Satır İşlemleri ile Ters Matris Bulma
Konu tekrarı için: Temel Satır İşlemleri | Gauss Eliminasyon Yöntemi | Gauss - Jordan Eliminasyon Yöntemi
Tersi tanımlı olan kare matrisler aynı boyuttaki birim matrisle satırca denktir. Bir diğer ifadeyle, birim matrisle satırca denk olan matrislerin tersi vardır.
\( A \) tersi alınabilir bir matris ise,
\( A \sim I \sim A^{-1} \)
Tersi tanımlı bir \( A \) matrisini birim matrise dönüştürmek için uygulanacak temel satır işlemleri aynı sırada birim matrise uygulandığında \( A^{-1} \) matrisi elde edilir. Buna göre bir \( A \) matrisinin tersi, temel satır işlemleri ile aşağıdaki adımlar takip edilerek bulunabilir.
- \( A \) matrisi ve aynı boyuttaki birim matris yan yana yazılarak \( [\ A\ |\ I\ ] \) formunda bir artırılmış matris elde edilir.
- Artırılmış matrisin sol tarafı sırasıyla satır eşelon formu ve indirgenmiş satır eşelon formuna getirilir. Uygulanan satır işlemleri matrisin sadece sol tarafına değil, tümüne uygulanır.
- İndirgenmiş satır eşelon formu birim matrise eşitse \( A \) matrisinin tersi vardır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir, dolayısıyla tüm matris \( [\ I\ |\ A^{-1}\ ] \) formuna gelmiş olur.
- İndirgenmiş satır eşelon formu birim matrise eşit değilse (bir sıfır satırı elde ediliyorsa) \( A \) matrisinin tersi yoktur.
Şimdi bu yöntemin uygulamasını bir matris üzerinde gösterelim. Bu bölümdeki soruların çözümü ile ilgili olarak iki noktayı vurgulayalım.
- İzlenen yöntem Gauss eliminasyon ve Gauss - Jordan eliminasyon yöntemlerine hakim olmayı gerektirdiği için, bu yöntemlerle ilgili bazı açıklama ve adımlar (pivot seçimi vb) en özet şekilde verilmiştir.
- İki yöntem matrislere arka arkaya uygulanmış olsa da, bazı adımlar birleştirilerek işlemi daha az adımda tamamlamak da mümkündür (bir pivotun altındaki ve üstündeki elemanları aynı adımda sıfıra eşitlemek gibi).
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 8 & 1 \\ -1 & 0 & -3 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulalım.
|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = -2 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{5}{2}R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-2} & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -4 & \frac{5}{2} & 1 \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( -\dfrac{1}{2}R_2 \rightarrow R_2 \) \( -2R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 8 & -5 & -2 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 5 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 8 & -5 & -2 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -5R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & -24 & 15 & 5 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 5 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 8 & -5 & -2 \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -24 & 15 & 5 \\ 5 & -3 & -1 \\ 8 & -5 & -2 \end{bmatrix} \)
Uyguladığımız yöntemi özetlemek gerekirse, bir \( A \) matrisinin tersi varsa \( A \) matrisini indirgenmiş satır eşelon formuna dönüştürmek için uygulanması gereken satır işlemleri aynı sırada birim matrise uygulandığında \( A^{-1} \) matrisi elde edilir.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 7 & -4 \\ -1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 7 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & -3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & -3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & -3 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 3R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & 9 & 5 & -2 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 9 & 5 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 5 & 2 & 11 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} -2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 11 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = -2 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( \dfrac{5}{2}R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{-2} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{27}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = -\frac{1}{2} \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 9R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{-2} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-\frac{1}{2}} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 & 1 \end{array} \right] \) |
3. satırın tüm elemanları sıfır olduğu için artırılmış matrisin sol tarafında birim matris elde edilemez.
Buna göre \( A \) matrisinin tersi tanımlı değildir.
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 5 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{21} = 1 \) elemanını işlem kolaylığı açısından pivot olarak seçelim ve birinci ve ikinci satırlar arasında yer değiştirme satır işlemi yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Seçtiğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -5R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -2 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & -4 & -2 & 0 & -3 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = -6 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{2}{3}R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \color{red}{-6} & -2 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1 \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( -\dfrac{1}{6}R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{3}{2}R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{5}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -\dfrac{1}{3}R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 0 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccc|ccc} \color{red}{1} & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{array} \right] \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 5 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} -3 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & -1 & 5 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{41} = -1 \) elemanını işlem kolaylığı açısından pivot olarak seçelim ve birinci ve dördüncü satırlar arasında yer değiştirme satır işlemi yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{-1} & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & -1 & 5 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \) |
|
Seçtiğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -5R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -3R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{-1} & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -3 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -3 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = -1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 4R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{-1} & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \color{red}{-1} & 2 & -3 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & -10 & 0 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \) |
|
Üçüncü sütundaki \( a_{33} = 8 \) elemanını pivot olarak seçelim. Bu pivotla aynı sütunda ve altında bulunan elemanlar sıfıra eşittir. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{-1} & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \color{red}{-1} & 2 & -3 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & \color{red}{8} & -10 & 0 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( -R_1 \rightarrow R_1 \) \( -R_2 \rightarrow R_2 \) \( \dfrac{1}{8}R_3 \rightarrow R_3 \) \( -\dfrac{1}{2}R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & \color{red}{1} & -2 & 3 & 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{5}{4} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{44} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_4 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -3R_4 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( \dfrac{5}{4}R_4 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & 1 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & \color{red}{1} & -2 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{7}{2} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( 2R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & 1 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \\ 2 & -5 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 3R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 6 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = 2 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{3}{2}R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{2} & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & -\frac{5}{2} & -2 & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Üçüncü sütundaki \( a_{33} = -6 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{2}{3}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{2} & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{-6} & -\frac{5}{2} & -2 & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 2 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{1}{6}R_3 \rightarrow R_3 \) \( \dfrac{3}{4}R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & -1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{5}{4} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{44} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_4 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( \dfrac{1}{2}R_4 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{5}{12}R_4 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 2 & 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ 0 & \color{red}{1} & -1 & 0 & \frac{5}{8} & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{3}{16} & -\frac{7}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{5}{4} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & -1 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & \frac{7}{16} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{16} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{3}{16} & -\frac{7}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{5}{4} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{cccc|cccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & \frac{9}{16} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{16} \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & \frac{7}{16} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{16} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -\frac{3}{16} & -\frac{7}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{5}{4} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{9}{16} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{16} \\ \frac{7}{16} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{16} \\ -\frac{3}{16} & -\frac{7}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ \frac{5}{4} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 & -3 \\ -3 & 5 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ -5 & 9 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 5 & -2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 9 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -4 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 3R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 5R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( -R_1 + R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 6 & -8 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 8 & -15 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & 5 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = -1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-1} & -2 & 6 & -8 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -7 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & 5 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Üçüncü sütundaki \( a_{33} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -5R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( 4R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-1} & -2 & 6 & -8 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & 3 & -3 & -1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & -3 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Dördüncü sütundaki \( a_{44} = -8 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{7}{8}R_4 + R_5 \rightarrow R_5 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-1} & -2 & 6 & -8 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{-8} & 3 & -3 & -1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{7}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{7}{8} & 1 \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( -R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{1}{8}R_4 \rightarrow R_4 \) \( -\dfrac{8}{3}R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 2 & -6 & 8 & -3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -\frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{55} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 3R_5 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -8R_5 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( 2R_5 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( \dfrac{3}{8}R_5 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 1 & 0 & -2 & 7 & 3 & -7 & -8 \\ 0 & \color{red}{1} & 2 & -6 & 0 & 5 & -\frac{59}{3} & -8 & \frac{56}{3} & \frac{64}{3} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 2 & 0 & -1 & \frac{14}{3} & 3 & -\frac{14}{3} & -\frac{16}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{44} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_4 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( 6R_4 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -2R_4 + R_3 \rightarrow R_3 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 0 & 0 & -2 & 6 & 2 & -6 & -7 \\ 0 & \color{red}{1} & 2 & 0 & 0 & 5 & -\frac{41}{3} & -2 & \frac{38}{3} & \frac{46}{3} \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & -1 & \frac{8}{3} & 1 & -\frac{8}{3} & -\frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & -2 & 0 & 0 & 0 & -2 & 6 & 2 & -6 & -7 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & 7 & -19 & -4 & 18 & 22 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & -1 & \frac{8}{3} & 1 & -\frac{8}{3} & -\frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{array} \right] \) |
|
\( a_{22} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & -32 & -6 & 30 & 37 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & 7 & -19 & -4 & 18 & 22 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & -1 & \frac{8}{3} & 1 & -\frac{8}{3} & -\frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 12 & -32 & -6 & 30 & 37 \\ 7 & -19 & -4 & 18 & 22 \\ -1 & \frac{8}{3} & 1 & -\frac{8}{3} & -\frac{10}{3} \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & \frac{7}{3} & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{8}{3} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 7 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile (eğer tanımlı ise) tersini bulunuz.
Çözümü Göster|
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyerek matrisi \( [\ A\ |\ I\ ] \) formuna getirelim. Elde ettiğimiz matrisin sol tarafını önce satır eşelon, daha sonra indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 2 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 7 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Birinci sütundaki \( a_{11} = 2 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{1}{2}R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{2} & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 7 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
İkinci sütundaki \( a_{22} = 1 \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -3R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( -R_2 + R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{2} & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -26 & -5 & -2 & -6 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{15}{2} & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \) |
|
Üçüncü sütundaki \( a_{33} = -1 \) elemanını işlem kolaylığı açısından pivot olarak seçelim ve üçüncü ve beşinci satırlar arasında yer değiştirme satır işlemi yapalım. \( R_3 \leftrightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{2} & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{15}{2} & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -26 & -5 & -2 & -6 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \) |
|
Seçtiğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{15}{2}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( -26R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{2} & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{27}{2} & -\frac{13}{2} & 0 & 1 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -5 & -2 & 46 & 23 & 1 & 0 & -26 \end{array} \right] \) |
|
Dördüncü sütundaki \( a_{44} = \frac{7}{2} \) elemanını pivot olarak seçelim ve aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{10}{7}R_4 + R_5 \rightarrow R_5 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı satır eşelon formundadır. Şimdi matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirelim. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{2} & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{\frac{7}{2}} & \frac{3}{2} & -\frac{27}{2} & -\frac{13}{2} & 0 & 1 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{7} & \frac{187}{7} & \frac{96}{7} & 1 & \frac{10}{7} & -\frac{107}{7} \end{array} \right] \) |
|
1'den farklı olan pivotları çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \) \( -R_3 \rightarrow R_3 \) \( \dfrac{2}{7}R_4 \rightarrow R_4 \) \( 7R_5 \rightarrow R_5 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \frac{3}{7} & -\frac{27}{7} & -\frac{13}{7} & 0 & \frac{2}{7} & \frac{15}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 187 & 96 & 7 & 10 & -107 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{55} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{1}{2}R_5 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -R_5 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -\dfrac{3}{7}R_5 + R_4 \rightarrow R_4 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -93 & -48 & -\frac{7}{2} & -5 & \frac{107}{2} \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 2 & 0 & -185 & -95 & -7 & -10 & 107 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -84 & -43 & -3 & -4 & 48 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 187 & 96 & 7 & 10 & -107 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{44} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{1}{2}R_4 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -2R_4 + R_2 \rightarrow R_2 \) |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & -51 & -\frac{53}{2} & -2 & -3 & \frac{59}{2} \\ 0 & \color{red}{1} & 8 & 0 & 0 & -17 & -9 & -1 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -84 & -43 & -3 & -4 & 48 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 187 & 96 & 7 & 10 & -107 \end{array} \right] \) |
|
\( a_{33} = 1 \) elemanı ile aynı sütunda ve üstünde bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{3}{2}R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( -8R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) Elde ettiğimiz matrisin sol tarafı indirgenmiş satır eşelon formundadır. |
\( \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & -54 & -28 & -2 & -3 & 31 \\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & -33 & -17 & -1 & -2 & 19 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 & -84 & -43 & -3 & -4 & 48 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & 187 & 96 & 7 & 10 & -107 \end{array} \right] \) |
İndirgenmiş satır eşelon formundaki matris birim matrise eşit olduğu için \( A \) matrisinin tersi tanımlıdır ve artırılmış matrisin sağ tarafındaki matrise eşittir.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -54 & -28 & -2 & -3 & 31 \\ -33 & -17 & -1 & -2 & 19 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ -84 & -43 & -3 & -4 & 48 \\ 187 & 96 & 7 & 10 & -107 \end{bmatrix} \)