Logaritmik Eşitsizlikler

\( \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2 \lt \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \lt \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^3 \)

\( f(x) = \log_{\frac{1}{3}}{x} \) fonksiyonu pozitif reel sayılarda azalan olduğu için fonksiyon değeri büyük olan tarafın logaritma içi küçüktür.

\( (\frac{1}{3})^2 \gt x - 1 \gt (\frac{1}{3})^3 \)

\( \dfrac{1}{9} \gt x - 1 \gt \dfrac{1}{27} \)

\( \dfrac{10}{9} \gt x \gt \dfrac{28}{27} \)

Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.

\( x - 1 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 1 \)

Çözüm kümesi: \( x = (\frac{28}{27}, \frac{10}{9}) \) bulunur.

Eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.

\( 0,50 \le 2^{3n-1} \le 350 \)

\( 2^{-1} \le 2^{3n-1} \le 350 \)

Eşitsizliğin her tarafının 2 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_2{2^{-1}} \le \log_2{2^{3n-1}} \le \log_2{350} \)

\( 2^8 \lt 350 \lt 2^9 \) olduğu için \( \log_2{350} \) değeri \( (8, 9) \) aralığındadır.

\( -1 \le 3n - 1 \le 8,\dots \)

Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.

\( 0 \le 3n \le 9,\dots \)

Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.

\( 0 \le n \le 3,\dots \)

\( n \) tam sayısının bu aralıkta alabileceği değerler 0, 1, 2 ve 3'tür.

\( 0 + 1 + 2 + 3 = 6 \) bulunur.

Eşitsizliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.

\( \ln{x}^{\ln{x}} \lt \ln(e^6 \cdot x) \)

\( \ln{x} \cdot \ln{x} \lt \ln{e^6} + \ln{x} \)

\( (\ln{x})^2 \lt 6 + \ln{x} \)

\( (\ln{x})^2 - \ln{x} - 6 \lt 0 \)

\( (\ln{x} - 3)(\ln{x} + 2) \lt 0 \)

Bu eşitsizliğin çözümü \( \ln{x} \) için \( (-2, 3) \) aralığıdır.

\( \ln{x} = -2 \Longrightarrow x = e^{-2} \)

\( \ln{x} = 3 \Longrightarrow x = e^3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (e^{-2}, e^3) \)

Eşitsizliğin sadece bir tarafı logaritmik ifade ise ve logaritma tabanı sıfır ve bir aralığındaysa, eşitsizlik işareti tersine çevrilerek logaritmik ifade üstel ifadeye çevrilir.

\( x - 5 \lt (\dfrac{1}{2})^{-2} \)

\( x - 5 \lt 4 \)

\( x \lt 9 \) bulunur.

Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.

\( x - 5 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 5 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (5, 9) \)

En dıştaki logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.

\( \log_3(\log_2(x - 7)) \lt 1 \)

\( \log_2(x - 7) \lt 3^1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.

\( x - 7 \lt 2^3 \)

\( x \lt 15 \)

Logaritma tanımı gereği içteki logaritma ifadesinin içi sıfırdan büyük olmalıdır.

\( x - 7 \gt 0 \)

\( x \gt 7 \)

Logaritma tanımı gereği dıştaki logaritma ifadesinin de içi sıfırdan büyük olmalıdır.

\( \log_2(x - 7) \gt 0 \)

\( x - 7 \gt 2^0 \)

\( x \gt 8 \)

Elde ettiğimiz üç aralığın kesişimi \( x \) çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in (8, 15) \)

\( \log_{3^\frac{1}{2}}(8 - x) \le \log_3(x^2 - 2) \)

\( 2\log_3(8 - x) \le \log_3(x^2 - 2) \)

\( \log_3(8 - x)^2 \le \log_3(x^2 - 2) \)

Tabanları aynı ve birden büyük iki logaritma ifadesinde logaritma içi büyük olan taraf daha büyüktür.

\( (8 - x)^2 \le x^2 - 2 \)

\( 64 - 16x + x^2 \le x^2 - 2 \)

\( 66 \le 16x \)

\( \dfrac{66}{16} \le x \)

\( \dfrac{33}{8} \le x \)

Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.

\( 8 - x \gt 0 \)

\( x \lt 8 \)

\( x^2 - 2 \gt 0 \)

\( x \gt \sqrt{2} \cup x \lt -\sqrt{2} \)

Elde ettiğimiz üç aralığın kesişimi \( x \) çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in [\frac{33}{8}, 8) \)

Bu aralıktaki tam sayıların toplamı \( 5 + 6 + 7 = 18 \) olarak bulunur.

\( \log_{3^2}{3^3} \le \log_{2^2}{x} \lt \log_{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}} \)

\( \dfrac{3}{2}\log_3{3} \le \dfrac{1}{2}\log_2{x} \lt \dfrac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}}\log_5{5} \)

\( 3 \le \log_2{x} \lt 6 \)

\( 2^3 \le x \lt 2^6 \)

\( 8 \le x \lt 64 \)

Bu aralıkta \( 63 - 8 + 1 = 56 \) tam sayı vardır.

Bir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.

\( 0 \lt x^2 - x + 1 \lt (0,5)^0 \)

\( 0 \lt x^2 - x + 1 \lt 1 \)

\( x^2 - x + 1 \gt 0 \) ve \( x^2 - x + 1 \lt 1 \)

\( x^2 - x + 1 \) ifadesinin deltası sıfırdan küçük olduğu için her zaman pozitiftir, dolayısıyla \( x^2 - x + 1 \gt 0 \) eşitsizliği her \( x \) değeri için sağlanır.

\( x^2 - x + 1 \lt 1 \)

\( x(x - 1) \lt 0 \)

Çözüm kümesi: \( 0 \lt x \lt 1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( x^2 + 8x + 41 \le 5^3 \)

\( x^2 + 8x - 84 \le 0 \)

\( (x + 14)(x - 6) \le 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlanır.

\( -14 \le x \le 6 \)

Çözüm kümesi: \( x \in [-14, 6] \)

Bir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.

\( x + 3 \le (\dfrac{1}{4})^{-2} \)

\( x + 3 \le (2^{-2})^{-2} \)

\( x + 3 \le 2^4 \)

\( x \le 13 \)

Ayrıca logaritma tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( x + 3 \gt 0 \)

\( x \gt -3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (-3, 13] \)

Bir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden büyükse eşitsizlik yön değiştirmez.

\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 3^0 \)

\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 1 \)

\( \dfrac{x - 2}{x - 3} - 1 \gt 0 \)

\( \dfrac{x - 2 - x + 3}{x - 3} \gt 0 \)

\( \dfrac{1}{x - 3} \gt 0 \)

Bu eşitsizlik payda sıfırdan büyük olduğunda pozitif olur.

\( x - 3 \gt 0 \)

Ayrıca logaritma tanımıına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 0 \)

\(x \lt 2 \) veya \( x \gt 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (3, +\infty) \)

Eşitsizliğin her iki tarafının 3 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_3{x^{\log_3{x}}} \gt \log_3{3} \)

\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} \gt 1 \)

\( (\log_3{x})^2 - 1 \gt 0 \)

\( (\log_3{x} - 1)(\log_3{x} + 1) \gt 0 \)

\( \log_3{x} \gt 1 \) veya \( \log_3{x} \lt -1 \)

\( x \gt 3 \) veya \( x \lt \dfrac{1}{3} \)

Logaritma tanımına göre logaritma için pozitif olmalıdır.

\( x \gt 0 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (3, +\infty) \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \abs{x - 2} \lt 3^1 \)

\( -3 \lt x - 2 \lt 3 \)

\( -1 \lt x \lt 5 \)

Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( \abs{x - 2} \gt 0 \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.

\( x - 2 \ne 0 \)

\( x \ne 2 \)

Çözüm kümesi: \( x \in (-1, 5) - \{2\} \)

Bir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.

\( \abs{2x - 6} \le (0,5)^0 \)

\( \abs{2x - 6} \le 1 \)

\( -1 \le 2x - 6 \le 1 \)

\( 5 \le 2x \le 7 \)

\( \dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{7}{2} \)

Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( \abs{2x - 6} \gt 0 \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.

\( 2x - 6 \ne 0 \)

\( x \ne 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in [\frac{5}{2}, \frac{7}{2}] - \{3\} \)

Eşitsizliğin sol tarafı \( x + 2 \) ve \( \ln{\abs{x}} \) ifadelerinin ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif olduğunda pozitif olur.

Durum 1: \( x + 2 \gt 0 \) ve \( \ln{\abs{x}} \gt 0 \)

\( x + 2 \gt 0 \)

\( x \gt -2 \)

\( \ln{\abs{x}} \gt 0 \)

\( \abs{x} \gt e^0 \)

\( x \gt 1 \) veya \( x \lt -1 \)

Bu durum için \( x \) çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

\( x \in (-2, -1) \cup (1, +\infty) \)

Durum 2: \( x + 2 \lt 0 \) ve \( \ln{\abs{x}} \lt 0 \)

\( x + 2 \lt 0 \)

\( x \lt -2 \)

\( \ln{\abs{x}} \lt 0 \)

\( \abs{x} \lt e^0 \)

\( -1 \lt x \lt 1 \)

Bu durum için \( x \) çözüm kümesi boş küme olur.

\( x = \emptyset \)

Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( \abs{x} \gt 0 \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.

\( x \ne 0 \)

Eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-2, -1) \cup (1, +\infty) \)

\( f(x) = 9^{x + 1} \)

\( f \) fonksiyonunun tersini bulalım.

\( y = 9^{x + 1} \)

\( \log_9{y} = x + 1 \)

\( \log_9{y} - 1 = x \)

\( y = f^{-1}(x) = \log_9{x} - 1 \)

Verilen eşitsizliği düzenleyelim.

\( (g \circ f^{-1})(x) \lt 0 \)

\( g(f^{-1}(x)) \lt 0 \)

\( g(\log_9{x} - 1) \lt 0 \)

\( \log_3(\log_9{x} - 1) \lt 0 \)

\( \log_9{x} - 1 \lt 3^0 \)

\( \log_9{x} \lt 2 \)

\( x \lt 9^2 \)

\( x \lt 81 \)

Logaritma tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.

\( \log_9{x} - 1 \gt 0 \)

\( \log_9{x} \gt 1 \)

\( x \gt 9 \)

Bulduğumuz iki aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.

Çözüm kümesi: \( 9 \lt x \lt 81 \)

Logaritma tabanını ve içini üslü ifade olarak yazalım.

\( f(x) = \log_{5^{-2}}(x^3 - 22)^{-1} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{-1}{-2}\log_5(x^3 - 22) \)

\( = \dfrac{1}{2}\log_5(x^3 - 22) \)

\( f(x) \lt \frac{1}{2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

\( \dfrac{1}{2}\cdot \log_5(x^3 - 22) \lt \dfrac{1}{2} \)

\( \log_5(x^3 - 22) \lt 1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.

\( x^3 - 22 \lt 5^1 \)

\( x^3 \lt 27 \)

\( x \lt 3 \)

Ek bir koşul olarak bir logaritma ifadesinin içi her zaman pozitif olmalıdır.

\( \dfrac{1}{x^3 - 22} \gt 0 \)

Bu eşitsizlik paydanın pozitif olduğu her durumda sağlanır.

\( x^3 - 22 \gt 0 \)

\( x^3 \gt 22 \)

\( x \gt \sqrt[3]{22} \)

Eşitsizliğin çözüm kümesi bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

Çözüm kümesi: \( x \in (\sqrt[3]{22}, 3) \)

Önce pay ve paydadaki ifadeleri sıfır yapan değerleri bulalım.

\( \log_3{a} - 3 = 0 \)

\( \log_3{a} = 3 \)

\( a = 3^3 = 27 \)

\( 7 - \log_2{a} = 0 \)

\( \log_2{a} = 7 \)

\( a = 2^7 = 128 \)

Bu değerlere göre eşitsizlik için işaret tablosu çizelim.

Tablodan eşitsizliğin \( (27, 128) \) aralığında sağlandığını buluruz.

Terim sayısı formülünü kullanarak \( a \)'nın bu aralıkta alabileceği \( \frac{127 - 28}{1} + 1 = 100 \) farklı tam sayı değer bulunur.

İkinci dereceden denklemin reel kökü yoksa deltası sıfırdan küçüktür.

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( a = 3, \quad b = -6, \quad c = -\log_3{n} \)

\( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-\log_3{n}) \lt 0 \)

\( 36 + 12\log_3{n} \lt 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 12'ye bölelim.

\( 3 + \log_3{n} \lt 0 \)

\( \log_3{n} \lt -3 \)

\( 0 \lt n \lt \dfrac{1}{27} \) bulunur.

\( 11^2 \approx 5^3 \)

Her iki tarafın 5 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_5{11^2} \approx \log_5{5^3} \)

\( 2\log_5{11} \approx 3 \)

\( \log_5{11} \approx \dfrac{3}{2} \)

Logaritma tabanını ve içini üslü ifade olarak yazalım.

\( f(x) = \log_{5^{-2}}(x^3 - 22)^{-1} \)

Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.

\( = \dfrac{-1}{-2}\log_5(x^3 - 22) \)

\( = \dfrac{1}{2}\log_5(x^3 - 22) \)

\( f(x) \lt \frac{1}{2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

\( \dfrac{1}{2}\cdot \log_5(x^3 - 22) \lt \dfrac{1}{2} \)

\( \log_5(x^3 - 22) \lt 1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.

\( x^3 - 22 \lt 5^1 \)

\( x^3 \lt 27 \)

\( x \lt 3 \)

Ek bir koşul olarak bir logaritma ifadesinin içi her zaman pozitif olmalıdır.

\( \dfrac{1}{x^3 - 22} \gt 0 \)

Bu eşitsizlik paydanın pozitif olduğu her durumda sağlanır.

\( x^3 - 22 \gt 0 \)

\( x^3 \gt 22 \)

\( x \gt \sqrt[3]{22} \)

Eşitsizliğin çözüm kümesi bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

Çözüm kümesi: \( x \in (\sqrt[3]{22}, 3) \)