)). Buna göre bu yöntemle belirli bir boyuttaki matrisin determinantını bulmak için hesaplamamız gereken determinant sayısı ve yapmamız gereken çarpma işlemi sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Boyut | Determinant Sayısı | Çarpma Sayısı |
|---|---|---|
| \( 2 \times 2 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 3 \times 3 \) | \( 3 \cdot 1 = 3 \) | \( 3(2 + 1) = 9 \) |
| \( 4 \times 4 \) | \( 4 \cdot 3 = 12 \) | \( 4(9 + 1) = 40 \) |
| \( 5 \times 5 \) | \( 5 \cdot 12 = 60 \) | \( 5(40 + 1) = 205 \) |
| \( 6 \times 6 \) | \( 6 \cdot 60 = 360 \) | \( 6(205 + 1) = 1236 \) |
Bu tablodaki verilere dayanarak, özellikle \( 4 \times 4 \) ve üzeri boyuttaki matrislerin determinantını hesaplamak için bir bilgisayar programına ihtiyaç duyulacağı görülebilir.
Önümüzdeki bölümde daha büyük boyutlardaki matrislerin determinantını temel satır işlemlerini kullanarak nasıl daha hızlı bir şekilde hesaplayabileceğimizi göreceğiz.