Ters Matris

Bir kare \( A \) matrisi ile çarpımı birim matris olan matrise \( A \) matrisinin ters matrisi denir. \( A \) matrisinin tersi \( A^{-1} \) şeklinde gösterilir.

Sadece kare matrislerin tersi alınabilir. \( m \times m \) boyutlarında bir matrisin tersi varsa bu matrisin de boyutları \( m \times m \) olur ve çarpımları \( I_m \) birim matrisini verir.

Çoğu matrisin tersi olsa da her matrisin tersi yoktur. Tersi olmayan matrislere tekil matris, tersi olan matrislere tekil olmayan matris de denir.

Bir matrisin ters matrisini bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki formül iledir. Bir matrisin determinantı bir reel sayı ve ek matrisi bir matris olduğu için aşağıdaki formül bir matris skaler çarpma işlemidir.

Yukarıdaki formül basit gibi gözükse de \( 4 \times 4 \) ve daha büyük matrislerin determinantını hesaplamak oldukça fazla işlem gerektirdiği için önümüzdeki bölümde göreceğimiz Gauss - Jordan eliminasyon yöntemi bir matrisin tersini bulmada çoğu zaman daha hızlı sonuç verir.

Determinantı sıfır olan matrislerin ters matrisi yoktur. Karşıt ters ifadeyle, ters matrisi olan matrislerin determinantı sıfırdan farklıdır.

\( m \times m \) boyutlarındaki bir \( A \) matrisiyle ilgili aşağıdaki ifadeler özdeştir, yani ya tümü birlikte doğrudur ya da tümü birlikte yanlıştır.

  • \( A \) tersi alınabilir bir matristir.
  • \( A \) ile çarpımı birim matris olan bir \( B \) matrisi vardır.
  • \( A \) matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.
  • \( A \) matrisi \( I_m \) birim matrisi ile satırca denktir.
  • \( A \) matrisinin \( m \) temel değişkeni vardır.

Matrisin Tersinin Özellikleri

Bir matris tersi alınabilir bir matris ise yalnızca bir tersi vardır.

Bir matrisin diğer bir matrisle çarpımının sonucu birim matris ise bu matrisin tersi vardır ve çarpıldığı matristir.

Bir \( A \) matrisinin tersi \( B \) ise \( B \) matrisinin de tersi \( A \)'dır. Bir diğer ifadeyle bir matrisin tersi varsa tersinin tersi kendisidir.

Birim matrisin tersi vardır ve kendisidir.

Bir matrisin tersi varsa tersinin transpozu transpozunun tersine eşittir.

Bir matrisin tersi varsa sıfırdan farklı bir reel sayı ile çarpımının tersi, tersinin reel sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımına eşittir.

İki ya da daha fazla matrisin tersi varsa çarpımlarının da tersi vardır ve matrislerin terslerinin ters sırada çarpımına eşittir.

Tersi alınabilir matrislerin indirgenmiş satır eşelon formu birim matristir.

SORU 1:

\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)

Önceki örneklerde minör, kofaktör ve ek matrislerini bulduğumuz yukarıdaki \( A \) matrisinin ters matrisini bulun.

Çözümü Göster
SORU 2:

\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)

Yukarıdaki \( A \) matrisi ile önceki örnekte bulduğumuz ters matrisinin çarpımlarının birim matrise eşit olduğunu gösterin.

Çözümü Göster

« Önceki
Cramer Kuralı
Sonraki »
Satır İşlemleri ile Ters Matris Bulma


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır