Satır İşlemleri ile Determinant Hesaplama
Konu tekrarı için: Temel Satır İşlemleri | Gauss Eliminasyon Yöntemi
Determinant özelliklerinde bir üst ya da alt üçgen matrisin determinantının ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşit olduğunu belirtmiştik. Bir matrisi lineer denklem sistemleri konusunda gördüğümüz temel satır işlemlerini kullanarak alt ya da üst üçgen matris formuna getirerek ve bu özelliği kullanarak bir matrisin determinantını çoğu zaman kofaktör açılımından daha hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz.
Satır İşlemleri ve Determinant İlişkisi
Bu yöntemi kullanabilmemiz için temel satır işlemlerinin matrisin determinantına etkisini bilmemiz gerekir.
Yer değiştirme satır işlemi ile bir matrisin iki satırı aralarında yer değiştirirse yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur.
\( A \) matrisine bir satır yer değiştirme işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = -det(A) \)
Çarpma satır işlemi ile bir satır \( k \) reel sayısı ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur.
\( A \) matrisine bir satır çarpma işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = k \cdot det(A) \)
Toplama satır işlemi ile bir satırın \( c \) katı diğer bir satırla toplanırsa matrisin determinantı değişmez.
\( A \) matrisine bir satır toplama işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = det(A) \)
Bir Matrisi Üst Üçgen Forma Getirme
Bir kare matrisi üst üçgen forma getirmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz.
- İşleme matrisin ana köşegeninin en sol üstteki elemanı olan \( a_{11} \) ile başlanır ve bu elemanın aynı sütunda altında bulunan elemanlar toplama satır işlemi ile sırayla sıfıra eşitlenir.
- Yapılan her satır işleminin determinanta olan etkisi takip edilir.
- Bir sütun tamamlandığında bu iki adım sağa doğru ana köşegen üzerindeki diğer elemanlar için tekrarlanır.
Örnek olarak aşağıda verilen \( 4 \times 4 \) boyutundaki \( A \) matrisini önce üst üçgen forma getirelim, daha sonra da determinantını hesaplayalım.
| İşlem | Matris |
|---|---|
|
Verilen \( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim. \( det(A) \) |
|
|
İlk önce işlem kolaylığı açısından \( a_{11} \) elemanını 1'e eşitlemek için 1. ve 2. satırlar arasında yer değiştirme işlemi yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_2 \) Satır işlem kurallarına göre yer değiştirme satır işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur. \( -det(A) \) |
|
|
\( a_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlemler sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) Bu şekilde \( a_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{22} \) için yapalım. |
|
|
\( a_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 2R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlemler sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) Bu şekilde \( a_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{33} \) için yapalım. |
|
|
Önce \( a_{33} \) elemanını işlem kolaylığı açısından 1'e eşitleyelim. \( \frac{1}{4}R_3 \rightarrow R_3 \) Çarpma satır işlemi ile bir satır \( k \) reel sayısı ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( -\dfrac{1}{4}det(A) \) |
|
|
\( a_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -3R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işleminin determinanta bir etkisi olmadığı için bu işlemler sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{4}det(A) \) Bu şekilde \( a_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{44} \) için yapalım. |
|
|
\( a_{44} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. Elde ettiğimiz matrisin determinantı \( A \) matrisinin determinantı cinsinden aşağıdaki gibidir. \( -\dfrac{1}{4}det(A) \) |
|
Determinant Hesaplama
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -\dfrac{1}{4}det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 6 = -6 \)
Bu eşitlikten \( A \) matrisin determinantını aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( det(A) = -6 \cdot (-4) \)
\( det(A) = 24 \) bulunur.