Matrislerle İşlemler

Sayılar ve vektörler arasında yapabildiğimiz gibi matrisler arasında da toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemler yapabiliriz.

Matrislerin Eşitliği

Boyutları ve karşılıklı elemanları birbirine eşit olan matrislere eşit matrisler denir. \( A \) ve \( B \) matrislerinin eşitliği \( A = B \) şeklinde gösterilir.

Toplama İşlemi

Boyutu \( m \times n \) olan bir matris sadece boyutu \( m \times n \) olan matrislerle toplanabilir ve sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.

İki ya da daha fazla matrisi toplarken satır ve sütun numaraları aynı olan elemanlar toplanır ve sonuç toplam matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.

Matrislerde toplama
Matrislerde toplama

Toplama İşleminin Özellikleri

Matrislerde toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.

Sıfır matrisi toplama işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

Çıkarma İşlemi

Boyutu \( m \times n \) olan bir matristen sadece boyutu \( m \times n \) olan bir matris çıkarılabilir ve sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.

Bir matristen diğer bir matrisi çıkarırken satır ve sütun numaraları aynı olan elemanlar birbirinden çıkarılır ve sonuç fark matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.

Matrislerde çıkarma
Matrislerde çıkarma

Çıkarma İşleminin Özellikleri

Matrislerde çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.

Bir matrisin sıfır matrisinden farkı kendisine eşittir.

Skaler Çarpma İşlemi

Boyutu \( m \times n \) olan bir matris bir reel sayı ile çarpıldığında matrisin tüm elemanları bu sayı ile çarpılır ve sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.

Bir reel sayı ile bir matrisi çarparken matrisin tüm elemanları bu reel sayı ile çarpılır ve sonuç çarpım matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.

Matrislerde skaler çarpma
Matrislerde skaler çarpma

Skaler Çarpma İşleminin Özellikleri

Matrislerde skaler çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.

Matrislerde skaler çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Bir matrisin 1 ile çarpımı kendisine, 0 ile çarpımı sıfır matrisine eşittir.

Bir matrisin \( -1 \) ile çarpımı o matrisin toplamaya göre tersini verir. Bir matrisin toplamaya göre tersi ile toplamı sıfır matrisini verir.

Çarpma İşlemi

Matrislerde çarpma işlemi toplama ve çıkarma işlemlerinden birkaç açıdan farklıdır.

  • Matrislerde çarpma işlemi aynı boyuttaki iki matris arasında yapılmaz. İki matris arasında çarpma işlemi yapılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir.
  • Çarpma işlemi iki matrisin birbirine karşılık gelen (aynı satır ve sütun numaralı) elemanları arasında değil, birinci matrisin her satırı ile ikinci matrisin her sütunu arasında yapılır.

Matrislerde çarpma işleminin mantığını önce en basit haliyle tek satırlı ve tek sütunlu iki matris üzerinde gösterelim. Aşağıdaki gibi \( 1 \times 3 \) satır matrisi ile \( 3 \times 1 \) sütun matrisi arasındaki çarpma işleminin sonucu \( 1 \times 1 \) bir matris olur ve bu matrisin tek elemanı 1. matrisin satırı ve 2. matrisin sütunundaki elemanların sıralı bir şekilde çarpımlarının toplamına eşittir.

Satır ve sütun matrisleri arasında çarpma
Satır ve sütun matrisleri arasında çarpma

Bu işlemi daha büyük boyutlu matrislere uyarlarsak, boyutu \( m \times n \) olan bir matris sadece satır sayısı kendisinin sütun sayısına eşit olan \( n \times p \) bir matrisle çarpılabilir ve sonuç boyutu \( m \times p \) olan bir matris olur. Bir diğer ifadeyle, sonuç matrisinin satır sayısı birinci matrisin satır sayısı, sütun sayısı ikinci matrisin sütun sayısı olur.

Çarpma işleminde boyutlar
Çarpma işleminde boyutlar

İki matrisin çarpımında 1. matrisin her satırı ile 2. matrisin her sütunu arasında yukarıda bahsettiğimiz çarpma işlemi yapılır ve 1. matrisin \( i \). satırı ile 2. matrisin \( j \). sütunu arasındaki çarpma işleminin sonucu sonuç matrisindeki \( c_{ij} \) elemanı yerine yazılır.

Matrislerde çarpma
Matrislerde çarpma

Çarpma İşleminin Özellikleri

Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği yoktur.

Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Matrislerde çarpma işleminin toplam üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Bir matrisin birim matris ile çarpımının sonucu kendisidir.

Bir matrisin sıfır matrisi ile çarpımının sonucu sıfır matrisidir.

Önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere, bir matrisin tersi ile çarpımının sonucu birim matristir.

İki reel sayının çarpımı sıfır ise bu sayılardan en az birinin sıfır olduğunu biliyoruz. Bu kural matrisler için her zaman doğru olmayabilir, yani çarpımı sıfır matrisi olan iki matristen en az biri sıfır matrisi olmak zorunda değildir.

Bir Matrisin Transpozu (Devriği)

Transpoz işleminde bir matrisin satırları sütunlara, sütunları da satırlara taşınır. Buna göre, transpozu alınan matriste \( i \). satır ve \( j \). sütunda bulunan bir \( a_{ij} \) elemanı sonuç matrisinde \( j \). satır ve \( i \). sütuna taşınır ve matrisin \( a_{ji} \) elemanı olur. Bir \( A \) matrisinin transpozu \( A^T \) ile gösterilir.

\( m \times n \) boyutlarındaki bir matrisin transpoz matrisinin boyutları \( n \times m \) olur.

Matrislerde transpoz işlemi
Matrislerde transpoz işlemi

Bir matrisin transpozunun transpozu kendisine eşittir.

Simetrik matrislerin transpozu kendisine eşittir.

Bazı işlemlerin sonucunun transpozu ile ilgili aşağıdaki kurallar geçerlidir.


« Önceki
Matris Tipleri
Sonraki »
Satır İşlemleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır