Determinant
Determinant kare matrisler için hesaplanan reel sayı bir değerdir ve matrislerin tersinin bulunmasında ve lineer denklem sistemlerinin çözümünde kullanılır. Bir matrisin determinantı \( det(A) \) veya \( \abs{A} \) şeklinde gösterilir.
Determinant \( \abs{A} \) şeklinde gösterildiği durumlarda mutlak değer ile karıştırılmamalıdır. Ayrıca determinant mutlak değerden farklı olarak negatif değer alabilen bir büyüklüktür.
\( 1 \times 1 \) Bir Matrisin Determinantı
\( 1 \times 1 \) bir matrisin determinantı matrisin tek elemanına eşittir.
\( A = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( det(A) = a \)
\( A = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( det(A) = 3 \)
Kofaktör Açılımı ile Determinant Bulma
\( 2 \times 2 \) ve daha büyük boyutlu matrislerin determinantını aşağıdaki formül ile hesaplayabiliriz. Bu formüle kofaktör açılımı ya da Laplace açılımı denir.
Bu formüle göre önce matrisin herhangi bir satırı seçilir. Matrisin determinantı o satırdaki elemanların kofaktörleri ile çarpımlarının toplamına eşittir. Matrisin hangi satırı seçilirse seçilsin formül aynı sonucu verir, ancak işlem kolaylığı açısından daha çok sıfır içeren bir satır tercih edilebilir.
\( A \), \( m \times m \) boyutlu bir matris olmak üzere,
\( det(A) = \sum_{j = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)
\( i \): Hesaplama için seçilen satır numarası
\( a_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki eleman
\( C_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki elemanın kofaktörü
\( A_{3 \times 3} \) matrisinin determinantı (2. satırın seçildiği durum):
\( det(A) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} \)
Bu hesaplama bir satır yerine bir sütun üzerinden yapılırsa da aynı sonuç elde edilir.
\( det(A) = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)
\( j \): Hesaplama için seçilen sütun numarası
\( A_{3 \times 3} \) matrisinin determinantı (3. sütunun seçildiği durum):
\( det(A) = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} \)
\( 2 \times 2 \) Bir Matrisin Determinantı
Kofaktör açılımı formülünü \( 2 \times 2 \) bir matrise uyguladığımızda aşağıdaki formülü elde ederiz.
\( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( det(A) = ad - bc \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( det(A) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2 \)
Yukarıdaki formülü akılda tutmamızı kolaylaştıracak bir yönteme göre, \( 2 \times 2 \) bir matrisin determinantı şekilde yeşil ok üzerindeki iki elemanın çarpımı ile kırmızı ok üzerindeki iki elemanın çarpımının farkına eşittir.
\( 3 \times 3 \) Bir Matrisin Determinantı
Kofaktör açılımı formülünü \( 3 \times 3 \) bir matrise uyguladığımızda aşağıdaki formülü elde ederiz.
\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} \) \( + a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - (a_{31}a_{22}a_{13} \) \( + a_{32}a_{23}a_{11} \) \( + a_{33}a_{21}a_{12}) \)
Yukarıdaki formülü akılda tutmamızı kolaylaştıracak ve Sarrus kuralı olarak bilinen yönteme göre, \( 3 \times 3 \) bir matrisin determinantını bulmak için önce ilk iki sütundaki elemanlar aşağıdaki şekildeki gibi matrisin sağına \( 3 \times 5 \) bir matris oluşturacak şekilde kopyalanır. Matrisin determinantı yeşil oklar üzerindeki elemanların çarpımlarının toplamı ile kırmızı oklar üzerindeki elemanların çarpımlarının toplamının farkına eşittir.
Kofaktör Açılımının İşlem İhtiyacı
Kofaktör açılımının gerektirdiği işlem sayısı matrisin boyutu arttıkça oldukça hızlı büyür. Örneğin \( n \times n \) bir matrisin determinantı \( n \) tane \( (n - 1) \times (n - 1) \) boyutunda matrisin determinantını bulmamızı gerektirir ve toplam çarpma işlemi sayısı \( f(n) = nf(n - 1) + 1) \) fonksiyonu ile belirlenir (\( f(2) = 2 \)). Buna göre bu yöntemle determinantın bulmak için hesaplamamız gereken determinant sayısı ve yapmamız gereken çarpma işlemi sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Boyut | Determinant Sayısı | Çarpma Sayısı |
|---|---|---|
| \( 2 \times 2 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 3 \times 3 \) | \( 3 \cdot 1 = 3 \) | \( 3(2 + 1) = 9 \) |
| \( 4 \times 4 \) | \( 4 \cdot 3 = 12 \) | \( 4(9 + 1) = 40 \) |
| \( 5 \times 5 \) | \( 5 \cdot 12 = 60 \) | \( 5(40 + 1) = 205 \) |
| \( 6 \times 6 \) | \( 6 \cdot 60 = 360 \) | \( 6(205 + 1) = 1236 \) |
Bu tablodaki verilere dayanarak özellikle \( 6 \times 6 \) ve üzeri boyuttaki matrislerin determinantını hesaplamak için kofaktör açılımının çok fazla işlem gerektireceği görülebilir.
Determinantın Özellikleri
Determinantların bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.
Birim matrislerin determinantı 1'dir.
\( det(I_m) = 1 \)
\( m \times m \) bir matrisin bir \( k \) reel sayısı ile skaler çarpımının determinantı, matrisin determinantının \( k^m \) katına eşittir.
\( det(kA) = k^m \cdot det(A) \)
İki matrisin çarpımlarının determinantı matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
\( det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B) \)
Bir matrisin ve transpozunun determinantları birbirine eşittir.
\( det(A^T) = det(A) \)
Bir matrisin tersinin determinantı o matrisin determinantının çarpmaya göre tersine eşittir.
\( det(A) \ne 0 \) olmak üzere,
\( det(A^{-1}) = \dfrac{1}{det(A)} \)
Bir (üst ya da alt) üçgen matrisin determinantı ana köşegeni üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.
Tüm elemanları sıfır olan bir satır içeren matrisin determinantı sıfırdır.
Birbirinin aynısı iki satırı olan matrisin determinantı sıfırdır.
Satır çarpma işlemi ile bir matrisin bir satırından diğer bir satırı elde edilebilen matrisin determinantı sıfırdır.
Satır İşlemleri ile Determinant Bulma
Yukarıda bir üst ya da alt üçgen matrisin determinantının ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşit olduğunu belirtmiştik. Bir matrisi satır işlemlerini kullanarak alt ya da üst üçgen matris formuna getirerek ve bu özelliği kullanarak da çoğu zaman kofaktör açılımından daha hızlı bir şekilde bir matrisin determinantını hesaplayabiliriz.
Satır İşlemleri ve Determinant İlişkisi
Bu yöntemi kullanabilmemiz için önceki bölümde gördüğümüz üç satır işleminin matrisin determinantına etkisini bilmemiz gerekir.
Yer değiştirme satır işlemi ile iki satır aralarında yer değiştirirse yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur.
\( A \) matrisine bir satır yer değiştirme işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = -det(A) \)
Çarpma satır işlemi ile bir satır \( k \) reel sayısı ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur.
\( A \) matrisine bir satır çarpma işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = k \cdot det(A) \)
Toplama satır işlemi ile bir satırın \( c \) katı diğer bir satırla toplanırsa matrisin determinantı değişmez.
\( A \) matrisine bir satır toplama işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = det(A) \)
Bir Matrisi Üst Üçgen Forma Getirme
Bir kare matrisi üst üçgen forma getirmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz.
- İşleme matrisin ana köşegeninin en sol üstteki elemanı olan \( a_{11} \) ile başlanır ve bu elemanın aynı sütunda altında bulunan elemanlar toplama işlemi satır ile sırayla sıfıra eşitlenir.
- Yapılan her satır işleminin determinanta olan etkisi takip edilir.
- Bir sütun tamamlandığında bu iki adım ana köşegen üzerindeki diğer elemanlar için sağa doğru tekrarlanır.
Örnek olarak aşağıda verilen \( 4 \times 4 \) boyutundaki \( A \) matrisini üst üçgen forma getirerek determinantını hesaplayalım.
İlk önce işlem kolaylığı açısından \( a_{11} \) elemanını 1'e eşitlemek için 1. ve 2. satırlar arasında yer değiştirme işlemi yapalım. Satır işlem kurallarına göre yer değiştirme satır işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur.
\( R_1 \leftrightarrow R_2 \)
\( det(A_1) = -det(A) \)
İkinci adımda \( a_{11} \) elemanının aynı sütunda altında bulunan elemanları sırayla sıfıra eşitleyelim. Bunun için yapmamız gereken üç toplama işlemi aşağıda belirtilmiştir. Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlemler sonucunda determinant değişmez.
\( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \)
\( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \)
\( -2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \)
\( det(A_2) = det(A_1) = -det(A) \)
Bu şekilde ana köşegen üzerindeki \( a_{11} \) elemanının altındaki elemanları sıfıra eşitlemiş olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegenin bir sonraki elemanı olan \( a_{22} \) için yapalım.
\( a_{22} \) elemanının aynı sütunda altında bulunan elemanları sırayla sıfıra eşitleyelim. Bunun için yapmamız gereken iki toplama işlemi aşağıda belirtilmiştir. Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlem sonucunda determinant değişmez.
\( 2R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \)
\( 2R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \)
\( det(A_3) = det(A_2) = -det(A) \)
Bu şekilde ana köşegen üzerindeki \( a_{22} \) elemanının altındaki elemanları sıfıra eşitlemiş olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegenin bir sonraki elemanı olan \( a_{33} \) için yapalım.
Önce \( a_{33} \) elemanını işlem kolaylığı açısından 1'e eşitleyelim. Bunun için yapmamız gereken çarpma işlemi aşağıda belirtilmiştir. Çarpma satır işlemi ile bir satır \( k \) reel sayısı ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur.
\( \frac{1}{4}R_3 \rightarrow R_3 \)
\( det(A_4) = \dfrac{1}{4}det(A_3) = -\dfrac{1}{4}det(A) \)
Şimdi \( a_{33} \) elemanının aynı sütunda altında bulunan elemanı sıfıra eşitleyelim. Bunun için yapmamız gereken toplama işlemi aşağıda belirtilmiştir. Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlem sonucunda determinant değişmez.
\( -3R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \)
\( det(A_5) = det(A_4) = -\dfrac{1}{4}det(A) \)
Bu şekilde \( A \) matrisini üst üçgen formuna getirmiş olduk.
Determinant Hesaplama
Üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( det(A_5) = 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 6 = -6 \)
\( A \) matrisi ile elde ettiğimiz üst üçgen matrisin determinantları arasındaki ilişkiyi işlem boyunca takip ettiğimiz için \( A \) matrisin determinantını aşağıdaki gibi bulabiliriz.
\( det(A_5) = -\dfrac{1}{4}det(A) \)
\( -6 = -\dfrac{1}{4}det(A) \)
\( det(A) = 24 \) bulunur.